贵阳市南明区 2021 年初三摸底考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题（每小题 3 分，共 36 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C B C B C A C D B D A
二、填空题（每小题 4 分，共 16 分）
13. - （或 ÷ ）填对一个均为满分 14. 7 15. 12
16.
三、解答题：
17．（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD
∴四边形 DECO是平行四边形..................................................................................................（2分）
∵四边形 ABCD是菱形，∴AC⊥BD
∴∠DOC＝90°
∴四边形 DECO是矩形 ...........................................................................................................（4分）
（2）解：∵四边形 DECO是矩形
∴OC＝DE＝4 ............................................................................（5分）
∵菱形 ABCD，∴OA＝OC＝4，且 AC⊥BD于点 O
∵在 Rt△AOD中，∠ADB＝30°，
OA 4
∴OD＝ ＝ ＝4
∠ 30°
∴矩形 DECO中，CE= OD＝4 ............................................................................................（7分）
∵OA＝OC ，OD∥CE交 AE于点 F
∴OF是△ACE的中位线
∴OF＝ CE＝2 .....................................................................................................................（9分）
∴在 Rt△AOF中，AF＝ ＝ ＝2 .........................................（10分）
贵阳市南明区初三摸底考试数学卷参考答案 第 1页（共 7 页）
18．（1） 50 ；..........................................................................................................................（2分）
（2） 30 ， 72°；...........................................................................................................（6分）
（3）如图所示
5
................. ............................（8分）
（4）解： （人）
答：该校最喜欢方式 D的学生约有 400人．........................................................................（12分）
19. 解：（1）设本次红旺商店购进 A种商品的件数为 x件，B种商品的件数为 y件 ......（1分）
120x 100y 36000
依题意得 ..................................... （3分）
(138 120)x (120 100)y 6000
解得 .........................................................................（4分）
答：本次红旺商店购进 A种商品 200件，B种商品 120件． .............................................（5分）
（2）设 B商品每件的售价为 a元 .........................................................................（6分）
依题意得（138﹣120）×200×2+（a﹣100）×120×2≥11040 .........................（8分）
解得 a≥116 .........................................................................（9分）
答：B商品每件的最低售价为 116元． .........................................................................（10分）
20．解：（1）P（摸出小球上的数字是无理数）＝ ...............................................................................（4分）
（2）画树状图如下：
所有可能出现的结果为：
（ 2， 2）（ 2， 3）（ 2，5）（ 3， 2）（ 3， 3）（ 3，5）（5， 2）（5， 3）（5，5）
或列表如下：
贵阳市南明区初三摸底考试数学卷参考答案 第 2页（共 7 页）
第 1 个 2 3 5
第 2 个
2 （ 2， 2） （ 3， 2） （5， 2）
3 （ 2， 3） （ 3， 3） （5， 3）
5 2 ..................................（8分）（ ，5） （ 3，5） （5，5）
共有9种等可能的结果，其中两个数字的乘积为有理数的可能结果有3种： 2， 2 ， 3， 3 ， 5，5
∴P（两次摸出的小球所标数字乘积是有理数） =
