2022-2023学年初数北师大版八年级下册6.1 平行四边形的性质 同步必刷题
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2023八下·青秀期中）已知在中，，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
故答案为：D.
【分析】平行四边形的对角相等，则∠A=∠C，据此解答.
2．（2022八下·大连期末）若平行四边形中两内角的度数比为2∶3，则其中较小的内角是（ ）．
A．36° B．45° C．60° D．72°
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设∠A＝3x，∠B＝2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∴2x+3x＝180°，
解得：x＝36°，
∴∠B＝2×36°＝72°，
故答案为：D．
【分析】设∠A＝3x，∠B＝2x，根据平行四边形的性质可得2x+3x＝180°，求出x的值，再求出∠B的度数即可。
3．（2023八下·瓯海期中）如图，平行四边形的对角线AC，BD交于点O，已知BC＝6，BD＝12，AC＝8，则△OAD的周长为（ ）
A．13 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝6，BC＝AD＝6，
∴△OAD的周长＝OD+OA+AD＝4+6+6＝16.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质可得：OA＝OC＝4，OB＝OD＝6，BC＝AD＝6，据此不难求出△OAD的周长.
4．（2023八下·永定期中）如图，在中，过点B作交延长线于点E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的对角相等可得∠A=∠C=40°，由余角的性质可得∠EBC=90°-∠C，据此计算.
5．（2023八下·富阳期中）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，则的长是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴BC∥AD，BC=AD=8，AB=CD=6，
∴∠BCF=∠CFD，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=∠FCD=∠CFD，
∴DC=DF=6，
∴AF=AD-DF=8-6=2，
同理可证：AB=AE=6，
∴EF=AE-AF=6-2=4.
故答案为：B
【分析】利用平行四边形的性质，可证得BC∥AD，BC=AD=8，AB=CD=6，再利用角平分线的性质和平行线的性质可推出∠BCF=∠FCD=∠CFD，利用等角对等边可求出DF的长，可求出AF的长，同理可求出AE的长，再根据EF=AE-AF，代入计算求出EF的长.
6．（2022八下·文山期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BD＝6，BD⊥AB，则AC的长为（ ）
A．10 B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：令对角线交点为，如图所示：
在中，，
在中，AB＝4，BO＝3，BD⊥AB，则，
，
故答案为：A．
【分析】先求出，再利用勾股定理计算求解即可。
7．（2022八下·滕州期末）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是（ ）
A．10 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，
在△AOB中：4﹣3＜AB＜4+3，
即1＜AB＜7，
∴AB的长可能为6．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质可得OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，再利用三角形三边的关系求解即可。
8．（2022八下·牡丹江期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF交AB于点E，交CD于点F，且，若，则阴影部分面积是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵□ABCD，
∴OB=OD，ABCD，
∴∠EBO=∠FDO，∠BEO=∠DFO，
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴S△BOE=S△DOF，
∴S阴影=2S△BOE，
∵，
∴S△BOE=S△AOB，
∵平行四边形ABCD，
∴S△AOB=，
∴S阴影=2×S△AOB=2××＝＝×16=，
故答案为：B．
【分析】先求出△BOE≌△DOF，再求出S△BOE=S△AOB，最后求解即可。
9．（2022八下·虎林期末）如图，在中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45°，CE=3，DF=1，则AF=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由题意，如图：
在中，有，，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴△ABF和△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=CE=3，AF=BF，
∴，
∴，
∴AF=BF=，
故答案为：A．
【分析】
四边形内角和求得∠A，根据平行四边形性质对顶角相等即可求得△ABF和△BCE是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求得。
10．（2023八下·瓯海期中）如图，平行四边形ABCD中，P是形内任意一点，△ABP，△BCP，△CDP，△ADP的面积分别为S1，S2，S3，S4，则一定成立的是（ ）
A．S1+S2＞S3+S4 B．S1+S2=S3+S4
C．S1+S2＜S3+S4 D．S1+S3=S2+S4
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∴S1+S3=平行四边形ABCD的面积，
S2+S4=平行四边形ABCD的面积，
∴S1+S3=S2+S4，
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，则S1+S3=平行四边形ABCD的面积，S2+S4=平行四边形ABCD的面积，据此解答.
