第18天 全真模拟（三）-【18天考点全覆盖】冲刺2023年高考数学考前必刷题（含解析)

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【18天考点全覆盖】冲刺2023年高考数学考前必刷题
第18天 全真模拟（三）
一、单选题
1．睡眠很重要，教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时”．某机构调查了1万个学生时间利用信息得出下图，则以下判断正确的有（ ）
A．高三年级学生平均学习时间最长
B．中小学生的平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准
C．大多数年龄段学生平均睡眠时间少于学习时间
D．与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠
2．设P和Q是两个集合，定义集合且，如果，，那么（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，且，则（ ）.
A． B．
C． D．
4．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左 右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知中，，则的充要条件是（ ）
A．是等腰三角形 B．
C． D．
7．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（ ）
A．2640 B．1440 C．2160 D．1560
8．已知函数，对于任意的、，当时，总有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知R，复数，，则（ ）
A．，
B．若，时，
C．若，，，则
D．若，则
10．已知点是坐标平面内一点，若在圆上存在，两点，使得（其中为常数，且），则称点为圆的“倍分点”.则（ ）
A．点不是圆的“3倍分点”
B．在直线上，圆的“倍分点”的轨迹长度为
C．在圆上，恰有1个点是圆的“2倍分点”
D．若：点是圆的“1倍分点”，：点是圆的“2倍分点”，则是的充分不必要条件
11．设，．若，则称序列是长度为n的0—1序列．若，，则（ ）
A．长度为n的0—1序列共有个 B．若数列是等差数列，则
C．若数列是等差数列，则 D．数列可能是等比数列
12．在直四棱柱中，所有棱长均2，，P为的中点，点Q在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（ ）
A．当点Q在线段上运动时，四面体的体积为定值
B．若平面，则AQ的最小值为
C．若的外心为M，则为定值2
D．若，则点Q的轨迹长度为
三、填空题
13．已知函数有三个不同的零点，且，则的值为___________.
14．已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影向量的模为________．
15．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则___________.
16．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九卷“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用，其中直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”，设点是抛物线的焦点，直线是该抛物线的准线，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，射线交准线于点，若的“勾”，“股”，则抛物线方程为___________.
四、解答题
17．的内角，，的对边分别为，，，且，．
(1)若 ，求的面积
(2)试问能否成立若能成立，求此时的周长若不能成立，请说明理由．
18．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点M，N分别是边BC，CD的中点，，．沿MN将翻折到的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥P-ABMND．
(1)在翻折过程中是否总有平面平面PAG？证明你的结论；
(2)当四棱锥P-MNDB体积最大时，求直线PB和平面MNDB所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，在线段PA上是否存在一点Q，使得二面角的平面角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．
19．已知数列满足：，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前n项和．
20．2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲 乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，其中.
(1)若，分别求出该考生报考甲 乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求的取值范围.
21．已知椭圆C：的右顶点为，过左焦点F的直线交椭圆于M，N两点，交轴于P点，，，记，，（为C的右焦点）的面积分别为.
(1)证明：为定值；
(2)若，，求的取值范围.
22．已知函数，，.
(1)若直线与在处的切线垂直，求的值；
(2)若函数存在两个极值点，，且，求证：.
参考答案
1．B
【分析】根据图象提供数据对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】根据图象可知，高三年级学生平均学习时间没有高二年级学生平均学习时间长，A选项错误.
根据图象可知，中小学生平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，高中生平均睡眠时间最接近标准，B选项正确.
学习时间大于睡眠时间的有：初二、初三、高一、高二、高三，占比.睡眠时间长于学习时间的占比，C选项错误.
从高三到大学一年级，学习时间减少，睡眠时间增加，所以D选项错误.
故选：B
2．B
【分析】由对数函数的性质可得P，由一元二次不等式可得Q，根据题意可得出结果.
【详解】∵，，
∴.
故选：B.
3．A
【分析】利用二倍角公式化简方程，解方程可得，进而可得，然后利用诱导公式即可判断.
