2022-2023学年初数北师大版八年级下册 6. 2 平行四边形的判定 同步必刷题
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·滕州期末）下列不能判断一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形
B．两组对边分别相等的四边形
C．对角线互相平分的四边形
D．一组对边相等，且另一组对边平行的四边形
2．（2022八下·太原期末）如图，四边形ABCD中，AB＝CD．添加下列一个条件后能使四边形ABCD成为平行四边形的是（ ）
A．AB//CD B．AD//BC C．AB＝BC D．AB＝AC
3．（2022八下·景谷期末）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的，则光线与纸板左上方所成的的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八下·费县期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3.5cm，BC＝5cm，AE平分∠BAD，CF∥AE，则AF的长度是（ ）
A．1.5cm B．2.5cm C．3.5cm D．0.5cm
5．（2022八下·薛城期末）如图，平行四边形中，，是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022八下·福州期末）如图，在中，，，，则的长为（ ）
A．6 B． C．12 D．
7．（2022八下·双台子期末）如图，在中，，，、、分别为、、的中点，连接、，则四边形的周长是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
8．（2022八下·乐昌期末）下列四组条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）
①AB=CD，AD=BC②AB=CD，ABCD ③AB=CD，ADBC④ABCD，ADBC
A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
9．（2022八下·乐亭期末）如图1，直线，直线分别交直线，于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论：
①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形；②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①错误，②正确
C．①②都错误 D．①正确，②错误
10．（2022八下·大兴期末）如图，我们称四个顶点都恰好在格点的四边形为格点四边形，A，B为4×4的正方形网格中的两个格点，在此图中以A，B为顶点的格点四边形是平行四边形的个数是（ ）．
A．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题（每空3分，共30分）
11．（2022八下·曲阳期末）如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，要使四边形AFCE是平行四边形，则需添加的一个条件可以是 ．（只添加一个条件）
12．（2022八下·太原期末）如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长至F．使EF＝DE，连接CF．若∠B＝45°，则的度数为 ．
13．（2022八下·顺义期末）等边△ABC的边长为4，点D是BC边上的任意一点（不与点B，C 重合），过点D分别作，，交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF的周长是 ．
14．（2022八下·新民期末）在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧，交于F，再分别以B、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G，若，，则的长为 ．
15．（2022八下·任丘期末）在平面直角坐标系中，已知A、B、C、D四点的坐标依次为（0，0）、（6，0）、（8，6）、（2，6），若一次函数y=mx-6m的图象将四边形ABCD的面积分成1：3两部分，则m的值为 ．
16．（2022八下·上林期末）在四边形ABCD中，，，若，则 .
17．（2022八下·漳州期末）在四边形中，现给出下列结论：
①若，，则四边形是平行四边形；
②若，，则四边形是平行四边形；
③若，，则四边形是平行四边形；
④若，，则四边形是平行四边形.
其中正确的结论是 .（写出所有正确结论的序号）
18．（2022八下·镇海区期中）如图，已知是边长为的等边三角形，点D是边上的一点，且，以为边作等边，过点E作EF//BC，交于点F，连接，则
.
19．（2022八下·温州期中）如图，在 ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，延长CD至点G，使DG=CD，以DG，DE为边向 ABCD外构造 DGME，连接BM交AD于点N，连接FN.若DG=DE=1，∠ADC=60°，则FN的长为 .
20．如图所示，在 ABCD中，对角线交于点O，点E，F在对角线AC上（不同于点A，C），当点E，F的位置满足 的条件时，四边形DEBF是平行四边形。
三、解答题（共6题，共60分）
21．（2023八下·仙居期中）如图，在四边形中，，与交于点E，点E是的中点，延长到点F，使．连接．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形．
22．（2022八下·范县期末）如图，在中，A、C分别在的延长线上，且．
求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
23．（2022八下·芜湖期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）在格点上找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，请画出这个四边形ABCD．
24．（2022八下·紫金期末）在四边形中，、交于点，，．
（1）证明：四边形是平行四边形；
（2）过点作交于点，连接．若，求的度数．
25．（2022八下·泰和期末）如图，在平行四边形中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点E，此时，恰为等边三角形．
（1）猜想与的位置关系，并证明你的结论；
（2）连接，请说明四边形为平行四边形；
26．（2022八下·陈仓期末）已知：如图，在中，点E，F在上，且.
