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2023年苏科版数学八年级下册全方位训练卷12.3二次根式的加减法
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2023八下·仙居期中）化简的结果是（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（2023八下·长兴月考）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·长兴月考）下列二次根式中，可以与合并的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·武昌期中）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
6．若，则的值是（ ）
A．3 B．±3 C． D．±
7．（2023八下·富阳期中）已知m、n是两个连续自然数（m＜n），且，，则p（ ）
A．总是奇数 B．总是偶数
C．有时奇数，有时偶数 D．有时是有理数，有时是无理数
8．（2022八下·景县期中）如图，甲，乙，丙三人手中各有一张纸质卡片，卡片的正面分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（ ）
A．0张 B．1张 C．2张 D．3张
二、填空题（每空3分，共24分）
9．（2023八下·武昌期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 .
10．（2021八下·阳春期末）分母有理化：＝ ．
11．（2023八下·江油月考）最简二次根式 与二次根式是同类二次根式，则x＝ ．
12．（2023八下·青秀期中）若x为实数，在“□”的“□”中填上一种运算符号（在“+，-，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数.给出下列四个数：①；②；③；④.则x不可能是 （填序号即可）
13．（2023八下·仙居期中）计算： ．
14．（2023八下·杭州月考）当a＝1＋ ，b＝ 时，a2＋b2－2a＋1＝ ．
15．（2023八下·鄱阳月考）电流通过导线时会产生热量，电流，（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足．已知导线的电阻为8Ω，2s时间导线产生72J的热量，则I的值为 A．
16．（2021八下·合肥期末）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为 ．
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2023八下·赵县月考）化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
18．（2023八下·信阳期中）计算：
（1）；
（2） ；
（3）；
（4） .
19．（2023八下·江油月考）已知 ，，分别求下列代数式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2﹣2ab+b2．
20．（2022八下·禹州期末）若，求的值.
21．（2022八下·澄城期中）小明家装修，电视背景墙长BC为 m，宽AB为 m，中间要镶一个长为2 m宽为 m的长方形大理石图案（图中阴影部分）.除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，求壁布的面积（结果化为最简二次根式）
22．（2022八下·潼关月考）如图，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为.
（1）求长方体盒子的容积；
（2）求这个长方体盒子的侧面积.
23．（2022八下·澄城期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为.据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足 （不考虑风速的影响）.
（1）从200m高空抛物到落地所需时间t是多少？
（2）从高空抛物经过3s落地，该物体下落的高度是多少？
24．（2023八下·鄱阳月考）阅读下面解题过程．
例：化简．
解：
请回答下列问题．
（1）归纳：请直接写出下列各式的结果：
①＝ ；
②＝ ．
（2）应用：化简
（3）拓展： ．（用含n的式子表示，n为正整数）
25．（2023八下·仙居期中）阅读材料：像，，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为
所以
所以，所以
所以，所以，所以
请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
（1）的有理化因式是 ， ；
的有理化因式是 ， ；
（2）若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：.
故答案为：D
【分析】利用二次根式的性质进行化简.
2．【答案】D
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：的倒数是.
故答案为：D
【分析】求一个数的倒数就是用1除以这个数的商，再进行化简.
3．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、∵=3，
∴与不能合并，故A不符合题意；
B、∵，
∴与能合并，故B符合题意；
C、∵，
∴和不能合并，故C不符合题意；
D、和不能合并，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据同类二次根式能合并，先各选项中能化简的先化简，再利用同类二次根式的定义，可作出判断.
4．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式，据此判断A；根据二次根式的减法法则可判断B；根据二次根式的除法法则可判断C；根据二次根式的乘法法则可判断D.
5．【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：；
；
∴a与b互为倒数.
故答案为：C.
【分析】本题利用分母有理化，得出，再观察a与b的关系。
6．【答案】A
【知识点】平方根；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴.
故答案为：A.
【分析】先将待求式子完全平方后整体代入算出结果，进而再求算术平方根即可.
7．【答案】A
【知识点】实数及其分类；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵m、n是两个连续自然数（m＜n），
∴n=m+1，
q=mn=m（m+1）
∴q+n=m（m+1）+m+1=（m+1）2；
q-m=m（m+1）-m=m2，
∴，
∴2m+1是奇数.
故答案为：A
【分析】利用m、n是两个连续自然数（m＜n），可得到n=m+1，可用含m的代数式表示出q，再表示出q+n和q-m，然后代入，利用二次根式的性质，可得到p=2m+1，即可求解.
