2023年苏科版数学八年级下册全方位训练卷12.2 二次根式的乘除法
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2023八下·安庆期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列根式中是最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
3．（2022八下·花都期末）下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·代县月考）设a=，b=，用含a，b的式子表示，则下列表示正确的是（ ）
A． B． C．2ab D．
5．（2023八下·赵县月考）下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·鄞州月考）·的值是一个整数，则正整数a的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
7．（2022八下·安宁期末）下列无理数中，与相乘积为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022八下·铁岭期中）计算等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每空3分，共24分）
9．（2022八下·盂县期中）写出一个你喜欢的最简二次根式 ．
10．（2022八下·自贡期末）在二次根式，，，中，最简二次根式有 个．
11．（2022八下·靖西期末）若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是 ．
12．（2023八下·金乡县月考）若最简二次根式与最简二次根式相等，则m+n= ．
13．（2022八下·博兴期末）将化简成最简二次根式为 ．
14．（2023八下·蚌埠月考）计算： ．
15．（2022八下·盐城期末）若无理数x与的积是一个正有理数，则x的最小值是 .
16．（2023八下·瓯海期中）一个长方形的长，宽，则这个长方形的面积是 .
三、解答题（共6题，共72分）
17．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
18．（2022八下·长沙开学考）计算：
19．（2021八上·松江期中）计算： ．
20．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．若S△ABC=3 cm2 ，BC= cm，求AC和CD的长．
21．（2021七下·玉州期中）阅读理解：因为，所以36的平方根为，即，所以36的算术平方根为6，即，
（1）计算： ， ； ， .
结论： ； .（填“＞”，“=”，“＜”）
（2）计算：①；
②.
（3）已知：，，请用含a，b的式子表示.
22．（2022七下·孝义月考）阅读与思考
请阅读下面材料，并完成相应的任务．
在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：
小聪：，，
所以．
小明：，．
这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，
所以．
任务：
（1）猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？并仿照小聪或小明的方法举出一个例子进行说明；
（2）运用以上结论，计算：①；②；
（3）解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，故不是
最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，故不是最简二次根式，
不符合题意；
D、，故不是最简二次根式，
不符合题意；
故答案为：B．
【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么这个根式叫做最简二次根式，据此判断.
2．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．
【解答】因为：B、=
C、=；
D、=
所以这三项都不是最简二次根式．
故选A．
【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数)，如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式
3．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、不含能开得尽方的因数，是最简二次根式；
B、不含能开得尽方的因式，是最简二次根式；
C、，不是最简二次根式；
D、不含能开得尽方的因数，是最简二次根式；
故答案为：C．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。
4．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵a，b，
∴ab=，2×0.10.6ab．
故答案为：B．
【分析】根据a，b，计算求解即可。
5．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】A. 运算正确；
B. 运算正确；
C. 运算正确；
D. 运算错误．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可判断.
6．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵·==5是一个整数，
∴正整数a是最小值是2.
故答案为：B.
【分析】利用二次根式的乘法进行计算，可得到，再根据是整数且a是满足最小的正整数，据此可得到a的值.
7．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵，，
∴与相乘积为有理数的是，
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的乘法计算方法逐项判断即可。
8．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
=
故答案为：A．
【分析】根据二次根式的乘除法则进行计算即可.
9．【答案】（答案不唯一）
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：由题意可得
最简二次根式为：．
故答案为：．（答案不唯一）
【分析】根据最简二次根式的定义求解即可。
10．【答案】1
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：∵是最简二次根式，
＝2，故不是最简二次根式；
＝，故不是最简二次根式；
＝，故不是最简二次根式；
∴只有是最简二次根式，即最简二次根式有1个，
故答案为：1.
【分析】最简二次根式就是被开方数不含分母，并且不含有开方开的尽的因数或因式的二次根式，根据以上条件，分别判断，即可作答．
11．【答案】-2
【知识点】二次根式有意义的条件；最简二次根式
【解析】【解答】∵二次根式 有意义，
∴2x＋7≥0，
解得x≥ 3.5，
当x=-3时，二次根式的值为1，不是最简二次根式，不符合题意；
当x=-2时，二次根式的值为，是最简二次根式，
综上所述：若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是-2.
故答案为：-2
【分析】由二次根式有意义可求出x的范围，再求出为最简二次根式的最小整数即可.