（1）求证：四边形是平行四边形.
（2）当，，时，求平行四边形的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可。
2．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】A、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD是平行四边形，A符合题意；
B、不能判定四边形ABCD是平行四边形，如等腰梯形满足一组对边平行，另一组对边相等，故不符合题意；
C、由AB=BC=CD知，三条边相等的四边形不一定是平行四边形，如图所示四边形ABCD不是平行四边形，故不符合题意；
D、由已知：AB=CD=AC，四边形ABCD也不一定是平行四边形，如图所示，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的判定方法逐项判断即可。
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：光线平行，纸板对边平行，设平行光线标记字母如图，
，，
四边形ABCD是平行四边形，
．
故答案为：C．
【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得。
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝3.5cm，
∴EC＝BC BE＝5 3.5＝1.5（cm），
∴AF=1.5cm
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形和角平分线的性质可得AB＝BE＝3.5，再证明四边形AECF是平行四边形，可得AF=CE，最后利用线段的和差可得EC＝BC BE＝5 3.5＝1.5，从而可得AF的长。
5．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE＝BF，不能得出△ADE≌△CBF，
∴不能得出四边形DEBF是平行四边形，故A符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠DAE＝∠BCF，
∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB，DE＝BF，
∴∠DEF＝∠BFE；
∴DEBF，
∴四边形DEBF是平行四边形，故B不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠DAE＝∠BCF；
∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB，DE＝BF，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴DEBF，
∴四边形DEBF是平行四边形，故C不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠DAE＝∠BCF，
∵∠ADE＝∠CBF，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴DE＝CF，∠AED＝∠BFC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴DECF，
∴四边形DEBF是平行四边形，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可。
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC，交BC延长线于E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=5，AD∥BC，
∵
∴∠ACB=90°，
由勾股定理，得AC==12，
∵DE⊥BC，
∴AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴CE=AD=5，DE=AC=12，
∴BE=BC+CE=10，
∵DE⊥BC，
∴由勾股定理，得BD=，
故答案为：D．
【分析】过点D作DE⊥BC，交BC延长线于E，由平行四边形的性质“平行四边形的对边平行且相等”可得BC=AD，BC∥AD，由垂线的定义可得∠ACB=90°，在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得AC的值；根据同一平面内，同垂直于一条直线的两条直线互相平行可得AC∥DE，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ACED是平行四边形，于是可得CE=AD，DE=AC，由线段的构成BE=BC+CE可得BE的值，在直角三角形BDE中，用勾股定理可求得BD的值.
7．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，
∴DF=BC=1，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，
∴四边形DBEF为平行四边形，
∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（1+）=5．
故答案为：A．
【分析】先证明四边形DBEF为平行四边形，再利用平行四边形的周长公式计算即可。
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判断四边形ABCD为平行四边形；
②根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判断四边形ABCD为平行四边形；
③不能判定四边形ABCD为平行四边形；
④根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断四边形ABCD为平行四边形；
∴①②④符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可。
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】根据小嘉的行尺规作图，可以得到：∠ABD=∠CBD，AB=BC，
∵，
∴∠ADB=∠CBD，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵AB=BC，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．
∴①不符合题意，②符合题意
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的判定方法求解即可。
10．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如下图：由勾股定理和网格特征可得下列顶点四边形的两组对边分别相等，
∴都是平行四边形，
故答案为： D．
【分析】根据平行四边形的判定方法作图求解即可。
11．【答案】BF=DE（答案不唯一）．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：添加的条件为BF=DE，连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO、BO=DO，
∵BF=DE，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
故答案为BF=DE．
【分析】连接AC交BD于O，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，据此添加即可（答案不唯一）.