二、填空题（每空3分，共30分）
11．（2023八下·杭州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC．点E，F，D分别在AB，AC，BC上，且AEDF是平行四边形．若△CFD和△DEB的周长分别为5和10，则△ABC的周长是 ．
【答案】15
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF，DF=AE，
∵ △CFD和△DEB的周长分别为5和10，
∴CF+FD+CD=5，DE+BD+BE=10，
∴CF+FD+CD+DE+BD+BE=15，
即CF+AF+AE+BE+BD+CD=15，
∴AC+AB+BC=15，即△ABC的周长为15.
故答案为：15.
【分析】根据平行四边形的对边相等可得DE=AF，DF=AE，进而根据三角形周长计算方法可得CF+FD+CD=5，DE+BD+BE=10，将两式相加后由等量代换及线段的和差得AC+AB+BC=15，从而即可得出答案.
12．（2022八下·巴彦期末）四边形ABCD是平行四边形，AB＝8，∠BAD的平分线交直线BC于点E．若CE＝2，则BC的长为 ．
【答案】6或10或10或6
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：当E点在线段BC上时，如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠BEA＝∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB，
∵AB＝8，
∴BE＝8，
∵CE＝2，
∴BC＝BE+CE＝8+2＝10，
当E点在线段BC延长线上时，如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠BEA＝∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB，
∵AB＝8，
∴BE＝8，
∵CE＝2，
∴BC＝BE﹣CE＝8﹣2＝6，
综上，BC的长为10或6．
故答案为：6或10．
【分析】分类讨论，利用平行四边形的性质计算求解即可。
13．（2023八下·富阳期中） 用直角边分别是3和4的两个直角三角形拼成平行四边形，所得四边形周长为 ．
【答案】14或16或18
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：这个直角三角形的斜边为，
当直角边为3为平行四边形的对角线时，平行四边形的两边长5和4，
∴这个四边形的周长为2×（5+4）=18；
当直角边为4为平行四边形的对角线时，平行四边形的两边长5和3，
∴这个四边形的周长为2×（5+3）=16；
当直角边为5为平行四边形的对角线时，平行四边形的两边长3和4，
∴这个四边形的周长为2×（3+4）=14；
∴所得四边形的周长为14或16或18.
故答案为：14或16或18
【分析】利用勾股定理求出这个直角三角形的斜边，再分情况讨论：当直角边为3为平行四边形的对角线时，平行四边形的两边长5和4；当直角边为4为平行四边形的对角线时，平行四边形的两边长5和3；当直角边为5为平行四边形的对角线时，平行四边形的两边长3和4；分别求出这个四边形的周长即可.
14．（2022八下·丹东期末）在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的周长为 ．
【答案】21
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝14，BD＝8，
∴，．
∵AB＝10，
∴△OAB的周长=AO+BO+AB=7+4+10=21．
故答案为：21．
【分析】利用平行四边形的性质求出AO和BO的长，再利用三角形的周长公式求出△OAB的周长即可。
15．（2022八下·紫金期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝ ．
【答案】．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，AB∥CD，
∴∠GCE＝∠B＝60°，
∵E是BC的中点，
∴CE＝BE＝2，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥DG，
∴∠G＝90°，
∴CG＝CE＝1，
∴EG＝CG＝，DG＝CD＋CG＝3＋1＝4，
∴DE＝；
故答案为．
【分析】先求出EG＝CG＝，DG＝CD＋CG＝3＋1＝4，再利用勾股定理求出DE的长即可。
16．（2022八下·平远期末）如图，点E是□ABCD的对角线BD上一点，连接CE，若点E在线段AD的垂直平分线上，点D在线段EC的垂直平分线上，且∠DCE=66°，则∠ADB= ．
【答案】24°
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AE，
∵∠DCE=66°，点D在线段EC的垂直平分线上，
∴∠CED=66°，∠CDE=48°，DE=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，CD=AB，
∴∠ABE=∠CDE=48°，
∵若点E在线段AD的垂直平分线上，
∴EA=ED，
∴AB=AE，
∴∠AEB=48°，
∴∠AED=132°，
∴∠ADE=24°，
∴∠ADB=24°．
故答案为：24°．
【分析】连接AE，先求出∠CED=66°，∠CDE=48°，DE=CD，利用平行四边形的性质可得∠ABE=∠CDE=48°，再利用角的运算求出∠ADB=24°即可。
17．（2023八下·瓯海期中）如图，在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF＝CE，连结EF，点M，N是线段EF上的两点，且EM＝FN，连结AN，CM.若∠CMF＝100°，∠CEM＝70°，则∠NAF＝ .
