第18章 勾股定理 章末复习 沪科版数学八年级下册教案
文档属性
| 名称 | 第18章 勾股定理 章末复习 沪科版数学八年级下册教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 127.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-06 12:21:28 | ||
图片预览
文档简介
章末复习
【知识与技能】
进一步理解勾股定理及其逆定理，弄清两定理之间的关系.
【过程与方法】
复习直角三角形的有关知识，形成知识体系.
【情感态度】
运用勾股定理及其逆定理解决问题.
【教学重点】
复习直角三角形的有关知识，形成知识体系.
【教学难点】
运用勾股定理及其逆定理解决问题.
一、知识框图，整体把握
【教学说明】
教师引导学生回顾本章知识点，边回顾边画出本章知识框图，使学生对本章知识有一个总体把握，了解各知识点之间的联系，加深对知识点的理解，为后面的运用奠定基础.
二、释疑解惑，加深理解
1.勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：
（1）已知直角三角形的两边求第三边
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系.求直角三角形的另两边
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
2.如何判定一个三角形是直角三角形
（1）先确定最大边（如c）
（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系
（3）若c2=a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若c2≠a2+b2,则△ABC不是直角三角形.
3.勾股数满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数
如（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）6，8，10；
（4）8，15，17;（5）7，24，25;（6）9,40,41
【教学说明】
教师引导学生对本章重点知识和需要注意的问题进行详细的回顾，使学生对本章知识进行进一步的理解，形成知识网络.
三、典例精析，复习新知
例1 在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=___
解：依据这个图形的基本结构，可设S1、S2、S3、S4的边长为a、b、c、d，则有a2+b2=1，c2+d2=3，S1=b2，S2=a2，S3=c2，S4=d2
S1+S2+S3+S4=b2+a2+c2+d2=1+3=4
例2 如图△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=1.5，BD=2.5，求AC的长.
【分析】此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来
解:作DE⊥AB于E，
∵∠1=∠2,∠C=90°
∴DE=CD=1.5
在△BDE中，∵∠BED=90°,BE=BD2-DE2=2
∵Rt△ACD≌Rt△AED
∴AC=AE在Rt△ABC中，∠C=90°
∴AB2=AC2+BC2,(AE+EB)2=AC2+42∴AC=3
例3 如果△ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断△ABC的形状.
【分析】要判断△ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题.
解：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0.
∵(a-3)2≥0,(b-4)2≥0,(c-5)2≥0. ∴a=3，b=4，c=5.
∵32+42=52, ∴a2+b2=c2.
由勾股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形.
总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常需要用到.
例4 如图，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB=14AB那么△DEF是直角三角形吗？为什么？
【分析】这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑.仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由FB=AB可以设AB=4a，那么BE=CE=2a,AF=3a,BF=a,那么在Rt△AFD、Rt△BEF和Rt△CDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断DEF是否是直角三角形.
解: 设正方形ABCD的边长为4a,则BE=CE=2a,AF=3a,BF=a
在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2a)2=20a2
同理EF2=5a2,DF2=25a2
在△DEF中，EF2+DE2=5a2+20a2=25a2=DF2
∴△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°.
例5 如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m.假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
【分析】（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度.
（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程.因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校.
解:作AB⊥MN，垂足为B.
在Rt△ABP中，∠ABP＝90°，∠APB＝30°，AP＝160，
∴AB＝ AP＝80.（在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）
∵点A到直线MN的距离小于100m,
∴这所中学会受到噪声的影响.
如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100(m)，
由勾股定理得：BC2＝1002-802＝3600,∴BC＝60.
同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100(m)，BD＝60(m),
∴CD＝120(m).拖拉机行驶的速度为:18km/h＝5m/st＝120m÷5m/s＝24s.
答：拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒.
【总结升华】
勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构建直角三角形以便利用勾股定理.
【教学说明】
教师出示典型例题，让学生先尝试解答，教师予以讲解，在讲解的过程中，应着重于知识点的应用和解题方法的渗透.
四、复习训练，巩固提高
1.如图（1）、（2）中，（1）正方形A的面积为_______.（2）斜边x=_______.
2.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=4,分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1,S2，则S1+S2的值等于_______.
3.四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中有_______个直角三角形.
4.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现直角边沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为_______.
5.如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑行爱好者从A点到E点，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度可以忽略不计，结果取整数）
6.如图，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶50000米.飞机每小时飞行多少千米？
答案1.（1）36 （2）13 2. 2π 3.1 4.3
5.约22米.根据半圆柱的展开图可计算得：AE= ≈22米.
6.如图12，在Rt△ABC中，根据勾股定理可知，
BC= =3000（米）.
3000÷20=150米/秒=540千米/小时.
所以飞机每小时飞行540千米.
【教学说明】
学生独立完成练习，进一步熟练相关知识点的应用和提高解题能力.
五、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
【教学说明】
教师引导学生对本章所学知识进行回顾与反思，对学生提出的疑问进行解答，帮助学生熟练掌握本章所学知识.
完成同步练习册中本课时的练习.
勾股定理是比较重要的知识点，它完美刻画了直角三角形中三边的关系，也是数形结合的一种重要体现，虽然它的知识点很少，但在实际应用中很广泛.
在复习时给于学生不同题目的类型，使他们能够充分了解勾股定理的重要性.通过复习，让学生对本单元所学知识系统化，加强前后各部分知识之间的联系，综合运用所学知识分析解决问题，通过对这些问题的分析解答，达到梳理本章内容，建立一定知识体系的目的.关注学生运用例子说明自己对有关知识的理解，而不是简单复述教科书上的结论.
要让学生自己绘制知识网络图，进一步体会本章所学知识之间的前后联系，并培养了学生这方面的能力.