12．【答案】或45度
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点E为AC的中点，点D为AB的中点，
∴∥，且．
∵EF＝DE，
∴，
∴，
∴四边形BCFD为平行四边形，
∴．
故答案为：
【分析】先证明四边形BCFD为平行四边形，再利用平行四边形的性质可得。
13．【答案】8
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：为等边三角形，
四边形AEDF为平行四边形，
和为等边三角形，
∴四边形AEDF周长为：
故答案为：8．
【分析】先证明和为等边三角形，可得，再结合AB=4，利用四边形的周长公式及等量代换可得答案。
14．【答案】8
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
根据题意得：平分，，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
；
故答案为：8
【分析】利用勾股定理先求出OA=4，再求出四边形是平行四边形，最后计算求解即可。
15．【答案】或
【知识点】一次函数的图象；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵直线y=mx-6m经过定点B（6，0），A、B、C、D四点的坐标依次为（0，0）、（6，0）、（8，6）、（2，6），
∴CD∥AB，CD=8-2=6= AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ADC= S△ADC=S平行四边形ABCD，
又∵直线y=mx-6m把平行四边形ABCD的面积分成1：3的两部分．
∴直线y=mx-6m经过AD的中点M（1，3）或经过CD的中点N（5，6），
∴m-6m=3或5m-6m=6，
∴m=-或-6，
故答案为：-或-6．
【分析】由题意直线y=mx-6m经过定点B（6，0），又一次函数y=mx-6m的图象将四边形ABCD的面积分成1：3两部分，即可推出直线y=mx-6m经过AD的中点M（1，3）或经过CD的中点N（5，6），利用待定系数法即可解决问题．
16．【答案】140°
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∵∠A=40°，
∴∠B=140°.
故答案为：140°.
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ABCD是平行四边形，则AD∥BC，根据平行线的性质可得∠A+∠B=180°，然后结合∠A的度数就可求出∠B的度数.
17．【答案】②③
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：①因为一组对边平行，另一组对边相等可以是平行四边形，也可以是等腰梯形，所以①错误；
②因为两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以②正确；
③∵
∴
∵
∴
∴
∴四边形ABCD是平行四边形
因此③正确；
④作，连接BD'，
过点B作于E，在AE上截取，连接BD，
∵，，
∴，
将绕点B顺时针旋转，使BD'与BD重合，得到，
由作图可知：，，
∵四边形ABC'D'是平行四边形，
∴，，
∴，，
显然，图中的四边形ABCD不是平行四边形.
所以④错误；
故答案为：②③.
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可判断①；根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可判断②；根据平行线的性质可得∠A+∠D=180°，结合∠A=∠C可得∠D+∠C=180°，推出AD∥BC，然后根据平行四边形的判定定理可判断③；作平行四边形ABC′D′，连接BD′，过点B作BE⊥AD′于E，在AE上截取DE=D′E，连接BD，则BD′=BD，将△BC′D′绕点B顺时针旋转，使BD′与BD重合，得到△BCD，由作图可知CD=C′D′，∠C=∠C′，根据平行四边形的性质可得AB=C′D′，∠A=∠C′，则AB=CD，∠A=∠C，然后根据平行四边形的判定定理可判断④.
18．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，作于H，
，都是等边三角形，
，，，
，
在与中，
，
≌，
，，
∵ ，
，
是等边三角形，
，，
∵ ，
四边形是平行四边形，
.
故答案为：
【分析】连接EC，作CH⊥EF于H，由等边三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=∠ACB=60°，由角的构成和等式的性质可得∠BAD=∠CAE，在三角形BAD和三角形CAE中，用边角边可证，由全等三角形的性质并结合平行线的性质得BD=EC，∠ACE=∠ABD=∠EFC=60°，于是可得三角形EFC是等边三角形，由直角三角形的性质和勾股定理可求得CH的值，EF=EC=BD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BDEF是平行四边形，于是S平行四边形BDEF=BD×CH可求解.