8．【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算；有理数及其分类
【解析】【解答】解：甲：，计算结果是无理数，
乙：，计算结果是有理数
丙：，计算结果是无理数，
故答案为：B
【分析】利用二次根式的混合运算分别求出甲、乙、丙的值，再判断即可。
9．【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，且是整数，
∴是整数，即是完全平方数，
∴的最小正整数值为.
故答案为：.
【分析】，由是整数可得2n为完全平方数，据此可得n的最小值.
10．【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
【分析】利用平方差公式计算求解即可。
11．【答案】
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：
∵最简二次根式 与二次根式是同类二次根式 ，
∴4-3x=2，
解之：x=.
故答案为：
【分析】先将化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
12．【答案】③
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：当时，选择“－或÷”都可得到一个有理数，如；
当时，可选择“－或×”都可得出一个有理数，如；
当时，选择“＋”可得，选择“－”可得，选择“×”可得，选择“÷”可得；
当时，可选择“＋或×”可得一个有理数，如；
综上所述：当时，得不到一个有理数.
故答案为③.
【分析】根据二次根式的加减法、乘除法法则进行判断.
13．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；积的乘方
【解析】【解答】解：原式= .
故答案为：
【分析】利用同底数幂相乘和积的乘方的逆运算，将式子转化为，再进行计算，可求出结果.
14．【答案】5
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵ a＝1＋ ，b＝ ，
∴ a2＋b2－2a＋1 =（ a2－2a＋1 ）＋b2=（a-1）2＋b2=(1+-1)2+()2=5.
故答案为：5.
【分析】将待求式子变形为（a-1）2＋b2，然后代入a、b的值计算即可.
15．【答案】或
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】∵电流通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足，
∴将，，代入上式得：，
解得：（负值舍去），
故答案为：．
【分析】将，，代入中求出I值即可.
16．【答案】3
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：由题中结论可得
即：当时，有最小值为3，
故答案为：3．
【分析】将原式化为，然后根据题中材料所给结论，可得3，即可求解.
17．【答案】（1）解：∵
∴
（2）解：
∴原式＝
（3）解：∵
（4）解：∵
∴原式＝
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据二次根式的性质分别计算即可.
18．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）首先将各个根式化为最简二次根式，然后根据二次根式的加减法法则进行计算；
（2）首先去括号，然后将各个根式化为最简二次根式，再根据二次根式的加减法法则进行计算；
（3）原式= ，然后根据二次根式的除法法则进行计算；
（4）根据完全平方公式可得原式 ，据此计算.
19．【答案】（1）解：∵，，
∴a+b＝+（）＝6，
a﹣b＝-（）＝4，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×4＝24
（2）解：a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝（4）2＝32
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）利用a，b的值，求出a+b、a-b的值，再利用因式分解法代数式转化为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），整体代入求值.
（2）利用完全平方公式可得到a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，然后代入求值.
20．【答案】解：∵＋2，
∴＝＝6＋＋4＝10＋，
∴原式＝
.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先利用完全平方公式求出x2的值，然后将x和x2的值代入原式，再利用平方差公式将括号展开，再进行有理数的加减混合运算，即可求出结果.
21．【答案】解：由题意可得：
，
答：壁布的面积为4 m2.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据壁布的面积=背景墙的面积-大理石图案的面积列出式子，然后根据二次根式的乘法法则以及减法法则进行计算.
22．【答案】（1）解：由题意可知：长方体盒子的容积为：
，
答：长方体盒子的容积为.
（2）解：长方体盒子的侧面积为：
，
答：这个长方体盒子的侧面积为.
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）无盖的长方体盒子的长、宽为cm，高为cm，根据长方体的容积=长×宽×高，据此计算即可；
（2）长方体盒子的侧面是4个全等的长方形，其长为cm，高为cm，根据长方形的面积=长×宽进行计算即可.
23．【答案】（1）解：当h=200时，
（2）解：当t=3时， ，解得
∴下落的高度是45米.
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）将h=200直接代入t=中进行计算即可；
（2）将t=3代入t=中进行计算即可.
24．【答案】（1）；
（2）解：
=
=；
（3）
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）①，
②；
故答案为：①；②
（3）解：
．
故答案为：
【分析】（1）①分子分母同乘即可求解；②分子分母同乘即可求解；
（2）先分母有理化进行化简，再进行二次根式的加减即可；
（3）先分母有理化进行化简，再进行二次根式的加减即可.
25．【答案】（1）；；或；
（2）解：，
∴
∴原式=
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】解：（1）∵，
∴的有理化因式是；
；
∵，
∴的有理化因式是；
∵，
∴的有理化因式是；
；
故答案为：，，或，
【分析】（1）利用平方差公式：（a≥0，b≥0），据此可得到、的有理化因式，然后将 ，进行化简即可.