设计的问题尽量与实际问题有联系，体现数学来于实际，又应用于生活实际.
【知识与技能】
进一步理解勾股定理及其逆定理，弄清两定理之间的关系.
【过程与方法】
复习直角三角形的有关知识，形成知识体系.
【情感态度】
运用勾股定理及其逆定理解决问题.
【教学重点】
复习直角三角形的有关知识，形成知识体系.
【教学难点】
运用勾股定理及其逆定理解决问题.
一、知识框图，整体把握
【教学说明】
教师引导学生回顾本章知识点，边回顾边画出本章知识框图，使学生对本章知识有一个总体把握，了解各知识点之间的联系，加深对知识点的理解，为后面的运用奠定基础.
二、释疑解惑，加深理解
1.勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：
（1）已知直角三角形的两边求第三边
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系.求直角三角形的另两边
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
2.如何判定一个三角形是直角三角形
（1）先确定最大边（如c）
（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系
（3）若c2=a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若c2≠a2+b2,则△ABC不是直角三角形.
3.勾股数满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数
如（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）6，8，10；
（4）8，15，17;（5）7，24，25;（6）9,40,41
【教学说明】
教师引导学生对本章重点知识和需要注意的问题进行详细的回顾，使学生对本章知识进行进一步的理解，形成知识网络.
三、典例精析，复习新知
例1 在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=___
解：依据这个图形的基本结构，可设S1、S2、S3、S4的边长为a、b、c、d，则有a2+b2=1，c2+d2=3，S1=b2，S2=a2，S3=c2，S4=d2
S1+S2+S3+S4=b2+a2+c2+d2=1+3=4
例2 如图△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=1.5，BD=2.5，求AC的长.
【分析】此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来
解:作DE⊥AB于E，
∵∠1=∠2,∠C=90°
∴DE=CD=1.5
在△BDE中，∵∠BED=90°,BE=BD2-DE2=2
∵Rt△ACD≌Rt△AED
∴AC=AE在Rt△ABC中，∠C=90°
∴AB2=AC2+BC2,(AE+EB)2=AC2+42∴AC=3
例3 如果△ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断△ABC的形状.
【分析】要判断△ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题.
解：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0.
∵(a-3)2≥0,(b-4)2≥0,(c-5)2≥0. ∴a=3，b=4，c=5.
∵32+42=52, ∴a2+b2=c2.
由勾股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形.
总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常需要用到.
例4 如图，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB=14AB那么△DEF是直角三角形吗？为什么？
【分析】这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑.仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由FB=AB可以设AB=4a，那么BE=CE=2a,AF=3a,BF=a,那么在Rt△AFD、Rt△BEF和Rt△CDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断DEF是否是直角三角形.
解: 设正方形ABCD的边长为4a,则BE=CE=2a,AF=3a,BF=a
在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2a)2=20a2
同理EF2=5a2,DF2=25a2
在△DEF中，EF2+DE2=5a2+20a2=25a2=DF2
∴△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°.
例5 如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m.假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
【分析】（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度.
（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程.因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校.
解:作AB⊥MN，垂足为B.
在Rt△ABP中，∠ABP＝90°，∠APB＝30°，AP＝160，
∴AB＝ AP＝80.（在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）
∵点A到直线MN的距离小于100m,
∴这所中学会受到噪声的影响.
如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100(m)，
由勾股定理得：BC2＝1002-802＝3600,∴BC＝60.
同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100(m)，BD＝60(m),
∴CD＝120(m).拖拉机行驶的速度为:18km/h＝5m/st＝120m÷5m/s＝24s.
答：拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒.
【总结升华】
勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构建直角三角形以便利用勾股定理.
【教学说明】
教师出示典型例题，让学生先尝试解答，教师予以讲解，在讲解的过程中，应着重于知识点的应用和解题方法的渗透.
四、复习训练，巩固提高
1.如图（1）、（2）中，（1）正方形A的面积为_______.（2）斜边x=_______.
2.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=4,分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1,S2，则S1+S2的值等于_______.
3.四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中有_______个直角三角形.
4.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现直角边沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为_______.
5.如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑行爱好者从A点到E点，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度可以忽略不计，结果取整数）
6.如图，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶50000米.飞机每小时飞行多少千米？
答案1.（1）36 （2）13 2. 2π 3.1 4.3
5.约22米.根据半圆柱的展开图可计算得：AE= ≈22米.
6.如图12，在Rt△ABC中，根据勾股定理可知，
BC= =3000（米）.
3000÷20=150米/秒=540千米/小时.
所以飞机每小时飞行540千米.
【教学说明】
学生独立完成练习，进一步熟练相关知识点的应用和提高解题能力.
五、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
【教学说明】
教师引导学生对本章所学知识进行回顾与反思，对学生提出的疑问进行解答，帮助学生熟练掌握本章所学知识.
完成同步练习册中本课时的练习.
勾股定理是比较重要的知识点，它完美刻画了直角三角形中三边的关系，也是数形结合的一种重要体现，虽然它的知识点很少，但在实际应用中很广泛.
在复习时给于学生不同题目的类型，使他们能够充分了解勾股定理的重要性.通过复习，让学生对本单元所学知识系统化，加强前后各部分知识之间的联系，综合运用所学知识分析解决问题，通过对这些问题的分析解答，达到梳理本章内容，建立一定知识体系的目的.关注学生运用例子说明自己对有关知识的理解，而不是简单复述教科书上的结论.
要让学生自己绘制知识网络图，进一步体会本章所学知识之间的前后联系，并培养了学生这方面的能力.
设计的问题尽量与实际问题有联系，体现数学来于实际，又应用于生活实际.