3 = 1. ..............................................（10分）
9 3
21．
D
30°
图 3
解：（1）∵在 Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC＝AB+BC＝2米，∠CAD＝30°，
∴CD＝AC tan∠CAD＝2tan30°＝ （米） ................................................................（2分）
∵在 Rt△BCD′中，∠BCD′=90°， BC＝0.5米，∠CBD′＝60°，
∴CD′＝BC tan∠CBD′＝0.5 tan60°＝ （米），........................................................（4分）
∴CD﹣CD′＝ ﹣ ＝ （米）
答：图 3中 CD′的长度比图 2中 CD的长度收缩了 米．............................................（5分）
（2）如图，图 3中遮阳篷的长度为图 2中 CD的长度时，过 D作 DE∥BD′，交 AB于点 E．
∵在 Rt△ECD中， CD＝ 米，∠CED＝60°，
∴CE＝ ＝ ＝ （米）.................................................................................（8分）
∴BE＝CE﹣BC＝ ﹣0.5＝ （米）
答：该遮阳篷落在窗户 AB上的阴影长度为 米．...................................................（10分）
22．解：（1）∵ OABC中，AB∥OC，OC在 x轴负半轴上，OB在 y轴上
贵阳市南明区初三摸底考试数学卷参考答案 第 3页（共 7 页）
∴AB⊥OB，OC＝AB＝2 ∴ C（﹣2，0）
∵Rt△OAB中，AB＝2，OA＝2 5 ∴OB＝4，
∴A（2，4）， ..............................................................................（2分）
∵反比例函数 = 的图象经过点 A，∴m＝2×4＝8，
= 8∴反比例函数解析式是 ..................................................................................（4分）
∵一次函数 y＝kx+b的图象过点 A（2，4），C（﹣2，0）
∴ ， 解得
∴一次函数解析式是 y＝x+2 .................................................................................（6分）
（2）联立解 得 或 ， ..............................................................................（9分）
∵A（2，4） ∴D（﹣4，﹣2）................................................................................（10分）
∴S△BDC＝S△ABD﹣S△ABC＝ ×2×6﹣ ×2×4＝2 .................................................（12分）
声明：试
题解析23．（1）证明：∵⊙O中，OB=OD ∴∠ABC ＝∠BDO.....................................................（1分）
∵GF是过点 D的⊙O的切线
∴OD⊥DF 又∵DF⊥AC于点 F
∴∠ODG＝∠DFA＝90° ..............................................................................（3分）
∴OD∥AC
∴∠C=∠BDO =∠ABC
∴△ABC 中，AB＝AC
即△ABC是等腰三角形 ................................................................................（5分）
（2）如图，连接 AD .........................................................................................................（6分）
∵∠ADB是⊙O的直径 AB所对的圆周角，
∴∠ADB＝90° ∴∠ADC＝90°． 又∵DF⊥AC于点 F
∴在 Rt△ADC和 Rt△DCF中，∠ADF+∠CDF＝∠C+∠CDF＝90°
∴∠ADF ＝∠C
又∵∠C＝∠ABC ∴∠ADF＝∠C＝∠ABC
∴sin∠ADF＝ sinC＝sin∠ABC＝ .........................................（8分）
贵阳市南明区初三摸底考试数学卷参考答案 第 4页（共 7 页）
∵△ABC中，AC＝AB＝20，
∴在 Rt △ ADC中，AD = ACsin∠C = 20 × = 16
∴在 Rt △ ADF中，AF = ADsin∠ADF = 16 × =
因此，线段 AF的长为 ．.............................................................................................（10分）
24.（1）解：∵抛物线 y＝a（x﹣ ）2+h的对称轴为直线 x＝ ，
且此抛物线与 x轴相交于点 A（1，0）和点 B
∴ ＝1 + 2 ×（ ﹣1）＝4..............................................................................（3分）
∴点 B的坐标为（4，0）．..................................................................................（4分）