19．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图：连接EF、AF
∵ DGME，DG=CD=1，
∴，
∵∠ADC=60°
∴∠AEF=60°
∵点E，F分别是AD，BC边的中点
∴，AE=DE
∴四边形ABFE是平行四边形，∠BAN=∠MEN
∵DG=DC，DG=DE
∴AE=EF=AB=ME=1
∵∠AEF=60°
∴△AEF是等边三角形
在△ABN和△EMN中
∴△ABN≌△EMN（SAA）
∴AN=NE
∴NE=
∴FN⊥AE
∴FN=
故答案为.
【分析】连接EF、AF，先证四边形ABFE是平行四边形，再根据AAS证明△ABN≌△EMN，可得AN=NE，即得NE= ，利用勾股定理求出FN的长即可.
20．【答案】AE=CF（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解： 当点E，F的位置满足AE=CF的条件时，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∴OA-OE=OC-OF，即OE=OF，
∴四边形DEBF为平行四边形.
故答案为：AE=CF.
【分析】由平行四边形的性质得出OB=OD，OA=OC，然后利用线段的和差关系得出OE=OF，则可判定四边形DEBF为平行四边形.
21．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠BCE，
∵点E是BD的中点，
∴BE=ED，
在△AED和△CEB中
∴△AED≌△CEB，
∴AE=CE
（2）证明：∵AE=CE，BE=ED，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵DF=CD，
∴DF=AB，
∴四边形ABDF是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠DAE=∠BCE，利用线段中点的定义可证得BE=DE，再利用AAS证明△AED≌△CEB，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得AB∥CD，AB=CD，即可推出DF=AB；然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
22．【答案】（1）证明：∵四边形BFDE是平行四边形，
∴BE＝DF，∠BED＝∠DFB，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）证明：∵四边形BFDE是平行四边形，
∴DE//BF，DE＝BF，
∵AE＝CF，
∴AE+DE＝CF+BF，即AD＝BC，
∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定方法证明求解即可；
（2）先求出 DE//BF，DE＝BF， 再求出 AD＝BC， 最后求解即可。
23．【答案】（1）解：由图形知：，，，
∴，
∴，
∴△ABC是直角三角形，
∴；
（2）解：如图所示，四边形ABCD就是所求作的平行四边形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）利用勾股定理计算求解即可；
（2）利用平行四边形的性质作图即可。
24．【答案】（1）解：∵，∴．即在和中，，∴，∴，∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，即，∴在和中，，∴∴，即．∵，∴，∴．∵四边形是平行四边形，∴，∴．
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）先利用“ASA”证明，可得AD=BC，再结合AD//BC，可得四边形是平行四边形；
（2）先利用“SAS”证明，可得，再利用角的运算和等量代换可得，再结合四边形是平行四边形，可得。
25．【答案】（1）解：结论：．理由如下：为等边三角形，，根据折叠的性质，，四边形是平行四边形，，，，
，，
，，
．
（2）解：证明：由（1）可知，，由折叠可知，三点在同一条直线上，
四边形是平行四边形，与平行且相等， 由折叠可知，与平行且相等，四边形为平行四边形．
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出，再结合AB//CD，可得，即可得到；
（2）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方法求解即可。
26．【答案】（1）证明：连接 交AC于O点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形（对角线互相平分得平行四边形）；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=5，
∵AB2+AC2=32+42=25，BC2=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，
∴S△ABC=AB·AC=6，
∴S 平行四边形ABCD=2S△ABC=12.
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，根据线段的和差关系得出OE=OF，则可证出四边形BEDF是平行四边形；
(2)根据平行四边形的性质求出BC长，再根据勾股定理逆定理证明△ABC为直角三角形，然后计算△ABC的面积，则可求出平行四边形ABCD的面积.
