沪科版数学八年级下册18.2 勾股定理的逆定理 教案
文档属性
| 名称 | 沪科版数学八年级下册18.2 勾股定理的逆定理 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 90.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-06 14:19:00 | ||
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文档简介
第18章 勾股定理
18.2 勾股定理的逆定理
【知识与技能】
1.体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理.2.探究勾股定理的逆定理的证明方法.
【过程与方法】
1.通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发现、发展和形成的过程；
2.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的应用.
【情感态度】
1.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系；
2.通过对勾股定理的逆定理的探索，培养了学生的交流、合作的意识和严谨的学习态度.同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值.
【教学重点】
证明勾股定理的逆定理；用勾股定理的逆定理解决具体的问题.
【教学难点】
理解勾股定理的逆定理的推导.
一、创设情境，导入新课
在古代，没有直尺、圆规等作图工具，人们是怎样画直角三角形的呢？
【实验观察】
用一根打了13个等距离结的细绳子，在小黑板上，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起．然后用三角板量出最大角的度数．可以发现这个三角形是直角三角形.（这是古埃及人画直角的方法）为什么这样画出来的三角形是直角三角形呢？
【教学说明】
通过实验观察，使学生对所要学习的内容有一个直观的了解，也使学生感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣.
二、合作探究，探索新知
1.用圆规、刻度尺作△ABC，使AB=5cm，AC=4cm,BC=3cm,量一量∠C.
再画一个三角形，使它的三边长分别是5cm、12cm、13cm，这个三角形有什么特征？
2.为什么用上面的三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？它们的三边有怎样的关系？（学生分组讨论，教师适当指导）
学生猜想：如果一个三角形的三边长a、b、c满足关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
【教学说明】学生画图还是有一定的困难，教师要让学生先打草稿，确定画图的方法和步骤，再按要求画图，然后通过测量得出结论，教师再及时予以总结.
3.探究：在下图中，△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2.如果△ABC是直角三角形，它应该与直角边是a、b的直角三角形全等.实际情况是这样吗？我们画一个直角三角形A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们重合吗？（学生分组动手操作，教师巡视指导）
4.用三角形全等的方法证明这个命题.（由于难度较大，由教师示范证明过程）
已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，并且a2+b2=c2，如上图
（1）.求证：∠C=90°.
证明：作△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，如上图
（2），那么A′B′2=a2+b2（勾股定理）
又∵a2+b2=c2（已知）
∴A′B′2=c2，A′B′=c(A′B′＞0)
在△ABC和△A′B′C′中，
BC=a=B′C′，CA=b=C′A′，AB=c=A′B′
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)
∴∠C=∠C′=90°，
∴△ABC是直角三角形.
5.小结：勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
【强调说明】
（1）勾股定理及其逆定理的区别.
（2）勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理.
【教学说明】
这个证明有一定的难度，教师要先逐步进行讲解，使学生能够理解，然后教师再进行强调，使学生能够充分掌握勾股定理的逆定理.
三、示例讲解，掌握新知
例1 根据下列三角形的三边a,b,c的值，判断△ABC是不是直角三角形.如果是，指出哪条边所对的角是直角.
（1）a=7,b=24,c=25;
(2)a=7,b=8,c=11.
解：（1）∵最大边是c=25,c2=625,
a2+b2=72+242=625,∴a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角.
(2)∵最大边是c=11,c2=121,a2+b2=72+82=113.
∴a2+b2≠c2 ∴△ABC不是直角三角形.
【教学说明】这是对勾股定理逆定理的直接应用，关键是要让学生分清斜边和直角边，也要让学生理解斜边所对的角是直角.
例2 已知：在△ABC中，三条边长分别为a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：△ABC为直角三角形.
证明：a2+b2=(n2-1)2+(2n)2
=n4-2n2+1+4n2
=n4+2n2+1
=(n2+1)2=c2
∴△ABC为直角三角形.（勾股定理的逆定理）能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数.
【教学说明】
这是一个证明题，要求学生有严格的证明和推理过程，同时体现数形结合的思想.
四、练习反馈，巩固提高
1.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为_____，此三角形的形状为_____.
2.一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，那么电线杆和地面是否垂直，为什么？
3.如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量.小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°.
【答案】1. 6米，8米，10米，直角三角形
2. △ABC、△ABD是直角三角形，AB和地面垂直.
3.提示：连结AC.AC2=AB2+BC2=25，AC2+AD2=CD2，因此∠CAB=90°，
S四边形=S△ADC+S△ABC=36平方米.
【教学说明】了解学生学习的效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，体会勾股定理逆定理的妙用.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你有什么收获？还有什么困惑？这节课我们学习了：
1.勾股定理的逆定理.
2.如何证明勾股定理的逆定理.
3.利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.
【教学说明】
学生自主对本节课知识进行回顾，进一步加深理解和记忆.
完成同步练习册中本课时的练习.
在本节课的教学设计中，要注意从学生的认知水平和亲身感受出发，通过创设认知和数学史的学习情境，提高学生学习数学的积极性、学习兴趣以及人文意识，设计系列活动让学生经历不同的学习过程.在活动过程中让学生动手画图、测量、判断、找规律，猜想出一般的结论，然后由学生想、画、叠等验证结论、证明结论，使学生自始自终感悟、体验、尝试到了知识的生成与发展过程，品尝着成功后带来的乐趣.这不仅使学生学到获取知识的思维和方法，同时也体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性，而且为学生今后获取知识以及探索、发现和创造打下了良好的基础，更增强了学生敢于实践、勇于探索、不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气.