【详解】∵，，
∴，即，
∴或（舍去），
∴，，，，.
故选：A.
4．B
【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算和向量数量积为0的条件，判定，结合已知条件得到，设出，表示出直角三角形的其余边，结合双曲线的定义表示出，利用建立方程求得，进而求得
，然后利用勾股定理求得，从而得到，从而得到离心率的值.
【详解】如图，由，有，
可得，可得，有.
在Rt中，由，
不妨设，则，由勾股定理得，
又由双曲线的定义可得，，
根据可得，
解得，所以，
在Rt中，，可得，
故双曲线的离心率为.
故选：B.
5．B
【分析】构造函数，利用导数得出单调性，比较的大小即可求出.
【详解】设函数，则为偶函数，且当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，，所以，又，，，所以.
故选：B.
6．D
【分析】根据正余弦定理即可结合选项逐一求解.
【详解】由于，故当是等腰三角形时，或或；
当时，是等腰三角形，所以是等腰三角形是的必要不充分条件，所以选项A不正确；
当时，，即，所以或，则或；当时，，根据正弦定理可得，所以是的必要不充分条件，所以选项B不正确；
当时，，即，解得，所以不是的充分条件，所以选项C不正确；
当时，；当时，即，根据余弦定理，解得，则，所以是的充要条件，
故选：D．
7．D
【分析】先分组再排序即可.
【详解】6人分组有2种情况：2211，3111，
所以不同安排方案的总数为.
故选：D.
8．A
【分析】设，可知函数为上的增函数，即对任意的，，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】不妨设，由可得出，
即，
令，其中，
则，所以，函数在上为增函数，
则，则，
令，其中，，
令，其中，所以，，
所以，函数在上单调递增，
因为，，
所以，存在，使得，则，
令，其中，则，故函数在上为增函数，
因为，，所以，，
由可得，所以，，可得，
且当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，
所以，.
故选：A.
【点睛】思路点睛：本题关键点在处理函数的极值点时，根据零点存在定理得出其极值点满足，通过利用指对同构结合函数的单调性转化为，，利用整体代换法可求得的取值范围.
9．BC
【分析】利用复数的乘方，可得纯虚数的乘方，易知模长的表示，根据指数的运算，可得答案.
【详解】，同理，
对于A，，同理，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，由，则，
即，因，则，故C正确；
对于D，由，则，即，，故D错误.
故选：BC
10．BCD
【分析】对“倍分点”这个概念理解以后，根据的不同取值，对题干进行讨论与验证，结合同角这一条件，运用余弦定理找到变量之间的关系即可进行判断.
【详解】若满足，设，，则有，，，.如下图：
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，，
解得，点是圆的“3倍分点”，故A错误；
过作弦的垂线垂足为，当在直线上时，如下图：
若是圆的“倍分点”即，设，，则有，.
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
，解得.又，，
即，解得，
又与坐标轴得交点为与，
则在直线上，圆的“倍分点”的轨迹长度为，故B正确；
在圆上取一点，若点是圆的“2倍分点”，
则有，设，，，，则有，，
如下图：
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，，
解得，即，综上，，
所以在圆上，恰有1个点是圆的“2倍分点”，故C正确；
设，，.如下图：
若点是圆的“1倍分点”则有，，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，，解得，，
由上面的结论可知，若点是圆的“2倍分点”， 解得，，
若：点是圆的“1倍分点”，：点是圆的“2倍分点”，
则是的充分不必要条件，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】本题以圆为背景，考查了平面向量与解三角形知识，并且运用不等式对答案进行判断.
11．AD
【分析】A选项，可根据分步乘法计数原理求出；B选项，根据等差数列定义得到为定值，分与两种情况讨论求出答案；
C、D选项，举例可说明.
【详解】由分步乘法计数原理可知：选0或1，均有2种选择，故共有个，A正确；
因为数列是等差数列，所以为定值，
当，则，则，
当，则，则，
B错误；
取，，则此时数列既为等差数列，又为等比数列，故C错误，D正确.