1 / 12022-2023学年初数北师大版八年级下册 6. 2 平行四边形的判定 同步必刷题
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·滕州期末）下列不能判断一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形
B．两组对边分别相等的四边形
C．对角线互相平分的四边形
D．一组对边相等，且另一组对边平行的四边形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可。
2．（2022八下·太原期末）如图，四边形ABCD中，AB＝CD．添加下列一个条件后能使四边形ABCD成为平行四边形的是（ ）
A．AB//CD B．AD//BC C．AB＝BC D．AB＝AC
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】A、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD是平行四边形，A符合题意；
B、不能判定四边形ABCD是平行四边形，如等腰梯形满足一组对边平行，另一组对边相等，故不符合题意；
C、由AB=BC=CD知，三条边相等的四边形不一定是平行四边形，如图所示四边形ABCD不是平行四边形，故不符合题意；
D、由已知：AB=CD=AC，四边形ABCD也不一定是平行四边形，如图所示，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的判定方法逐项判断即可。
3．（2022八下·景谷期末）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的，则光线与纸板左上方所成的的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：光线平行，纸板对边平行，设平行光线标记字母如图，
，，
四边形ABCD是平行四边形，
．
故答案为：C．
【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得。
4．（2022八下·费县期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3.5cm，BC＝5cm，AE平分∠BAD，CF∥AE，则AF的长度是（ ）
A．1.5cm B．2.5cm C．3.5cm D．0.5cm
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝3.5cm，
∴EC＝BC BE＝5 3.5＝1.5（cm），
∴AF=1.5cm
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形和角平分线的性质可得AB＝BE＝3.5，再证明四边形AECF是平行四边形，可得AF=CE，最后利用线段的和差可得EC＝BC BE＝5 3.5＝1.5，从而可得AF的长。
5．（2022八下·薛城期末）如图，平行四边形中，，是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE＝BF，不能得出△ADE≌△CBF，
∴不能得出四边形DEBF是平行四边形，故A符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠DAE＝∠BCF，
∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB，DE＝BF，
∴∠DEF＝∠BFE；
∴DEBF，
∴四边形DEBF是平行四边形，故B不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠DAE＝∠BCF；
∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB，DE＝BF，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴DEBF，
∴四边形DEBF是平行四边形，故C不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠DAE＝∠BCF，
∵∠ADE＝∠CBF，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴DE＝CF，∠AED＝∠BFC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴DECF，
∴四边形DEBF是平行四边形，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可。
6．（2022八下·福州期末）如图，在中，，，，则的长为（ ）
A．6 B． C．12 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC，交BC延长线于E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=5，AD∥BC，
∵
∴∠ACB=90°，
由勾股定理，得AC==12，
∵DE⊥BC，
∴AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴CE=AD=5，DE=AC=12，
∴BE=BC+CE=10，
∵DE⊥BC，
∴由勾股定理，得BD=，
故答案为：D．
【分析】过点D作DE⊥BC，交BC延长线于E，由平行四边形的性质“平行四边形的对边平行且相等”可得BC=AD，BC∥AD，由垂线的定义可得∠ACB=90°，在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得AC的值；根据同一平面内，同垂直于一条直线的两条直线互相平行可得AC∥DE，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ACED是平行四边形，于是可得CE=AD，DE=AC，由线段的构成BE=BC+CE可得BE的值，在直角三角形BDE中，用勾股定理可求得BD的值.