12．【答案】8
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：最简二次根式与最简二次根式相等，
∴
解得：
∴，
故答案为：8．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后代入求解即可。
13．【答案】
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：
=
=，
故答案为：．
【分析】根据最简二次根式的定义求解即可。
14．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】利用二次根式的乘除法则计算求解即可。
15．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵，无理数x与的积是一个正有理数，
∴x=，
故答案为：.
【分析】由于的被开方数开方开不尽，由x与的积是正有理数，可知x也是开方开不尽的数，且x与的被开方数的乘积应该是一个完全平方数，据此即可得出答案.
16．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法；矩形的性质
【解析】【解答】解：这个长方形的面积为：
.
故答案为：.
【分析】长方形的面积=长×宽，然后利用二次根式的乘法法则进行计算.
17．【答案】（1）界：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：；
（5）解：.
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）利用二次根式相乘，可以先把被开方数相乘，得到，再得到结果；
（2）利用二次根式的乘法法则，可以先把被开方数相乘，得到，再得到结果；
（3）利用二次根式的乘除法法则，可以先把被开方数相乘除，得到，再得到结果；
（4）利用二次根式的乘除法法则，可以先把被开方数相乘除，得到，再得到结果；
（5）利用二次根式的乘法法则，可以先把被开方数相乘，得到，再得到结果。
18．【答案】解：原式
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】将各个二次根式化为最简二次根式，同时将除法转变为乘法，然后根据二次根式的乘法法则进行计算.
19．【答案】解：∵ 有意义，
∴ ，
∴
∴
．
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】利用二次根式的乘除法的计算法则求解即可。
20．【答案】解：∵
∴ 在中， cm
∵
∴
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】利用三角形面积公式，容易得出，利用勾股定理，得出，然后再利用三角形面积公式，得出，最后得出答案。
21．【答案】（1）6；6；20；20；=；=
（2）解：①；
②；
（3）解：∵，，
∴
【知识点】算术平方根；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：（1），；
，.
结论：；；
【分析】（1）根据算术平方根的概念以及有理数的乘法法则即可计算出各个式子的结果；
（2）①②根据（1）中的结论进行计算即可；
（3），据此解答.
22．【答案】（1）解：；
例如：
（2）解：①；
②
（3）解：∵长方形的长为，宽为，
∴，
答：这个长方形的面积为16．
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）利用二次根式的乘法计算方法求解即可；
（2）根据（1）的结论求解即可；
（3）利用二次根式的乘法计算方法求解即可。
1 / 12023年苏科版数学八年级下册全方位训练卷12.2 二次根式的乘除法
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2023八下·安庆期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，故不是
最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，故不是最简二次根式，
不符合题意；
D、，故不是最简二次根式，
不符合题意；
故答案为：B．
【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么这个根式叫做最简二次根式，据此判断.
2．下列根式中是最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．
【解答】因为：B、=
C、=；
D、=
所以这三项都不是最简二次根式．
故选A．
【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数)，如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式
3．（2022八下·花都期末）下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、不含能开得尽方的因数，是最简二次根式；
B、不含能开得尽方的因式，是最简二次根式；
C、，不是最简二次根式；
D、不含能开得尽方的因数，是最简二次根式；
故答案为：C．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。
4．（2023八下·代县月考）设a=，b=，用含a，b的式子表示，则下列表示正确的是（ ）
A． B． C．2ab D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵a，b，
∴ab=，2×0.10.6ab．
故答案为：B．
【分析】根据a，b，计算求解即可。
5．（2023八下·赵县月考）下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】A. 运算正确；
B. 运算正确；
C. 运算正确；
D. 运算错误．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可判断.
6．（2023八下·鄞州月考）·的值是一个整数，则正整数a的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵·==5是一个整数，
∴正整数a是最小值是2.
故答案为：B.
【分析】利用二次根式的乘法进行计算，可得到，再根据是整数且a是满足最小的正整数，据此可得到a的值.
7．（2022八下·安宁期末）下列无理数中，与相乘积为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵，，
∴与相乘积为有理数的是，
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的乘法计算方法逐项判断即可。
8．（2022八下·铁岭期中）计算等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
=
故答案为：A．
【分析】根据二次根式的乘除法则进行计算即可.
二、填空题（每空3分，共24分）
9．（2022八下·盂县期中）写出一个你喜欢的最简二次根式 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：由题意可得
最简二次根式为：．
故答案为：．（答案不唯一）
【分析】根据最简二次根式的定义求解即可。
10．（2022八下·自贡期末）在二次根式，，，中，最简二次根式有 个．
【答案】1
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：∵是最简二次根式，
＝2，故不是最简二次根式；
＝，故不是最简二次根式；
＝，故不是最简二次根式；
∴只有是最简二次根式，即最简二次根式有1个，
故答案为：1.
