浙江省温州市十校联合体2013-2014学年高二下学期期末联考数学（理）试题

一、选择题（每小题4分，共40分）
1．若集合，，则（ ▲ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中,在区间上为增函数的是（ ▲ ）
A． B． C． D．
3. 已知中，“”是“”的（ ▲ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知圆的方程为，设该圆中过点的最长弦、最短弦分别为，则的值为（ ▲ ）
A. B. C. D.
5．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题不正确的是( ▲ )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．将函数图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是(▲ )
A． B． C． D．
7．设等比数列{}的前n项和为。若，,则( ▲ )
A．24 B． 12 C．18 D．22
8．若的外接圆的圆心为，半径为，若，且，则 等于（ ▲ ）
A． B． C． D．
9．已知双曲线的左右焦点分别为，为的右支上一点，且，则的面积等于( ▲ )
A.　　 B.　　 C.　　 D.
10．定义在R上的奇函数，当时，，则函数的所有零点之和为（ ▲ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11.若点在不等式表示的平面区域内，则的取值范围为___▲___.
12．若，，则___▲___
13．如果一个几何体的三视图如图所示，
其中正视图中△ABC是边长为2的正三
角形，俯视图为正六边形，那么该几何
体的侧视图的面积为____▲____．
14．，则的最小值为___▲__．
15. 已知点和抛物线的焦点，若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为___▲___．
16．已知数列满足递推关系式 (n∈N*)，且为等差数列，则的值是___▲___．
17.对于函数，有如下三个命题：
①是偶函数；
②在区间上是减函数，在区间上是增函数；
③在区间上是增函数．
其中正确命题的序号是 ▲ ．（将你认为正确的命题序号都填上）
三、解答题（本大题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
18. （本题满分12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，
（1）求B；
（2）若△ABC的面积S＝，＝4，求边的长度.
19.（本题满分12分）设等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，设为数列的前项和，试比较与的大小.
20．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF平面ABCD，EF//AB，,AD=2,AB= AF=2EF=l，点P在棱DF上．
（1）若P为DF的中点，求证：BF//平面ACP
（2）若二面角D-AP-C的余弦值为，求PF的长度．

21．（本小题满分14分）已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且椭圆的长轴长为，左右顶点分别为A，B，经过椭圆左焦点的直线与椭圆交于C、D两点．
（1）求椭圆标准方程：
（2）记ABD与ABC的面积分别为和，且，求直线方程；
（3）椭圆的上顶点作直线、，使，直线、分别交椭圆于点、．问：是否过一定点，若是求出该点的坐标；若不是，请说明理由．
2013学年第二学期温州市十校联合体期末考试
高二数学(理科)参考答案及评分标准
三、解答题（本大题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
18. 解:
(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.
由余弦定理得cos B＝＝－，
因此B＝120°. ……………………………………………………………6分
(2)由S＝ac sin B＝ac·＝ac＝4 ，得ac＝16，又a＝4，知c＝4. ……8分
所以A=C=300, 由正弦定理得b=＝4 .………………… ………12分
19．解：
(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
由S4＝4S2，a4＝2a2＋1得解得a1＝1，d＝2. ……4分
因此an＝2n－1，n∈N*. ………………v ………5分
(2)由已知＝，n∈N*，
由(1)知an＝2n－1，n∈N*，所以bn＝，n∈N*. ………6分
又Tn＝＋＋＋…＋，
Tn＝＋＋…＋＋，
两式相减得
Tn＝＋－ ………9分
＝－－，
所以Tn＝3－. ………11分
故Tn<3 ………12分
20.解：（Ⅰ）证明：连接BD，交AC于点O，连接OP．
因为P是DF中点，O为矩形ABCD 对角线的交点，
所以OP为三角形BDF中位线，
所以BF // OP，
因为BF平面ACP，OP平面ACP，
所以BF // 平面ACP． ……………………4分
(II)因为∠BAF=90o，所以AF⊥AB，
因为 平面ABEF⊥平面ABCD，
且平面ABEF ∩平面ABCD= AB，
所以AF⊥平面ABCD，
因为四边形ABCD为矩形，
所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系． ………6分
所以 ，，，．
因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为． ……8分
设P点坐标为，
在平面APC中，，，
所以 平面APC的法向量为 ， ………10分
所以 ， ………12分
解得，或（舍）． 此时． …………14分
21解 (I)由题设可知抛物线的焦点坐标为（2,0）
故椭圆中的c=2，又椭圆的a=所以
故椭圆标准方程为： ………4分
(II)由题意可设直线：，代入椭圆方程得
设，A（-，0），B（，0）
则， ………6分
于是
解得m=，故直线的方程为。 ………8分
（III）易知，直线、n的斜率显然存在，设直线：，代入椭圆方程得，即，
解得．
同理，直线的方程为，．……………… 10分
故直线的方程为， …………12分
即
所以，直线经过定点． …………14分