故选：AD
12．ABD
【分析】由题易证得面，所以直线到平面的距离相等，又的面积为定值，可判断A；取的中点分别为，连接，由面面平行的判定定理可得平面面，因为面，所以平面，当时，AQ有最小值可判断B；由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断C；在上取点，使得，易知点Q的轨迹为圆弧可判断D.
【详解】对于A，因为，又因为面， 面，所以面，所以直线到平面的距离相等，又的面积为定值，故A正确；
对于B，取的中点分别为，连接，
则易证明：，面，面，所以面，
又因为，，面，面，所以面，
，所以平面面，面，所以平面
当时，AQ有最小值，则易求出，所以重合，所以则AQ的最小值为，故B正确；
对于C，若的外心为M，，过作于点，
则.故C错误；
对于D，过作于点，易知平面，
在上取点，使得，则，
所以若，则在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，
又因为所以，则圆弧等于，故D正确.
故选：ABD.
13．36
【分析】将函数的零点转化为方程的根,令 ,转化为有两个根,通过根与系数的关系确定的值,讨论 的单调性,结合图象可知=,==代入原式可求解.
【详解】因为
所以
因为，所以
有三个不同的零点，
令，则，
所以当时，当时，
即在上单调递增，在上单调递减，
所以,当时，
令，则
必有两个根，不妨令，
且,
即必有一解，-有两解，
且，
故
.
故答案为：36.
14．
【分析】根据向量数量积公式的变形公式代入计算在方向上的投影向量的模长.
【详解】在方向上的投影向量的模为．
故答案为：
15．/
【分析】根据割补法可求矩形（如图）的面积，从而可求，再根据所过的点可求的值.
【详解】
设阴影左侧最高点为，右侧最高点为，过作轴的垂线，垂足为，
过作轴的垂线，垂足为，
由题设可得四边形为矩形且其面积为，
故，故，故，
而，故，
解得，而，故，
故答案为：.
16．
【分析】由，得到，然后由抛物线的定义得到是等边三角形求解.
【详解】解：当抛物线开口向右时，如图所示：
因为，
所以，
由抛物线的定义得，
所以是等边三角形，
所以，
所以抛物线的方程是，
同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为：，
综上：抛物线的方程为：，
故答案为：
17．(1)；
(2)不成立，理由见解析
【分析】(1)根据条件先算出 ，再运用正弦定理和三角形面积公式即可算出 的面积；
(2)运用反证法，先假设 能成立，再运用余弦定理和基本不等式推出悖论即可.
【详解】（1）由，可得，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，所以，
所以 ；
（2）假设能成立，所以，
由余弦定理，得 ，
所以，所以，
故，解得或舍，
此时，不满足，
所以假设不成立，故不成立；
综上， ，不成立.
18．(1)总有平面平面PAG；证明见解析
(2)
(3)存在；Q为线段PA的中点．
【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面PAG.
（2）首项判断出平面MNDB时，四棱锥P-MNDB体积最大，作出直线PB和平面MNDB所成角，解三角形求得其正弦值.
（3）建立空间直角坐标系，设，根据二面角的余弦值求得，由此确定点的位置.
