2023届高三三轮冲刺复习：集合与逻辑（含解析）

2023届高三三轮冲刺复习：集合与逻辑
一、选择题
1.
设，则“”是 “”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.
已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3.
设集合A＝{x|x2－x－2<0，x∈N*}，集合B＝{x|y＝}，则集合A∩B等于
A.1 B.[1，2) C.{1} D.{x|x≥1}
4.
已知全集U，集合A和集合B都是U的非空子集，且满足A∪B=B，则下列集合中表示空集的是（）
A. B.
C. D.
5.
已知命题P：，，则命题P的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.
设全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={2,4,5}，B={1,3,5,7}，则A∪(CUB)=（ ）
A. {5} B. {6}
C. {2,4} D. {2,4,5,6}
7.
设集合，则A∩B=（ ）
A. B.
C. D.
8.
设集合，，且，则（）
A. 4 B. 2 C.－2 D. －4
9.
已知集合A＝{x|x2﹣5x+4＜0}，集合B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣1，0） B．（﹣1，4） C．（2，4） D．（0，4）
10.
已知集合A＝{﹣1，1}，下列选项正确的是（　　）
A．1∈A B．{﹣1}∈A C． ∈A D．0∈A
二、多选题
11.
在整数集中，被6除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4，5，则下列结论中正确的有（ ）
A．存在一个数，使得
B．对于任意一个数，都能使成立
C．“”是“整数，属于同一‘类’”的充要条件
D．“整数，满足，”的必要条件是“”
12.图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13.
命题“”的否定是____________.
14.
集合，用列举法可表示为________．
15.若，则___________.
16.判断下列命题的真假：
（1）是的必要条件；( )
（2）是的充分条件；( )
（3）两个三角形的两组对应角分别相等是两个三角形相似的充要条件；( )
（4）是的充分而不必要条件．( )
17.
若集合中只有一个元素，则_________.
四、解答题
18.
已知命题p：关于x的不等式≤1的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}，命题q：函数f（x）＝lg（a2x2﹣2x+2）的定义域为R，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．
19.
已知集合.
(1)若是的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若命题“”为真命题，求实数的取值范围.
20.
p：“实数a满足”，q：“方程表示焦点在y轴上的椭圆”．
（1）若m＝3，且命题“”为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
21.
已知a∈R，设p： x∈[2，3]，（a+1）x﹣1＞0恒成立，q： x0∈R，使得x02+ax0+1＜0．
（Ⅰ）若p∧q是真命题，求a的取值范围；
（Ⅱ）若p∧（￢q）为假，p∨（￢q）为真，求a的取值范围．
22.
已知集合，．
（1）若集合B满足且，求实数m的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
23.
（1）如果集合，，证明：．
（2）如果集合，整数互素，那么是否存在x，使得x和都属于B？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由．
试卷答案
1.
A
【详解】由，解得或，
由“”可推出“”，而由“”推不出“”，
∴“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
2.
B
【详解】由题意，，则或 ，
，
故，
故选：B
3.
C
4.
D
【详解】由图表示集合如下：
，
由图可得，，，，
故选：D
5.
A
【详解】因为命题P：，，所以命题P的否定是：，.故A对，其余选项错.
故选：A
6.
D
【详解】解：因为U={1,2,3,4,5,6,7}，B={1,3,5,7}，
所以CUB ={2,4,6}，又A={2,4,5}，
所以A∪(CUB)= {2,4,5,6}；
故选：D
7.
D
因为集合，所以.故选：D
8.
D
【详解】由题意，集合，，
因为，可得，解得.
故答案为：D.
9.
C
解：∵A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x＞2}，
∴A∩B＝（2，4）．
故选：C．
10.
A
解：1∈A，所以A正确；{﹣1} A，所以B不正确； A，所以C不正确；0 A，所以D不正确．
故选：A．
11.
CD
对A，假设存在一个数，使得，从而推出矛盾即可；对B，举反例判断即可；对C，设整数，属于同一“类”，再分别分析充分与必要性判断即可；对D，设，，，判断即可.
对于A，假设存在一个数，使得，则，，，显然不成立，故A错误；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，若整数，属于同一“类”，则整数，被6除所得余数相同，从而被6除所得余数为0，即，若，则被6除所得余数为0，则整数，被6除所得余数相同，故“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”，故C正确；
对于D，若整数，满足，，则，，，，所以，，所以，故D正确．
故选：CD．
12.AC
【分析】根据Venn图，由集合运算的概念，即可得出结果.