（2）存在．理由：连接 BC，交直线 x＝ 于点 P（如图 1），此时四边形 PAOC的周长最小．
..............................................................（5分）
设直线 BC解析式为 y＝kx+n
∵ B（4，0），C（0，3），
∴ ， 解得
∴直线 BC的解析式为 y＝﹣ x+3..........................................................................（7分）
∵当 x＝ 时，y＝﹣ x+3＝ ，
∴点 P的坐标为（ ， ）．....................................................................................（8分）
（3）存在，理由：
①当∠BQM＝90°时（如图 2）
贵阳市南明区初三摸底考试数学卷参考答案 第 5页（共 7 页）
∵M在线段 BC上 ∴设 M（m，﹣ m+3）
∵∠CMQ＞90° ∴只能 CM＝MQ＝﹣ m+3，
∵MQ∥y轴 ∴△MQB∽△COB
∴ ，即 ，解得：m＝
∴M（ ， ）．........................................................................................................（10分）
②当∠QMB＝90°时（如图 3）
∵∠CMQ＝90° ∴只能 CM＝MQ，
设 CM＝MQ＝m， ∴BM＝5﹣m，
∵∠BMQ＝∠COB＝90°，∠MBQ＝∠OBC，
∴△BMQ∽△BOC， ∴ ，即 ，
解得 m＝ ，即 CM＝
过点 M作 MN∥OB交 y轴于点 N，
∴△CNM∽△COB ∴ ，即 ，
∴MN ＝ ，
∵点M在线段 BC上，且 BC的解析式为 y＝﹣ x+3，
∴当 x＝ 时，则 y＝﹣ x+3＝ ，
∴M（ ， ）．
综上，在线段 BC上存在这样的点 M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形，点 M
的坐标为（ ， ）或（ ， ）．........................................................................................（12分）
25．解：（1）证明：（如图 1）
∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°..................................................（1分）
∴在 Rt△AOD和 Rt△BOC中，由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2
在 Rt△AOD和 Rt△BOC中，由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2...........（3分）
∴ AB2+CD2＝AD2+BC2..............................................................................................................（4分）
贵阳市南明区初三摸底考试数学卷参考答案 第 6页（共 7 页）
（2）①连接 PC、AQ交于点 D（如图 2）
∵△ABP和△CBQ都是等腰直角三角形
∴PB＝AB，CB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ＝90°
∴∠ABP+∠ABC＝∠CBQ+∠ABC，即∠PBC＝∠ABQ
∴△PBC ≌△ABQ（SAS） ∴∠BPC＝∠BAQ
又∵等腰 Rt△ABP中，∠BPC+∠CPA+∠BAP＝90°
∴∠BAQ+∠CPA+∠BAP＝90°
∴△ADP中，∠PDA＝90° ∴PC⊥AQ...............................................................................（6分）
∵等腰 Rt△ABP中，PB＝AB＝5，等腰 Rt△CBQ中，BQ＝CQ＝4
∴AP＝5 ，CQ＝4 ，Rt△ABC中，AC＝3
∴由（1）中的结论：AP2+CQ2＝AC2+PQ2
得（5 ）2+（4 ）2＝32+PQ2；
∴PQ＝ ...............................................................................................................................（8分）
② S△ABC ＝ ．...........................................................................................................................（12分）
分析：连接 PC、AQ交于点 D（如图 3）
同①可证△PBC≌△ABQ（SAS），AQ＝PC且 AQ⊥PC，
∵M、N分别是 AC、AP中点，∴MN是△PAC的中位线
∵MN＝2 ， ∴AQ＝PC＝2MN＝4
作 AE⊥QB交 QB延长线于点 E
则在 Rt△AEB中，有 AE2+BE2＝AB2＝25，在 Rt△AEQ中，有 AE2+QE2＝AQ2＝48，
∴QE2﹣BE2＝48﹣25＝23
又∵QE＝BQ+BE＝4+BE
∴（4+BE）2﹣BE2＝23， 解得 BE＝ ，
∴S△ABC＝ BC×BE＝ ＝
贵阳市南明区初三摸底考试数学卷参考答案 第 7页（共 7 页）贵阳市南明区 2021 年初三摸底考试试题卷
数 学
同学你好！答题前请认真阅读以下内容：
1.全卷共 6 页，三个大题，共 25 小题，满分 150 分.考试时间为 120 分钟.
2.一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效.