7．（2022八下·双台子期末）如图，在中，，，、、分别为、、的中点，连接、，则四边形的周长是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，
∴DF=BC=1，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，
∴四边形DBEF为平行四边形，
∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（1+）=5．
故答案为：A．
【分析】先证明四边形DBEF为平行四边形，再利用平行四边形的周长公式计算即可。
8．（2022八下·乐昌期末）下列四组条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）
①AB=CD，AD=BC②AB=CD，ABCD ③AB=CD，ADBC④ABCD，ADBC
A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判断四边形ABCD为平行四边形；
②根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判断四边形ABCD为平行四边形；
③不能判定四边形ABCD为平行四边形；
④根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断四边形ABCD为平行四边形；
∴①②④符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可。
9．（2022八下·乐亭期末）如图1，直线，直线分别交直线，于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论：
①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形；②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①错误，②正确
C．①②都错误 D．①正确，②错误
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】根据小嘉的行尺规作图，可以得到：∠ABD=∠CBD，AB=BC，
∵，
∴∠ADB=∠CBD，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵AB=BC，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．
∴①不符合题意，②符合题意
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的判定方法求解即可。
10．（2022八下·大兴期末）如图，我们称四个顶点都恰好在格点的四边形为格点四边形，A，B为4×4的正方形网格中的两个格点，在此图中以A，B为顶点的格点四边形是平行四边形的个数是（ ）．
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如下图：由勾股定理和网格特征可得下列顶点四边形的两组对边分别相等，
∴都是平行四边形，
故答案为： D．
【分析】根据平行四边形的判定方法作图求解即可。
二、填空题（每空3分，共30分）
11．（2022八下·曲阳期末）如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，要使四边形AFCE是平行四边形，则需添加的一个条件可以是 ．（只添加一个条件）
【答案】BF=DE（答案不唯一）．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：添加的条件为BF=DE，连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO、BO=DO，
∵BF=DE，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
故答案为BF=DE．
【分析】连接AC交BD于O，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，据此添加即可（答案不唯一）.
12．（2022八下·太原期末）如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长至F．使EF＝DE，连接CF．若∠B＝45°，则的度数为 ．
【答案】或45度
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点E为AC的中点，点D为AB的中点，
∴∥，且．
∵EF＝DE，
∴，
∴，
∴四边形BCFD为平行四边形，
∴．
故答案为：
【分析】先证明四边形BCFD为平行四边形，再利用平行四边形的性质可得。
13．（2022八下·顺义期末）等边△ABC的边长为4，点D是BC边上的任意一点（不与点B，C 重合），过点D分别作，，交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF的周长是 ．
【答案】8
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：为等边三角形，
四边形AEDF为平行四边形，
和为等边三角形，
∴四边形AEDF周长为：
故答案为：8．
【分析】先证明和为等边三角形，可得，再结合AB=4，利用四边形的周长公式及等量代换可得答案。
14．（2022八下·新民期末）在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧，交于F，再分别以B、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G，若，，则的长为 ．
【答案】8
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
根据题意得：平分，，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
；
故答案为：8
【分析】利用勾股定理先求出OA=4，再求出四边形是平行四边形，最后计算求解即可。
15．（2022八下·任丘期末）在平面直角坐标系中，已知A、B、C、D四点的坐标依次为（0，0）、（6，0）、（8，6）、（2，6），若一次函数y=mx-6m的图象将四边形ABCD的面积分成1：3两部分，则m的值为 ．
【答案】或
【知识点】一次函数的图象；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵直线y=mx-6m经过定点B（6，0），A、B、C、D四点的坐标依次为（0，0）、（6，0）、（8，6）、（2，6），
∴CD∥AB，CD=8-2=6= AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ADC= S△ADC=S平行四边形ABCD，
又∵直线y=mx-6m把平行四边形ABCD的面积分成1：3的两部分．
∴直线y=mx-6m经过AD的中点M（1，3）或经过CD的中点N（5，6），
∴m-6m=3或5m-6m=6，
∴m=-或-6，
故答案为：-或-6．
【分析】由题意直线y=mx-6m经过定点B（6，0），又一次函数y=mx-6m的图象将四边形ABCD的面积分成1：3两部分，即可推出直线y=mx-6m经过AD的中点M（1，3）或经过CD的中点N（5，6），利用待定系数法即可解决问题．
16．（2022八下·上林期末）在四边形ABCD中，，，若，则 .