【答案】30°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠AFN＝∠CEM，
∵FN＝EM，AF＝CE，
∴△AFN≌△CEM（SAS）.
∴∠NAF＝∠ECM，
∵∠CMF＝∠CEM+∠ECM，
∴100°＝70°+∠ECM，
∴∠ECM＝30°，
∴∠NAF＝30°.
故答案为：30°.
【分析】由平行四边形的性质可得CD∥AB，根据平行线的性质可得∠AFN＝∠CEM，由已知条件可知FN＝EM，AF＝CE，利用SAS证明△AFN≌△CEM，得到∠NAF＝∠ECM，由外角的性质可得∠CMF=∠CEM+∠ECM，据此解答.
18．（2022八下·辽阳期末）如图，中，对角线，相交于点O，交于点E，连接，若的周长为15，则的周长为 ．
【答案】30
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴EB=ED，
∵ ABE的周长为15，
∴的周长．
∴平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=30
故答案为：30．
【分析】先证明是线段的垂直平分线，可得EB=ED，再利用三角形的周长公式和等量代换可得的周长，最后求出的周长即可。
19．（2022八下·枣庄期末）如图，将平行四边形进行折叠，折叠后恰好经过点C得到，若，则线段的长度为 ．
【答案】12
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AB＝CD＝DE＋CE＝9，ABCD
∴∠BAC＝∠ACD＝90°
∴∠ECD'＝90°
∵将平行四边形ABCD进行折叠，折叠后AD恰好经过点C得到AD'，
∴D'E＝DE＝5，AD＝AD'
∴CD'＝＝3
∴AD'＝AC＋3＝AD＝BC
∵BC2＝AB2＋AC2，
∴（AC＋3）2＝81＋AC2，
∴AC＝12
故答案为：12．
【分析】根据折叠的性质可得D'E＝DE＝5，AD＝AD'，利用勾股定理求出CD'的长，再利用勾股定理可得（AC＋3）2＝81＋AC2，最后求出AC的长即可。
20．（2022八下·康巴什期末）如图，在中，，E是BC的中点，，，P是BD上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】∵平行四边形ABCD中：BC=2BE=2×2=4=AB，
∴平行四边形ABCD为菱形，
∴A、C关于BD对称，
∴连AE交BD于P，
则PE+PC=PE+AP=AE，
根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值，
∵
∴
∴△ABC为等边三角形，
又∵BE=CE，
∴AE⊥BC，
∴
故答案为
【分析】根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值，再利用勾股定理求出AE的长即可。
三、解答题（共6题，共60分）
21．（2023八下·金东月考）如图平行四边形中，对角线，交于点，过点，并与，分别交于点，，已知，
（1）求的长；
（2）如果两条对角线长的和是20，求三角形的周长.
【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中
，
≌，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
的周长.
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AO=CO，由平行线的性质可得∠EAO=∠FCO，利用ASA证明△AOE≌△COF，得到AE=CF=3，然后根据BC=BF+CF进行计算；
（2）根据平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，AD=BC=8，结合AC+BD=20可得AO+BO=10，据此不难求出△AOD的周长.
22．（2023八下·杭州期中）如图，平行四边形ABCD中，AP，BP分别平分∠DAB和∠CBA，交于DC边上点P，AD=5．
（1）求线段AB的长．
（2）若BP=6，求△ABP的周长．
【答案】（1）解：∵平行四边形ABCD，
∴AB=CD，AD=BC=5，
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠BAP，
∵DC∥AB，
∴∠DPA＝∠PAB，
∴∠DAP＝∠DPA，
∴DA＝DP=5，
同理可证：CB＝CP=5
∴AB=DC＝DP＋CP＝5+5=10
（2）解：∵DA∥CP，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，
∴∠BAP＝∠BAD，∠PBA＝∠CBA，
∴∠PAB＋∠PBA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴
∴△ABP的周长为6+8+10=24
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得AB=CD，AD=BC=5，利用角平分线的定义和平行线的性质可得到∠DAP＝∠DPA，利用等角对等边可推出DA＝DP=5，同理可求出CP的长，根据AB=DC＝DP＋CP，代入计算求出AB的长.