一、选择题（以下每小题均有 A、B、C、D 四个选项，其中只有一个选项正确，请用 2B 铅笔在答
题卡相应的位置作答，每小题 3 分，共 36 分）
1．贵阳市元月份某一天早晨的气温是﹣3℃，中午上升了 2℃，则中午的气温是（ ）
(A) ﹣5℃ （B) 5℃ （C）﹣1℃ （D） 1℃
2． 如图，是由完全相同的 5个小立方体组成的 4个立体图形，主视图和左视图完全相同的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折
射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行
的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝122°，则∠2＝（ ）
(A) 61° （B) 58° （C）48 （D）41 （第 3题图）
4．下列各图中，不表示 y是 x的函数的是（ ）
(A) （B) （C） （D）
5．如果有一个数不超过 a，那么这个数的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
(A) （B) （C） （D）
6. 快递公司快递员小张一周内投递快递物品件数情况为：有 4天是每天投递 65件，有 2天是每天
投递 70件，有 1天是 90件，这一周小张平均每天投递物品的件数为（ ）
(A) 80件 （B) 75件 （C）70件 （D）65件
贵阳市南明区 2021 年初三摸底考试 数学卷 第 1页（共 6页）
7．小亮随机地投一枚飞镖到如图所示的正六边形镖盘上，则飞镖落在白色区域
的概率是（ ）
(A) （B) （C） （D）
（第 7题图）
8．如图是一活动菱形衣架，菱形的边长均为 16cm，若墙上钉子间
的距离 AB＝BC＝16cm，则∠1等于（ ）
(A) 100° （B) 110° （C） 120° （D） 130°
（第 8题图）
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线 m（直线 m上各点的横坐标
都为 1）对称，点 C的坐标为（4，1），则点 B的坐标为（ ）
(A) （2，1） （B)（﹣3，1）
（C）（﹣2，﹣1） （D）（﹣2，1）
（第 9题图）
10．如图，在平行四边形 ABCD中，点 E在边 DC上，DE:EC＝3:1，
连接 AE交 BD于点 F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（ ）
（A）9：16 （B）3：4 （C）9：4 （D）3：2
（第 10题图）
11．如图是李老师在黑板上演示的尺规作图及其步骤，
已知钝角三角形 ABC，尺规作图及步骤如下：
步骤一：以点 C为圆心，CA为半径画弧；
步骤二：以点 B为圆心，BA为半径画弧，两弧交于点 D；
步骤三：连接 AD，交 BC延长线于点 H．
下面是四位同学对其做出的判断：
小明说：BH⊥AD； 小华说：∠BAC＝∠HAC； （第 11题图）
小强说：BC＝HC； 小方说：AH＝DH．
则下列说法正确的是（ ）
（A） 只有小明说得对 （B）小华和小强说的都对
（C）小强和小方说的都不对 （D）小明和小方说的都对
贵阳市南明区 2021 年初三摸底考试 数学卷 第 2页（共 6页）
12.如图，直线 y＝ 与 y轴交于点 A，与直线 y＝﹣ 交于点 B，
以 AB为边向右作菱形 ABCD，点 C恰与原点 O重合，抛物线
y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线 y＝﹣ 上移动．若抛物线与菱形
的边 AB、BC都有公共点，则 h的取值范围是（ ） （第 12题图）
1 3 1
（A)﹣2≤h≤ （B)﹣2≤h≤1 （C）﹣1≤h≤ （D）﹣1≤h≤
2 2 2
二、填空题（每小题 4分，共 16分）
13.若分式 □ 运算结果为 x，则在“□”中添加的运算符号为 ．（请从“+、
﹣、×、÷”中选择填写）
14．在一个不透明的袋子中有 30个除颜色外完全相同的小球．在看不到球的情况下，随机地从袋子
中摸出 1个球，记录颜色后放回袋中，将球摇匀．大量重复上述过程后发现：摸球 1800次，摸到
红球的次数为 420次，由此可以估计袋子中的红球个数是 ．
15．如图，四边形 ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，
若 DF恰好是同圆的一个内接正 n边形的一边，则 n的值为_________.