18.2 勾股定理的逆定理
【知识与技能】
1.体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理.2.探究勾股定理的逆定理的证明方法.
【过程与方法】
1.通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发现、发展和形成的过程；
2.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的应用.
【情感态度】
1.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系；
2.通过对勾股定理的逆定理的探索，培养了学生的交流、合作的意识和严谨的学习态度.同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值.
【教学重点】
证明勾股定理的逆定理；用勾股定理的逆定理解决具体的问题.
【教学难点】
理解勾股定理的逆定理的推导.
一、创设情境，导入新课
在古代，没有直尺、圆规等作图工具，人们是怎样画直角三角形的呢？
【实验观察】
用一根打了13个等距离结的细绳子，在小黑板上，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起．然后用三角板量出最大角的度数．可以发现这个三角形是直角三角形.（这是古埃及人画直角的方法）为什么这样画出来的三角形是直角三角形呢？
【教学说明】
通过实验观察，使学生对所要学习的内容有一个直观的了解，也使学生感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣.
二、合作探究，探索新知
1.用圆规、刻度尺作△ABC，使AB=5cm，AC=4cm,BC=3cm,量一量∠C.
再画一个三角形，使它的三边长分别是5cm、12cm、13cm，这个三角形有什么特征？
2.为什么用上面的三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？它们的三边有怎样的关系？（学生分组讨论，教师适当指导）
学生猜想：如果一个三角形的三边长a、b、c满足关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
【教学说明】学生画图还是有一定的困难，教师要让学生先打草稿，确定画图的方法和步骤，再按要求画图，然后通过测量得出结论，教师再及时予以总结.
3.探究：在下图中，△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2.如果△ABC是直角三角形，它应该与直角边是a、b的直角三角形全等.实际情况是这样吗？我们画一个直角三角形A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们重合吗？（学生分组动手操作，教师巡视指导）
4.用三角形全等的方法证明这个命题.（由于难度较大，由教师示范证明过程）
已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，并且a2+b2=c2，如上图
（1）.求证：∠C=90°.
证明：作△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，如上图
（2），那么A′B′2=a2+b2（勾股定理）
又∵a2+b2=c2（已知）
∴A′B′2=c2，A′B′=c(A′B′＞0)
在△ABC和△A′B′C′中，
BC=a=B′C′，CA=b=C′A′，AB=c=A′B′
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)
∴∠C=∠C′=90°，
∴△ABC是直角三角形.
5.小结：勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
【强调说明】
（1）勾股定理及其逆定理的区别.
（2）勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理.
【教学说明】
这个证明有一定的难度，教师要先逐步进行讲解，使学生能够理解，然后教师再进行强调，使学生能够充分掌握勾股定理的逆定理.
三、示例讲解，掌握新知
例1 根据下列三角形的三边a,b,c的值，判断△ABC是不是直角三角形.如果是，指出哪条边所对的角是直角.
（1）a=7,b=24,c=25;
(2)a=7,b=8,c=11.
解：（1）∵最大边是c=25,c2=625,
a2+b2=72+242=625,∴a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角.
(2)∵最大边是c=11,c2=121,a2+b2=72+82=113.
∴a2+b2≠c2 ∴△ABC不是直角三角形.
【教学说明】这是对勾股定理逆定理的直接应用，关键是要让学生分清斜边和直角边，也要让学生理解斜边所对的角是直角.
例2 已知：在△ABC中，三条边长分别为a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：△ABC为直角三角形.
证明：a2+b2=(n2-1)2+(2n)2
=n4-2n2+1+4n2
=n4+2n2+1
=(n2+1)2=c2
∴△ABC为直角三角形.（勾股定理的逆定理）能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数.
【教学说明】
这是一个证明题，要求学生有严格的证明和推理过程，同时体现数形结合的思想.
四、练习反馈，巩固提高
1.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为_____，此三角形的形状为_____.
2.一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，那么电线杆和地面是否垂直，为什么？
3.如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量.小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°.
【答案】1. 6米，8米，10米，直角三角形
2. △ABC、△ABD是直角三角形，AB和地面垂直.
3.提示：连结AC.AC2=AB2+BC2=25，AC2+AD2=CD2，因此∠CAB=90°，
S四边形=S△ADC+S△ABC=36平方米.
【教学说明】了解学生学习的效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，体会勾股定理逆定理的妙用.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你有什么收获？还有什么困惑？这节课我们学习了：
1.勾股定理的逆定理.
2.如何证明勾股定理的逆定理.
3.利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.
【教学说明】
学生自主对本节课知识进行回顾，进一步加深理解和记忆.
完成同步练习册中本课时的练习.
在本节课的教学设计中，要注意从学生的认知水平和亲身感受出发，通过创设认知和数学史的学习情境，提高学生学习数学的积极性、学习兴趣以及人文意识，设计系列活动让学生经历不同的学习过程.在活动过程中让学生动手画图、测量、判断、找规律，猜想出一般的结论，然后由学生想、画、叠等验证结论、证明结论，使学生自始自终感悟、体验、尝试到了知识的生成与发展过程，品尝着成功后带来的乐趣.这不仅使学生学到获取知识的思维和方法，同时也体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性，而且为学生今后获取知识以及探索、发现和创造打下了良好的基础，更增强了学生敢于实践、勇于探索、不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气.