（2）利用平行线的性质可得到∠DAB+∠ABC=180° ，利用角平分线的定义可推出∠PAB＋∠PBA＝90°，可证得△PAB是直角三角形，然后利用勾股定理求出AP的长，即可得到△ABP的周长.
23．（2023八下·杭州月考）如图，四边形是平行四边形，延长至点，使得，连接交于点．
（1）求证：．
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠A＝∠FBE，∠ADF＝∠E
又∵BC＝BE，
∴AD＝BE，
在△ADF和△BEF中，，
∴△ADF≌△BEF（ASA）；
（2）解：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC，
由（1）得：△ADF≌△BEF，
∴AD＝BE，EF＝DF，AF＝BF＝AB＝3，
∵AD＝DB＝5，
∴DB＝BE＝5，
∴BF⊥DE，
在Rt△BEF中，EF＝＝4，
∴DE＝2EF＝2×4＝8．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，AD＝BC，利用平行线的性质可知∠A＝∠FBE，∠ADF＝∠E，同时可证得AD=BE，利用ASA可证得结论.
（2）利用平行四边形的性质，可证得AB＝CD＝6，AD＝BC，利用全等三角形的性质可证得AD＝BE，EF＝DF，同时求出BF的长；再利用勾股定理求出EF的长，根据DE＝2EF，可求出DE的长.
24．（2021八下·兴庆期末）如图，已知中，的平分线交于点E，交的延长线于点F．
（1）求证：
（2）若点E是的中点，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴
∵的平分线交于点E，
（2）解：∵点E是的中点，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB∥CD，利用平行线的性质得∠AFD=∠CDE；利用角平分线的定义得∠ADF=∠CDE，推出∠AFD=∠ADF，利用等角对等边可证得结论；
（2）利用线段中点的定义可证得EB=EC，利用AAS可证得△FBE≌△DCE，利用全等三角形的性质可证得FE=DE，同时可求出BF的长，因此可求出AF的长；再利用等腰三角形三线合一的性质可证得AE⊥DF，利用勾股定理求出EF的长，即可得到DF的长.
25．（2022八下·芜湖期中）如图所示，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G．
（1）若∠EFG＝32°，求∠FEG的度数；
（2）求证：AF＝DE．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
又∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠BCD）=×180°=90°，
∴∠EGF=90°，
又∵∠EFG=32°，
∴∠FEG=90°-32°=58°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
同理可得：DF=CD，
∴AE=DF，即AF+EF=DE+EF，
∴AF=DE．
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质及角平分线的定义，即可得出∠EGF=90°，再根据三角形内角和定理，即可得出答案；
（2）根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，根据平行线性质和角平分线的定义得出∠ABE=∠AEB，推出AB=AE，同理得出DF=CD，即可得出结论。
26．（2022八下·盐城期末）如图，将平行四边形ABCD沿着对角线BD折叠，点C的对应点为C′，BC′与AD相交于点E.
（1） EB与ED相等吗？证明你的结论；
（2）连接AC′，判断AC′与BD的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）解：EB与ED相等.
由折叠可得，∠CBD=∠C'BD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE；
（2）解：AC′∥BD.理由如下：
∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD=BC，
由折叠知，BC'=BC，
∴AD=BC'，
由（1）知BE=DE，
∴AE=C'E，
∴∠DAC'=（180°-∠AEC'）=90°-∠AEC'，
同理：∠ADB=90°-∠BED，
∵∠AEC'=∠BED，
∴∠DAC'=∠ADB，
∴AC'∥BD，
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】 （1）EB与ED相等. 理由：由折叠可得∠CBD=∠C'BD，由平行线的性质可得∠ADB=∠CBD，即得∠EDB=∠EBD，利用等角对等边即得结论；
（2）AC′∥BD.理由：由平行四边形的性质及折叠可得AD=BC=BC' ，由（1）知BE=DE，可得AE=C'E，由等腰三角形的性质及三角形内角和可求出∠DAC'=（180°-∠AEC'）=90°-∠AEC'，同理可得∠ADB=90°-∠BED，由∠AEC'=∠BED可得∠DAC'=∠ADB，根据平行线的判定定理即得结论.