（第 15 题图）
16．菱形 ABCD中，AB＝9，∠ABC＝60°，点 E在 AB边上，且 BE＝2AE，
动点 P在 BC边上，连接 PE，将线段 PE绕点 P顺时针旋转 60°至线段 PF，
连接 AF，则线段 AF长的最小值为 ．
（第 16 题图）
三、解答题
17．（本题满分 10分）
如图，菱形 ABCD的对角线交于点 O，点 E是菱形外一点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形 DECO是矩形；
（2）连接 AE交 BD于点 F，当∠ADB＝30°，DE＝4时， 求 AF的长度．
（第 17 题图）
贵阳市南明区 2021 年初三摸底考试 数学卷 第 3页（共 6页）
18．（本题满分 12分）
由于疫情的影响，学生不能返校上课，某校在直播授课的同时还为学生提供了四种辅助学习方
式：A网上自测，B网上阅读，C网上答疑，D网上讨论．为了解学生对四种学习方式的喜欢情况，
该校随机抽取部分学生进行问卷调查，规定被调查学生从四种方式中选择自己最喜欢的一种，根据
调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）在扇形统计图中，m的值是 ，
D对应的扇形圆心角的度数是 ；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该校共有 2000名学生，根据抽样调查的结 （第 18 题图）
果，请你估计该校最喜欢方式 D的学生人数．
19.（本题满分 10分）
红旺商店同时购进 A、B两种商品共用人民币 36 000元，全部售完后共获利 6 000元，两种商
品的进价、售价如下表：
A商品 B商品
进价 120元/件 100元/件
售价 138元/件 120元/件
（1）求本次红旺商店购进 A、B两种商品的件数；
（2）第二次进货：A、B件数皆为第一次的 2倍，销售时，A商品按原售价销售，B商品打折出
售，全部售完后为使利润不少于 11 040元，则 B商品每件的最低售价应为多少？
20．（本题满分 10分）
一个不透明的口袋中装有三个除数字外完全相同的小球，上面分别标有数字 ， ，5．
（1）从口袋中随机摸出一个小球，摸出的小球上的数字是无理数的概率为 ；
（2）先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为 x，把小球放回口袋中并搅匀，再从口
袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为 y．请用列表法或画树状图法求出 x与 y的乘积是有
理数的概率．
贵阳市南明区 2021 年初三摸底考试 数学卷 第 4页（共 6页）
21．（本题满分 10分）
如图 1，某同学家的一面窗户上安装有遮阳篷，图 2和图 3是截面示意图，CD是遮阳篷，窗户
AB为 1.5米，BC为 0.5米．该遮阳篷有伸缩功能．如图 2，该同学在夏季某日的正午时刻测得太阳
光和水平线的夹角为 60°，遮阳篷 CD正好将进入窗户 AB的阳光挡住；如图 3，该同学在冬季某日
的正午时刻测得太阳光和水平线的夹角为 30°，将遮阳篷收缩成 CD′时，遮阳篷正好完全不挡进
入窗户 AB的阳光．
D
30°
（第 21题图）
（1）计算图 3中 CD′的长度比图 2中 CD的长度收缩了多少米；（结果保留根号）
（2）如果图 3中遮阳篷的长度为图 2中 CD的长度，请计算该遮阳篷落在窗户 AB上的阴影长度
为多少米？（请在图 3中画图并标出相应字母，然后再计算）
22．（本题满分 12分）
如图，平行四边形 OABC中，AB＝2，OA＝2 ，它的边 OC在 x轴的
负半轴上，对角线 OB在 y轴的正半轴上．反比例函数 y＝ 的图象经过点 A，
一次函数 y＝kx+b的图象经过 A、C两点且与反比例函数图象的另一支交于
点 D．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （第 22题图）
（2）连接 BD，求△BDC的面积．
23．（本题满分 10分）
如图，△ABC中，以 AB为直径的⊙O交边 BC，AC于 D，E两点，过
点 D 作⊙O的切线，交 AC于点 F，交 AB的延长线于点 G，且 DF⊥AC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若 sin∠ABC＝ ，AB＝20，求线段 AF的长．
（第 23题图）
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24.（本题满分 12分）
如图，抛物线 y＝a（x﹣ ）2+h经过点 A（1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线与 x轴的另一个交点 B的坐标；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得四边形 PAOC的周长最小？若存在，求
出此时 P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，点 Q是 OB上一动点，连接 BC，在线段 BC上是否存在这样的点 M，使△CQM
为等腰三角形且△BQM是直角三角形？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由．
（第 24题图）
25．（本题满分 12分）
如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图 1．已知四边形 ABCD中，AC⊥BD，垂足为 O，
求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解决问题：已知 AB＝5，BC＝4，分别以△ABC的边 BC和 AB向外作等腰 Rt△BCQ和等
腰 Rt△ABP．
①如图 2，当∠ACB＝90°，连接 PQ，求 PQ；
②如图 3，当∠ACB≠90°，点 M、N分别是 AC、AP中点，连接 MN．若 MN ＝2 ，求
ΔABC的面积。
（第 25题图）
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