（2）利用分母有理化将等式转化为a-3的值，然后将代数式转化为-2（a-3）2+21，然后整体代入求值.
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2023年苏科版数学八年级下册全方位训练卷12.3二次根式的加减法
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2023八下·仙居期中）化简的结果是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：.
故答案为：D
【分析】利用二次根式的性质进行化简.
2．（2023八下·长兴月考）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：的倒数是.
故答案为：D
【分析】求一个数的倒数就是用1除以这个数的商，再进行化简.
3．（2023八下·长兴月考）下列二次根式中，可以与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、∵=3，
∴与不能合并，故A不符合题意；
B、∵，
∴与能合并，故B符合题意；
C、∵，
∴和不能合并，故C不符合题意；
D、和不能合并，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据同类二次根式能合并，先各选项中能化简的先化简，再利用同类二次根式的定义，可作出判断.
4．（2023八下·武昌期中）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式，据此判断A；根据二次根式的减法法则可判断B；根据二次根式的除法法则可判断C；根据二次根式的乘法法则可判断D.
5．已知a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：；
；
∴a与b互为倒数.
故答案为：C.
【分析】本题利用分母有理化，得出，再观察a与b的关系。
6．若，则的值是（ ）
A．3 B．±3 C． D．±
【答案】A
【知识点】平方根；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴.
故答案为：A.
【分析】先将待求式子完全平方后整体代入算出结果，进而再求算术平方根即可.
7．（2023八下·富阳期中）已知m、n是两个连续自然数（m＜n），且，，则p（ ）
A．总是奇数 B．总是偶数
C．有时奇数，有时偶数 D．有时是有理数，有时是无理数
【答案】A
【知识点】实数及其分类；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵m、n是两个连续自然数（m＜n），
∴n=m+1，
q=mn=m（m+1）
∴q+n=m（m+1）+m+1=（m+1）2；
q-m=m（m+1）-m=m2，
∴，
∴2m+1是奇数.
故答案为：A
【分析】利用m、n是两个连续自然数（m＜n），可得到n=m+1，可用含m的代数式表示出q，再表示出q+n和q-m，然后代入，利用二次根式的性质，可得到p=2m+1，即可求解.
8．（2022八下·景县期中）如图，甲，乙，丙三人手中各有一张纸质卡片，卡片的正面分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（ ）
A．0张 B．1张 C．2张 D．3张
【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算；有理数及其分类
【解析】【解答】解：甲：，计算结果是无理数，
乙：，计算结果是有理数
丙：，计算结果是无理数，
故答案为：B
【分析】利用二次根式的混合运算分别求出甲、乙、丙的值，再判断即可。
二、填空题（每空3分，共24分）
9．（2023八下·武昌期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 .
【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，且是整数，
∴是整数，即是完全平方数，
∴的最小正整数值为.
故答案为：.
【分析】，由是整数可得2n为完全平方数，据此可得n的最小值.
10．（2021八下·阳春期末）分母有理化：＝ ．
【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
【分析】利用平方差公式计算求解即可。
11．（2023八下·江油月考）最简二次根式 与二次根式是同类二次根式，则x＝ ．
【答案】
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：
∵最简二次根式 与二次根式是同类二次根式 ，
∴4-3x=2，
解之：x=.
故答案为：
【分析】先将化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
12．（2023八下·青秀期中）若x为实数，在“□”的“□”中填上一种运算符号（在“+，-，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数.给出下列四个数：①；②；③；④.则x不可能是 （填序号即可）
【答案】③
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：当时，选择“－或÷”都可得到一个有理数，如；
当时，可选择“－或×”都可得出一个有理数，如；
当时，选择“＋”可得，选择“－”可得，选择“×”可得，选择“÷”可得；
当时，可选择“＋或×”可得一个有理数，如；
综上所述：当时，得不到一个有理数.
故答案为③.
【分析】根据二次根式的加减法、乘除法法则进行判断.
13．（2023八下·仙居期中）计算： ．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；积的乘方
【解析】【解答】解：原式= .
故答案为：
【分析】利用同底数幂相乘和积的乘方的逆运算，将式子转化为，再进行计算，可求出结果.
14．（2023八下·杭州月考）当a＝1＋ ，b＝ 时，a2＋b2－2a＋1＝ ．
【答案】5
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵ a＝1＋ ，b＝ ，
∴ a2＋b2－2a＋1 =（ a2－2a＋1 ）＋b2=（a-1）2＋b2=(1+-1)2+()2=5.
故答案为：5.
【分析】将待求式子变形为（a-1）2＋b2，然后代入a、b的值计算即可.