1 / 12022-2023学年初数北师大版八年级下册6.1 平行四边形的性质 同步必刷题
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2023八下·青秀期中）已知在中，，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022八下·大连期末）若平行四边形中两内角的度数比为2∶3，则其中较小的内角是（ ）．
A．36° B．45° C．60° D．72°
3．（2023八下·瓯海期中）如图，平行四边形的对角线AC，BD交于点O，已知BC＝6，BD＝12，AC＝8，则△OAD的周长为（ ）
A．13 B．14 C．16 D．18
4．（2023八下·永定期中）如图，在中，过点B作交延长线于点E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·富阳期中）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，则的长是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
6．（2022八下·文山期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BD＝6，BD⊥AB，则AC的长为（ ）
A．10 B． C． D．
7．（2022八下·滕州期末）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是（ ）
A．10 B．8 C．7 D．6
8．（2022八下·牡丹江期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF交AB于点E，交CD于点F，且，若，则阴影部分面积是（ ）
A． B． C．2 D．3
9．（2022八下·虎林期末）如图，在中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45°，CE=3，DF=1，则AF=（ ）
A． B． C． D．
10．（2023八下·瓯海期中）如图，平行四边形ABCD中，P是形内任意一点，△ABP，△BCP，△CDP，△ADP的面积分别为S1，S2，S3，S4，则一定成立的是（ ）
A．S1+S2＞S3+S4 B．S1+S2=S3+S4
C．S1+S2＜S3+S4 D．S1+S3=S2+S4
二、填空题（每空3分，共30分）
11．（2023八下·杭州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC．点E，F，D分别在AB，AC，BC上，且AEDF是平行四边形．若△CFD和△DEB的周长分别为5和10，则△ABC的周长是 ．
12．（2022八下·巴彦期末）四边形ABCD是平行四边形，AB＝8，∠BAD的平分线交直线BC于点E．若CE＝2，则BC的长为 ．
13．（2023八下·富阳期中） 用直角边分别是3和4的两个直角三角形拼成平行四边形，所得四边形周长为 ．
14．（2022八下·丹东期末）在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的周长为 ．
15．（2022八下·紫金期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝ ．
16．（2022八下·平远期末）如图，点E是□ABCD的对角线BD上一点，连接CE，若点E在线段AD的垂直平分线上，点D在线段EC的垂直平分线上，且∠DCE=66°，则∠ADB= ．
17．（2023八下·瓯海期中）如图，在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF＝CE，连结EF，点M，N是线段EF上的两点，且EM＝FN，连结AN，CM.若∠CMF＝100°，∠CEM＝70°，则∠NAF＝ .
18．（2022八下·辽阳期末）如图，中，对角线，相交于点O，交于点E，连接，若的周长为15，则的周长为 ．
19．（2022八下·枣庄期末）如图，将平行四边形进行折叠，折叠后恰好经过点C得到，若，则线段的长度为 ．
20．（2022八下·康巴什期末）如图，在中，，E是BC的中点，，，P是BD上的动点，则的最小值为 ．
三、解答题（共6题，共60分）
21．（2023八下·金东月考）如图平行四边形中，对角线，交于点，过点，并与，分别交于点，，已知，
（1）求的长；
（2）如果两条对角线长的和是20，求三角形的周长.
22．（2023八下·杭州期中）如图，平行四边形ABCD中，AP，BP分别平分∠DAB和∠CBA，交于DC边上点P，AD=5．
（1）求线段AB的长．
（2）若BP=6，求△ABP的周长．
23．（2023八下·杭州月考）如图，四边形是平行四边形，延长至点，使得，连接交于点．
（1）求证：．
（2）连接，若，，求的长．
24．（2021八下·兴庆期末）如图，已知中，的平分线交于点E，交的延长线于点F．
（1）求证：
（2）若点E是的中点，，，求的长．
25．（2022八下·芜湖期中）如图所示，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G．
（1）若∠EFG＝32°，求∠FEG的度数；
（2）求证：AF＝DE．
26．（2022八下·盐城期末）如图，将平行四边形ABCD沿着对角线BD折叠，点C的对应点为C′，BC′与AD相交于点E.
（1） EB与ED相等吗？证明你的结论；
（2）连接AC′，判断AC′与BD的位置关系，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
故答案为：D.
【分析】平行四边形的对角相等，则∠A=∠C，据此解答.