【答案】140°
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∵∠A=40°，
∴∠B=140°.
故答案为：140°.
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ABCD是平行四边形，则AD∥BC，根据平行线的性质可得∠A+∠B=180°，然后结合∠A的度数就可求出∠B的度数.
17．（2022八下·漳州期末）在四边形中，现给出下列结论：
①若，，则四边形是平行四边形；
②若，，则四边形是平行四边形；
③若，，则四边形是平行四边形；
④若，，则四边形是平行四边形.
其中正确的结论是 .（写出所有正确结论的序号）
【答案】②③
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：①因为一组对边平行，另一组对边相等可以是平行四边形，也可以是等腰梯形，所以①错误；
②因为两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以②正确；
③∵
∴
∵
∴
∴
∴四边形ABCD是平行四边形
因此③正确；
④作，连接BD'，
过点B作于E，在AE上截取，连接BD，
∵，，
∴，
将绕点B顺时针旋转，使BD'与BD重合，得到，
由作图可知：，，
∵四边形ABC'D'是平行四边形，
∴，，
∴，，
显然，图中的四边形ABCD不是平行四边形.
所以④错误；
故答案为：②③.
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可判断①；根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可判断②；根据平行线的性质可得∠A+∠D=180°，结合∠A=∠C可得∠D+∠C=180°，推出AD∥BC，然后根据平行四边形的判定定理可判断③；作平行四边形ABC′D′，连接BD′，过点B作BE⊥AD′于E，在AE上截取DE=D′E，连接BD，则BD′=BD，将△BC′D′绕点B顺时针旋转，使BD′与BD重合，得到△BCD，由作图可知CD=C′D′，∠C=∠C′，根据平行四边形的性质可得AB=C′D′，∠A=∠C′，则AB=CD，∠A=∠C，然后根据平行四边形的判定定理可判断④.
18．（2022八下·镇海区期中）如图，已知是边长为的等边三角形，点D是边上的一点，且，以为边作等边，过点E作EF//BC，交于点F，连接，则
.
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，作于H，
，都是等边三角形，
，，，
，
在与中，
，
≌，
，，
∵ ，
，
是等边三角形，
，，
∵ ，
四边形是平行四边形，
.
故答案为：
【分析】连接EC，作CH⊥EF于H，由等边三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=∠ACB=60°，由角的构成和等式的性质可得∠BAD=∠CAE，在三角形BAD和三角形CAE中，用边角边可证，由全等三角形的性质并结合平行线的性质得BD=EC，∠ACE=∠ABD=∠EFC=60°，于是可得三角形EFC是等边三角形，由直角三角形的性质和勾股定理可求得CH的值，EF=EC=BD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BDEF是平行四边形，于是S平行四边形BDEF=BD×CH可求解.
19．（2022八下·温州期中）如图，在 ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，延长CD至点G，使DG=CD，以DG，DE为边向 ABCD外构造 DGME，连接BM交AD于点N，连接FN.若DG=DE=1，∠ADC=60°，则FN的长为 .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图：连接EF、AF
∵ DGME，DG=CD=1，
∴，
∵∠ADC=60°
∴∠AEF=60°
∵点E，F分别是AD，BC边的中点
∴，AE=DE
∴四边形ABFE是平行四边形，∠BAN=∠MEN
∵DG=DC，DG=DE
∴AE=EF=AB=ME=1
∵∠AEF=60°
∴△AEF是等边三角形
在△ABN和△EMN中
∴△ABN≌△EMN（SAA）
∴AN=NE
∴NE=
∴FN⊥AE
∴FN=
故答案为.
【分析】连接EF、AF，先证四边形ABFE是平行四边形，再根据AAS证明△ABN≌△EMN，可得AN=NE，即得NE= ，利用勾股定理求出FN的长即可.