15．（2023八下·鄱阳月考）电流通过导线时会产生热量，电流，（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足．已知导线的电阻为8Ω，2s时间导线产生72J的热量，则I的值为 A．
【答案】或
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】∵电流通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足，
∴将，，代入上式得：，
解得：（负值舍去），
故答案为：．
【分析】将，，代入中求出I值即可.
16．（2021八下·合肥期末）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为 ．
【答案】3
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：由题中结论可得
即：当时，有最小值为3，
故答案为：3．
【分析】将原式化为，然后根据题中材料所给结论，可得3，即可求解.
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2023八下·赵县月考）化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）解：∵
∴
（2）解：
∴原式＝
（3）解：∵
（4）解：∵
∴原式＝
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据二次根式的性质分别计算即可.
18．（2023八下·信阳期中）计算：
（1）；
（2） ；
（3）；
（4） .
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）首先将各个根式化为最简二次根式，然后根据二次根式的加减法法则进行计算；
（2）首先去括号，然后将各个根式化为最简二次根式，再根据二次根式的加减法法则进行计算；
（3）原式= ，然后根据二次根式的除法法则进行计算；
（4）根据完全平方公式可得原式 ，据此计算.
19．（2023八下·江油月考）已知 ，，分别求下列代数式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2﹣2ab+b2．
【答案】（1）解：∵，，
∴a+b＝+（）＝6，
a﹣b＝-（）＝4，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×4＝24
（2）解：a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝（4）2＝32
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）利用a，b的值，求出a+b、a-b的值，再利用因式分解法代数式转化为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），整体代入求值.
（2）利用完全平方公式可得到a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，然后代入求值.
20．（2022八下·禹州期末）若，求的值.
【答案】解：∵＋2，
∴＝＝6＋＋4＝10＋，
∴原式＝
.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先利用完全平方公式求出x2的值，然后将x和x2的值代入原式，再利用平方差公式将括号展开，再进行有理数的加减混合运算，即可求出结果.
21．（2022八下·澄城期中）小明家装修，电视背景墙长BC为 m，宽AB为 m，中间要镶一个长为2 m宽为 m的长方形大理石图案（图中阴影部分）.除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，求壁布的面积（结果化为最简二次根式）
【答案】解：由题意可得：
，
答：壁布的面积为4 m2.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据壁布的面积=背景墙的面积-大理石图案的面积列出式子，然后根据二次根式的乘法法则以及减法法则进行计算.
22．（2022八下·潼关月考）如图，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为.
（1）求长方体盒子的容积；
（2）求这个长方体盒子的侧面积.
【答案】（1）解：由题意可知：长方体盒子的容积为：
，
答：长方体盒子的容积为.
（2）解：长方体盒子的侧面积为：
，
答：这个长方体盒子的侧面积为.
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）无盖的长方体盒子的长、宽为cm，高为cm，根据长方体的容积=长×宽×高，据此计算即可；
（2）长方体盒子的侧面是4个全等的长方形，其长为cm，高为cm，根据长方形的面积=长×宽进行计算即可.
23．（2022八下·澄城期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为.据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足 （不考虑风速的影响）.
（1）从200m高空抛物到落地所需时间t是多少？
（2）从高空抛物经过3s落地，该物体下落的高度是多少？
【答案】（1）解：当h=200时，
（2）解：当t=3时， ，解得
∴下落的高度是45米.
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）将h=200直接代入t=中进行计算即可；
（2）将t=3代入t=中进行计算即可.
24．（2023八下·鄱阳月考）阅读下面解题过程．
例：化简．
解：
请回答下列问题．
（1）归纳：请直接写出下列各式的结果：
①＝ ；
②＝ ．
（2）应用：化简
（3）拓展： ．（用含n的式子表示，n为正整数）
【答案】（1）；
（2）解：
=
=；
（3）
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）①，
②；
故答案为：①；②
（3）解：
．
故答案为：
【分析】（1）①分子分母同乘即可求解；②分子分母同乘即可求解；
（2）先分母有理化进行化简，再进行二次根式的加减即可；
（3）先分母有理化进行化简，再进行二次根式的加减即可.
25．（2023八下·仙居期中）阅读材料：像，，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为
所以
所以，所以
所以，所以，所以
请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
（1）的有理化因式是 ， ；
的有理化因式是 ， ；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；；或；
（2）解：，
∴
∴原式=
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】解：（1）∵，
∴的有理化因式是；
；
∵，
∴的有理化因式是；
∵，
∴的有理化因式是；
；
故答案为：，，或，
【分析】（1）利用平方差公式：（a≥0，b≥0），据此可得到、的有理化因式，然后将 ，进行化简即可.
（2）利用分母有理化将等式转化为a-3的值，然后将代数式转化为-2（a-3）2+21，然后整体代入求值.
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