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设∠A＝3x，∠B＝2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∴2x+3x＝180°，
解得：x＝36°，
∴∠B＝2×36°＝72°，
故答案为：D．
【分析】设∠A＝3x，∠B＝2x，根据平行四边形的性质可得2x+3x＝180°，求出x的值，再求出∠B的度数即可。
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝6，BC＝AD＝6，
∴△OAD的周长＝OD+OA+AD＝4+6+6＝16.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质可得：OA＝OC＝4，OB＝OD＝6，BC＝AD＝6，据此不难求出△OAD的周长.
4．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的对角相等可得∠A=∠C=40°，由余角的性质可得∠EBC=90°-∠C，据此计算.
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴BC∥AD，BC=AD=8，AB=CD=6，
∴∠BCF=∠CFD，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=∠FCD=∠CFD，
∴DC=DF=6，
∴AF=AD-DF=8-6=2，
同理可证：AB=AE=6，
∴EF=AE-AF=6-2=4.
故答案为：B
【分析】利用平行四边形的性质，可证得BC∥AD，BC=AD=8，AB=CD=6，再利用角平分线的性质和平行线的性质可推出∠BCF=∠FCD=∠CFD，利用等角对等边可求出DF的长，可求出AF的长，同理可求出AE的长，再根据EF=AE-AF，代入计算求出EF的长.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：令对角线交点为，如图所示：
在中，，
在中，AB＝4，BO＝3，BD⊥AB，则，
，
故答案为：A．
【分析】先求出，再利用勾股定理计算求解即可。
7．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，
在△AOB中：4﹣3＜AB＜4+3，
即1＜AB＜7，
∴AB的长可能为6．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质可得OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，再利用三角形三边的关系求解即可。
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵□ABCD，
∴OB=OD，ABCD，
∴∠EBO=∠FDO，∠BEO=∠DFO，
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴S△BOE=S△DOF，
∴S阴影=2S△BOE，
∵，
∴S△BOE=S△AOB，
∵平行四边形ABCD，
∴S△AOB=，
∴S阴影=2×S△AOB=2××＝＝×16=，
故答案为：B．
【分析】先求出△BOE≌△DOF，再求出S△BOE=S△AOB，最后求解即可。
9．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由题意，如图：
在中，有，，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴△ABF和△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=CE=3，AF=BF，
∴，
∴，
∴AF=BF=，
故答案为：A．
【分析】
四边形内角和求得∠A，根据平行四边形性质对顶角相等即可求得△ABF和△BCE是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求得。
10．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∴S1+S3=平行四边形ABCD的面积，
S2+S4=平行四边形ABCD的面积，
∴S1+S3=S2+S4，
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，则S1+S3=平行四边形ABCD的面积，S2+S4=平行四边形ABCD的面积，据此解答.
11．【答案】15
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF，DF=AE，
∵ △CFD和△DEB的周长分别为5和10，
∴CF+FD+CD=5，DE+BD+BE=10，
∴CF+FD+CD+DE+BD+BE=15，
即CF+AF+AE+BE+BD+CD=15，
∴AC+AB+BC=15，即△ABC的周长为15.
故答案为：15.
【分析】根据平行四边形的对边相等可得DE=AF，DF=AE，进而根据三角形周长计算方法可得CF+FD+CD=5，DE+BD+BE=10，将两式相加后由等量代换及线段的和差得AC+AB+BC=15，从而即可得出答案.
12．【答案】6或10或10或6
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：当E点在线段BC上时，如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠BEA＝∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB，
∵AB＝8，
∴BE＝8，
∵CE＝2，
∴BC＝BE+CE＝8+2＝10，
当E点在线段BC延长线上时，如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠BEA＝∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB，
∵AB＝8，
∴BE＝8，
∵CE＝2，
∴BC＝BE﹣CE＝8﹣2＝6，
综上，BC的长为10或6．
故答案为：6或10．
【分析】分类讨论，利用平行四边形的性质计算求解即可。
13．【答案】14或16或18
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：这个直角三角形的斜边为，
当直角边为3为平行四边形的对角线时，平行四边形的两边长5和4，
∴这个四边形的周长为2×（5+4）=18；
当直角边为4为平行四边形的对角线时，平行四边形的两边长5和3，
∴这个四边形的周长为2×（5+3）=16；
当直角边为5为平行四边形的对角线时，平行四边形的两边长3和4，
∴这个四边形的周长为2×（3+4）=14；
∴所得四边形的周长为14或16或18.