20．如图所示，在 ABCD中，对角线交于点O，点E，F在对角线AC上（不同于点A，C），当点E，F的位置满足 的条件时，四边形DEBF是平行四边形。
【答案】AE=CF（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解： 当点E，F的位置满足AE=CF的条件时，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∴OA-OE=OC-OF，即OE=OF，
∴四边形DEBF为平行四边形.
故答案为：AE=CF.
【分析】由平行四边形的性质得出OB=OD，OA=OC，然后利用线段的和差关系得出OE=OF，则可判定四边形DEBF为平行四边形.
三、解答题（共6题，共60分）
21．（2023八下·仙居期中）如图，在四边形中，，与交于点E，点E是的中点，延长到点F，使．连接．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠BCE，
∵点E是BD的中点，
∴BE=ED，
在△AED和△CEB中
∴△AED≌△CEB，
∴AE=CE
（2）证明：∵AE=CE，BE=ED，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵DF=CD，
∴DF=AB，
∴四边形ABDF是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠DAE=∠BCE，利用线段中点的定义可证得BE=DE，再利用AAS证明△AED≌△CEB，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得AB∥CD，AB=CD，即可推出DF=AB；然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
22．（2022八下·范县期末）如图，在中，A、C分别在的延长线上，且．
求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
【答案】（1）证明：∵四边形BFDE是平行四边形，
∴BE＝DF，∠BED＝∠DFB，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）证明：∵四边形BFDE是平行四边形，
∴DE//BF，DE＝BF，
∵AE＝CF，
∴AE+DE＝CF+BF，即AD＝BC，
∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定方法证明求解即可；
（2）先求出 DE//BF，DE＝BF， 再求出 AD＝BC， 最后求解即可。
23．（2022八下·芜湖期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）在格点上找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，请画出这个四边形ABCD．
【答案】（1）解：由图形知：，，，
∴，
∴，
∴△ABC是直角三角形，
∴；
（2）解：如图所示，四边形ABCD就是所求作的平行四边形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）利用勾股定理计算求解即可；
（2）利用平行四边形的性质作图即可。
24．（2022八下·紫金期末）在四边形中，、交于点，，．
（1）证明：四边形是平行四边形；
（2）过点作交于点，连接．若，求的度数．
【答案】（1）解：∵，∴．即在和中，，∴，∴，∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，即，∴在和中，，∴∴，即．∵，∴，∴．∵四边形是平行四边形，∴，∴．
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）先利用“ASA”证明，可得AD=BC，再结合AD//BC，可得四边形是平行四边形；
（2）先利用“SAS”证明，可得，再利用角的运算和等量代换可得，再结合四边形是平行四边形，可得。
25．（2022八下·泰和期末）如图，在平行四边形中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点E，此时，恰为等边三角形．
（1）猜想与的位置关系，并证明你的结论；
（2）连接，请说明四边形为平行四边形；
【答案】（1）解：结论：．理由如下：为等边三角形，，根据折叠的性质，，四边形是平行四边形，，，，
，，
，，
．
（2）解：证明：由（1）可知，，由折叠可知，三点在同一条直线上，
四边形是平行四边形，与平行且相等， 由折叠可知，与平行且相等，四边形为平行四边形．
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出，再结合AB//CD，可得，即可得到；
（2）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方法求解即可。
26．（2022八下·陈仓期末）已知：如图，在中，点E，F在上，且.
（1）求证：四边形是平行四边形.
（2）当，，时，求平行四边形的面积.
【答案】（1）证明：连接 交AC于O点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形（对角线互相平分得平行四边形）；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=5，
∵AB2+AC2=32+42=25，BC2=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，
∴S△ABC=AB·AC=6，
∴S 平行四边形ABCD=2S△ABC=12.
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，根据线段的和差关系得出OE=OF，则可证出四边形BEDF是平行四边形；
(2)根据平行四边形的性质求出BC长，再根据勾股定理逆定理证明△ABC为直角三角形，然后计算△ABC的面积，则可求出平行四边形ABCD的面积.
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