【分析】最简二次根式就是被开方数不含分母，并且不含有开方开的尽的因数或因式的二次根式，根据以上条件，分别判断，即可作答．
11．（2022八下·靖西期末）若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是 ．
【答案】-2
【知识点】二次根式有意义的条件；最简二次根式
【解析】【解答】∵二次根式 有意义，
∴2x＋7≥0，
解得x≥ 3.5，
当x=-3时，二次根式的值为1，不是最简二次根式，不符合题意；
当x=-2时，二次根式的值为，是最简二次根式，
综上所述：若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是-2.
故答案为：-2
【分析】由二次根式有意义可求出x的范围，再求出为最简二次根式的最小整数即可.
12．（2023八下·金乡县月考）若最简二次根式与最简二次根式相等，则m+n= ．
【答案】8
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：最简二次根式与最简二次根式相等，
∴
解得：
∴，
故答案为：8．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后代入求解即可。
13．（2022八下·博兴期末）将化简成最简二次根式为 ．
【答案】
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：
=
=，
故答案为：．
【分析】根据最简二次根式的定义求解即可。
14．（2023八下·蚌埠月考）计算： ．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】利用二次根式的乘除法则计算求解即可。
15．（2022八下·盐城期末）若无理数x与的积是一个正有理数，则x的最小值是 .
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵，无理数x与的积是一个正有理数，
∴x=，
故答案为：.
【分析】由于的被开方数开方开不尽，由x与的积是正有理数，可知x也是开方开不尽的数，且x与的被开方数的乘积应该是一个完全平方数，据此即可得出答案.
16．（2023八下·瓯海期中）一个长方形的长，宽，则这个长方形的面积是 .
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法；矩形的性质
【解析】【解答】解：这个长方形的面积为：
.
故答案为：.
【分析】长方形的面积=长×宽，然后利用二次根式的乘法法则进行计算.
三、解答题（共6题，共72分）
17．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【答案】（1）界：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：；
（5）解：.
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）利用二次根式相乘，可以先把被开方数相乘，得到，再得到结果；
（2）利用二次根式的乘法法则，可以先把被开方数相乘，得到，再得到结果；
（3）利用二次根式的乘除法法则，可以先把被开方数相乘除，得到，再得到结果；
（4）利用二次根式的乘除法法则，可以先把被开方数相乘除，得到，再得到结果；
（5）利用二次根式的乘法法则，可以先把被开方数相乘，得到，再得到结果。
18．（2022八下·长沙开学考）计算：
【答案】解：原式
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】将各个二次根式化为最简二次根式，同时将除法转变为乘法，然后根据二次根式的乘法法则进行计算.
19．（2021八上·松江期中）计算： ．
【答案】解：∵ 有意义，
∴ ，
∴
∴
．
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】利用二次根式的乘除法的计算法则求解即可。
20．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．若S△ABC=3 cm2 ，BC= cm，求AC和CD的长．
【答案】解：∵
∴ 在中， cm
∵
∴
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】利用三角形面积公式，容易得出，利用勾股定理，得出，然后再利用三角形面积公式，得出，最后得出答案。
21．（2021七下·玉州期中）阅读理解：因为，所以36的平方根为，即，所以36的算术平方根为6，即，
（1）计算： ， ； ， .
结论： ； .（填“＞”，“=”，“＜”）
（2）计算：①；
②.
（3）已知：，，请用含a，b的式子表示.
【答案】（1）6；6；20；20；=；=
（2）解：①；
②；
（3）解：∵，，
∴
【知识点】算术平方根；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：（1），；
，.
结论：；；
【分析】（1）根据算术平方根的概念以及有理数的乘法法则即可计算出各个式子的结果；
（2）①②根据（1）中的结论进行计算即可；
（3），据此解答.
22．（2022七下·孝义月考）阅读与思考
请阅读下面材料，并完成相应的任务．
在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：
小聪：，，
所以．
小明：，．
这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，
所以．
任务：
（1）猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？并仿照小聪或小明的方法举出一个例子进行说明；
（2）运用以上结论，计算：①；②；
（3）解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积．
【答案】（1）解：；
例如：
（2）解：①；
②
（3）解：∵长方形的长为，宽为，
∴，
答：这个长方形的面积为16．
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）利用二次根式的乘法计算方法求解即可；
（2）根据（1）的结论求解即可；
（3）利用二次根式的乘法计算方法求解即可。
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