故答案为：14或16或18
【分析】利用勾股定理求出这个直角三角形的斜边，再分情况讨论：当直角边为3为平行四边形的对角线时，平行四边形的两边长5和4；当直角边为4为平行四边形的对角线时，平行四边形的两边长5和3；当直角边为5为平行四边形的对角线时，平行四边形的两边长3和4；分别求出这个四边形的周长即可.
14．【答案】21
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝14，BD＝8，
∴，．
∵AB＝10，
∴△OAB的周长=AO+BO+AB=7+4+10=21．
故答案为：21．
【分析】利用平行四边形的性质求出AO和BO的长，再利用三角形的周长公式求出△OAB的周长即可。
15．【答案】．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，AB∥CD，
∴∠GCE＝∠B＝60°，
∵E是BC的中点，
∴CE＝BE＝2，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥DG，
∴∠G＝90°，
∴CG＝CE＝1，
∴EG＝CG＝，DG＝CD＋CG＝3＋1＝4，
∴DE＝；
故答案为．
【分析】先求出EG＝CG＝，DG＝CD＋CG＝3＋1＝4，再利用勾股定理求出DE的长即可。
16．【答案】24°
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AE，
∵∠DCE=66°，点D在线段EC的垂直平分线上，
∴∠CED=66°，∠CDE=48°，DE=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，CD=AB，
∴∠ABE=∠CDE=48°，
∵若点E在线段AD的垂直平分线上，
∴EA=ED，
∴AB=AE，
∴∠AEB=48°，
∴∠AED=132°，
∴∠ADE=24°，
∴∠ADB=24°．
故答案为：24°．
【分析】连接AE，先求出∠CED=66°，∠CDE=48°，DE=CD，利用平行四边形的性质可得∠ABE=∠CDE=48°，再利用角的运算求出∠ADB=24°即可。
17．【答案】30°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠AFN＝∠CEM，
∵FN＝EM，AF＝CE，
∴△AFN≌△CEM（SAS）.
∴∠NAF＝∠ECM，
∵∠CMF＝∠CEM+∠ECM，
∴100°＝70°+∠ECM，
∴∠ECM＝30°，
∴∠NAF＝30°.
故答案为：30°.
【分析】由平行四边形的性质可得CD∥AB，根据平行线的性质可得∠AFN＝∠CEM，由已知条件可知FN＝EM，AF＝CE，利用SAS证明△AFN≌△CEM，得到∠NAF＝∠ECM，由外角的性质可得∠CMF=∠CEM+∠ECM，据此解答.
18．【答案】30
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴EB=ED，
∵ ABE的周长为15，
∴的周长．
∴平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=30
故答案为：30．
【分析】先证明是线段的垂直平分线，可得EB=ED，再利用三角形的周长公式和等量代换可得的周长，最后求出的周长即可。
19．【答案】12
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AB＝CD＝DE＋CE＝9，ABCD
∴∠BAC＝∠ACD＝90°
∴∠ECD'＝90°
∵将平行四边形ABCD进行折叠，折叠后AD恰好经过点C得到AD'，
∴D'E＝DE＝5，AD＝AD'
∴CD'＝＝3
∴AD'＝AC＋3＝AD＝BC
∵BC2＝AB2＋AC2，
∴（AC＋3）2＝81＋AC2，
∴AC＝12
故答案为：12．
【分析】根据折叠的性质可得D'E＝DE＝5，AD＝AD'，利用勾股定理求出CD'的长，再利用勾股定理可得（AC＋3）2＝81＋AC2，最后求出AC的长即可。
20．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】∵平行四边形ABCD中：BC=2BE=2×2=4=AB，
∴平行四边形ABCD为菱形，
∴A、C关于BD对称，
∴连AE交BD于P，
则PE+PC=PE+AP=AE，
根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值，
∵
∴
∴△ABC为等边三角形，
又∵BE=CE，
∴AE⊥BC，
∴
故答案为
【分析】根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值，再利用勾股定理求出AE的长即可。
21．【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中
，
≌，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
的周长.
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AO=CO，由平行线的性质可得∠EAO=∠FCO，利用ASA证明△AOE≌△COF，得到AE=CF=3，然后根据BC=BF+CF进行计算；
（2）根据平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，AD=BC=8，结合AC+BD=20可得AO+BO=10，据此不难求出△AOD的周长.