【详解】阴影部分所表示的集合中的元素属于N，不属于M，故其表示集合或．
故选:AC．
13.
【详解】原命题是全称命题，其否定为.
14.
{6,7,8}
【详解】表示5到9（不含5和9）之间的自然数组成的集合，
所以.
故答案为：
15.
【分析】求出和，进而结合交集的概念即可求出结果.
【详解】由中，得；由中，得，
则.
故答案为：.
16. 假 假 真 假
（1）利用四种条件的定义，进行判断；
（2）利用特例进行判断；
（3）利用四种条件的定义，进行判断；
（4）利用四种条件的定义，进行判断；
（1）因为，所以，反之，不一定得出，所以是的充分不必要条件；故命题为假.
（2）例如，但是；但是，所以是的既不充分也不必要条件；故命题为假.
（3）两个三角形的两组对应角分别相等则这两个三角形相似，反之两个三角形相似则两个三角形的对应角均相等，所以两个三角形的两组对应角分别相等是两个三角形相似的充要条件；故命题为真.
（4）因为，所以或，所以是的必要不充分条件，故命题为假.
17.
0或1
【详解】因集合中只有一个元素，
则当时，方程为，解得，即集合，则，
当时，由，解得，集合，则，
所以或.
故答案为：0或1
18.
解：根据题意，对于命题p：关于x的不等式≤1的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}，
当x≥3或x≤﹣1时，不等式x2﹣2x﹣3≥0，
若p是真命题，则必有0＜a＜1；
对于命题q：函数f（x）＝lg（a2x2﹣2x+2），设t＝a2x2﹣2x+2，
当a＝0时，t＝﹣2x+2，不满足f（x）的定义域为R，
当a≠0时，t＝a2x2﹣2x+2是二次函数，必有，解可得a＜﹣或a＞；
若q为真，必有a＜﹣或a＞，
若p∧q为假命题，p∨q为真命题，即p和q一真一假，
若p真q假，有0＜a≤，
若p假q真，有a＜﹣或a≥1，
综合可得：a的取值范围为{a|a＜﹣或0＜a≤或a≥1}．
19.
(1)；
(2)或.
（1）根据条件关系可得集合的包含关系，从而可求实数的取值范围；
（2）根据交集的结果可得关于的不等式组，从而可求其取值范围.
（1）
因为是的充分条件，故，
故，故.
（2）
因为，故或，
故或.
20.
（1）当 时，若p为真命题
则变为：
所以，
解得，
若q为真命题，则有
所以p为假命题且q为假命题时，解得 ，
故“”为真命题时，
（2）对命题p ：转化为：
，
所以，
对命题
因为p是q的充分不必要条件，
所以，等号不同时取
解得：.
所以m的取值范围是[1,2].
21.
解：（I）若p为真，即p： x∈[2，3]，（a+1）x﹣1＞0恒成立，
所以，解得a＞﹣，
若q为真，即q： x0∈R，使得x02+ax0+1＜0，
则△＝a2﹣4＞0，解得，a＞2或a＜﹣2，
若p∧q是真命题，则p，q为真，，
所以a＞2，
故a的范围（2，+∞），
（II）因为p∧（￢q）为假，p∨（￢q）为真，
所以p∧（￢q）一真一假即p，q同真同假，
当p，q都真时，由（I）知a＞2，
当p，q都假时，，即﹣2，
综上，﹣2或a＞2．
故a的范围{a|﹣2或a＞2}．
22.
（1）由已知可得，
因为，所以，即，
当时，或，
所以或，
∴m的取值范围为或；
（2）因为是的必要不充分条件，所以 ，
①当B为空集时，，即，原命题成立；
②当B不是空集时，所以，解得，满足题意．
综上①②，m的取值范围为或．
23.
（1）证明见解析；（2）（答案不唯一）.
(1)设，，，计算即可得．
(2)设（整数m，n互素），则有，由题意可得当时，且，只需m，n取互素的整数即可.
解:（1）证明：因为，
所以可设，，其中，，，，
则．
由，，，，可知，，
因此．
（2）设，则（整数m，n互素），
所以．
若，则与是互素的整数．
又m与n互素，所以，
所以当m，n互素，且时，且．
如取，，得，．
综上，存在x，使得x与都属于集合B，如．（注：x的取值不唯一．）