【详解】（1）在翻折过程中总有平面平面PAG，
证明如下：∵点M，N分别是边BC，CD的中点，∴，
又因为菱形ABCD中∠DAB＝60°，∴是等边三角形，
∵G是MN的中点，∴，
∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴，∴，
∵，平面PAG，平面PAG，
∴平面PAG，∴平面PAG，∵平面PBD，∴平面平面PAG．
（2）由题意知，四边形MNDB为等腰梯形，且DB＝4，MN＝2，，
所以等腰梯形MNDB的面积，
要使得四棱锥P-MNDB体积最大，只要点P到平面MNDB的距离最大即可，
∴当平面MNDB时，点P到平面MNDB的距离的最大值为，
此时四棱锥P-MNDB体积的最大值为，
连接BG，则直线PB和平面MNDB所成角的为∠PBG，
在中，，，由勾股定理得：．
∴．
（3）假设符合题意的点Q存在．
以G为坐标原点，GA，GM，GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
因为平面PMN，故平面PMN的一个法向量为，
设，∵，，
故，∴，，
平面QMN的一个法向量为，则，，
即，令，所以，
即，
则平面QMN的一个法向量，设二面角的平面角为，
所以，解得：，
故符合题意的点Q存在，且Q为线段PA的中点．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)先根据递推公式的特征，将其整理变形为
，再移项即可证明；
(2)由（1）可得：，所以，利用裂项求和的方法即可求解.
【详解】（1）将两侧同除，
可得，，
又因为，
即数列是首项为1，,公差为1的等差数列．
（2）由（1）可知，，即，
则，
.
20．(1)；
(2)
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式和二项分布的概率公式求解即可；
（2）该考生报考甲大学通过的科目数为，报考乙大学通过的科目数为，进而结合二项分布求解，根据独立事件的乘法公式求解的分布列及其期望，进而结合题意求解.
【详解】（1）解：设“该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目”为事件，“该考生报考乙
大学恰好通过一门笔试科目”为事件，
根据题意可得，
（2）解：设该考生报考甲大学通过的科目数为，报考乙大学通过的科目数为，
根据题意可知，，所以，，
，
，
.
则随机变量的分布列为：
0 1 2 3
，
若该考生更希望通过乙大学的笔试时，有，
所以，又因为，所以，
所以，的取值范围是.
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先得到椭圆方程为，设点，利用向量关系得到，，再联立椭圆与直线方程得，则，再整体代换得定值.
（2），，，结合（1）中向量式得，
再代入有，联立解得，再结合的范围，利用导数或是对勾函数性质求出其范围.
【详解】（1）由题意得，左焦点F，，所以椭圆C的标准方程为：.
设，显然，令，，则，则
，，
由得，解得，同理.
联立，得
.
，从而（定值）
（2）
结合图象，不妨设，，，，
由得
代入，有，则，
解得
，，
设，则，设，则，
令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，则，
且，则，则.
【点睛】方法点睛：对于解析几何中共线向量系数和定值问题，我们常用设线法，与圆锥曲线联立得到韦达定理式，将比例和用韦达定理的式子表示出来再整体代入计算，也可以通过构造关于和的一元二次方程，利用两根之和直接得到答案.
结论点睛： 定比分点坐标公式：若点,则点的坐标为
22．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义得到在处的切线斜率，然后根据直线与切线垂直列方程求解即可；
（2）根据有两个极值点，得到，，将证明转化为证明或，然后构造函数，利用函数的单调性证明即可.
【详解】（1）∵，∴在处的切线斜率，
∵直线与切线垂直，∴，∴.
（2）由题意得，，
由函数有两个极值点，则，在上有两个不等的实根，即，在有两个不等式的实根，，
∵，，，
∴，则，且，，
方法一：要证，即证，
则，
同理可得：，
则，
，
令，，
则，，
由，则，，则，则，
则在上单调递增，
∴，∴，即，
∴成立.
方法二：要证，即证：，
又
，
又，
所以，
又
所以只需证明：，，
令，，
求导，，，
由，则，，则，则，
则在上单调递增，∴
所以，即.
【点睛】利用导数证明不等式的策略：
（1）差值函数法，例如证明时，可以转化为证明，构造函数，利用导数分析的单调性、最值，去说明；
（2）特征分析放缩法，可以根据不等式的特征进行适当放缩；
（3）切线放缩法，例如：，等；
（4）隔离分析最值法：一般地，证明h(x)= A(x)-B(x)≥0，当研究h(x)的单调性困难时，可以“一分为二”成A(x)≥B(x)，考虑证A(x)mⅰn ≥B(x)max 是一种有效途径；
（5）换元法.
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