22．【答案】（1）解：∵平行四边形ABCD，
∴AB=CD，AD=BC=5，
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠BAP，
∵DC∥AB，
∴∠DPA＝∠PAB，
∴∠DAP＝∠DPA，
∴DA＝DP=5，
同理可证：CB＝CP=5
∴AB=DC＝DP＋CP＝5+5=10
（2）解：∵DA∥CP，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，
∴∠BAP＝∠BAD，∠PBA＝∠CBA，
∴∠PAB＋∠PBA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴
∴△ABP的周长为6+8+10=24
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得AB=CD，AD=BC=5，利用角平分线的定义和平行线的性质可得到∠DAP＝∠DPA，利用等角对等边可推出DA＝DP=5，同理可求出CP的长，根据AB=DC＝DP＋CP，代入计算求出AB的长.
（2）利用平行线的性质可得到∠DAB+∠ABC=180° ，利用角平分线的定义可推出∠PAB＋∠PBA＝90°，可证得△PAB是直角三角形，然后利用勾股定理求出AP的长，即可得到△ABP的周长.
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠A＝∠FBE，∠ADF＝∠E
又∵BC＝BE，
∴AD＝BE，
在△ADF和△BEF中，，
∴△ADF≌△BEF（ASA）；
（2）解：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC，
由（1）得：△ADF≌△BEF，
∴AD＝BE，EF＝DF，AF＝BF＝AB＝3，
∵AD＝DB＝5，
∴DB＝BE＝5，
∴BF⊥DE，
在Rt△BEF中，EF＝＝4，
∴DE＝2EF＝2×4＝8．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，AD＝BC，利用平行线的性质可知∠A＝∠FBE，∠ADF＝∠E，同时可证得AD=BE，利用ASA可证得结论.
（2）利用平行四边形的性质，可证得AB＝CD＝6，AD＝BC，利用全等三角形的性质可证得AD＝BE，EF＝DF，同时求出BF的长；再利用勾股定理求出EF的长，根据DE＝2EF，可求出DE的长.
24．【答案】（1）证明：∵，
∴
∵的平分线交于点E，
（2）解：∵点E是的中点，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB∥CD，利用平行线的性质得∠AFD=∠CDE；利用角平分线的定义得∠ADF=∠CDE，推出∠AFD=∠ADF，利用等角对等边可证得结论；
（2）利用线段中点的定义可证得EB=EC，利用AAS可证得△FBE≌△DCE，利用全等三角形的性质可证得FE=DE，同时可求出BF的长，因此可求出AF的长；再利用等腰三角形三线合一的性质可证得AE⊥DF，利用勾股定理求出EF的长，即可得到DF的长.
25．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
又∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠BCD）=×180°=90°，
∴∠EGF=90°，
又∵∠EFG=32°，
∴∠FEG=90°-32°=58°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
同理可得：DF=CD，
∴AE=DF，即AF+EF=DE+EF，
∴AF=DE．
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质及角平分线的定义，即可得出∠EGF=90°，再根据三角形内角和定理，即可得出答案；
（2）根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，根据平行线性质和角平分线的定义得出∠ABE=∠AEB，推出AB=AE，同理得出DF=CD，即可得出结论。
26．【答案】（1）解：EB与ED相等.
由折叠可得，∠CBD=∠C'BD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE；
（2）解：AC′∥BD.理由如下：
∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD=BC，
由折叠知，BC'=BC，
∴AD=BC'，
由（1）知BE=DE，
∴AE=C'E，
∴∠DAC'=（180°-∠AEC'）=90°-∠AEC'，
同理：∠ADB=90°-∠BED，
∵∠AEC'=∠BED，
∴∠DAC'=∠ADB，
∴AC'∥BD，
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】 （1）EB与ED相等. 理由：由折叠可得∠CBD=∠C'BD，由平行线的性质可得∠ADB=∠CBD，即得∠EDB=∠EBD，利用等角对等边即得结论；
（2）AC′∥BD.理由：由平行四边形的性质及折叠可得AD=BC=BC' ，由（1）知BE=DE，可得AE=C'E，由等腰三角形的性质及三角形内角和可求出∠DAC'=（180°-∠AEC'）=90°-∠AEC'，同理可得∠ADB=90°-∠BED，由∠AEC'=∠BED可得∠DAC'=∠ADB，根据平行线的判定定理即得结论.
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