【备考2023】湖南省邵阳市中考数学模拟试卷2（含解析）

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【备考2023】湖南省邵阳市中考数学模拟试卷2
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．2的相反数是（ ）
A． B．2 C． D．
2．如图所示中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．C． D．
3．2021年5月22日，中国工程院院士袁隆平在长沙不幸逝世．这位“共和国勋章获得者”的最大贡献是杂交水稻技术．2020年我国水稻种植面积4.5亿亩，其中50%左右是杂交水稻，则杂交水稻种植面积用科学记数法表示约为（ ）
A．4.5×108亩 B．2.25×108亩 C．4.5×109亩 D．2.25×109亩
4．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|a＋b|﹣|b﹣a|化简后得（ ）
A．2b＋a B．2b﹣a C．a D．b
5．某中学学生会为了考察该校1800名学生参加课外体育活动的情况，采取抽样调查的方法从“篮球、排球、乒乓球、足球及其他”等五个方面调查了若干名学生的兴趣爱好（每人只能选其中一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，下列判断：①本次抽样调查的样本容量是60；②在扇形统计图中，“其他”部分所对应的圆心角是60°；③该校学生中喜欢“乒乓球”的人数约为450人；④若被抽查的男女学生数相同，其中喜欢球类的男生占喜欢球类人数的56.25%，则被抽查的学生中，喜欢“其他”类的女生数为9人．其中正确的判断是（　　）
A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有①③④ D．只有③④
6．不等式组的整数解为（　　）
A．－2，－1，0 B．－2，－1，0，1 C．－2，－3 D．－2，－1
7．2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往，下列是官兵们行进的距离S（千米）与行进时间t（小时）的函数大致图象，你认为正确的是 （ ）．
A． B．
C． D．
8．如图所示，，垂足为，是过点的一条直线，则下列关于与的关系一定成立的是（ ）
A．互为对顶角 B．互补 C．相等 D．互余
9．关于y的方程3y＋5＝0与3y＋3k＝1的解完全相同,则k的值为( )
A．－2 B． C．2 D．－
10．如图，锐角中，是高，，分别是，中点，交于，已知，，的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11． ______ ， ______ ．
12．已知，则代数式的值为________．
13．若点、、在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是_______．
14．如图是按以下步骤作图：
（1）在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；
（2）作直线交于点；
（3）连接．
若，，则的度数为__________．
15．一个不透明的袋中装有五个大小、形状、质地完全相同的小球，小球上分别标有数字分别是2，-5，6，-7，-8．小明先从袋中取出一个小球，把它的数字记为，再从剩下的小球中取出一个小球，把它的数字记为．求二次函数的对称轴在轴右侧的概率________．
16．《诗经》是我国第一部诗歌总集，共分为《风》《雅》《颂》三部分．其中《颂》有40篇，比《风》的篇数少，《风》有_____篇．
17．由四个全等的直角三角形组成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形两直角边边长的和为3，面积为1，则图中阴影部分的面积为____________ ．
18．如图，在边长为6的正方形中，，连接，G，H分别是的中点，连接，则的长为_________．
三、解答题（本大题有8个小题，第19～25题每题8分，第26题10分，共66分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．计算．
20．已知，求代数式的值．
21．我国的纸伞制作工艺十分巧妙，如图，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，，从而保证伞圈沿着伞柄滑动．
(1)求证：．
(2)当伞撑开后，我们发现，，在同一条直线上，已知，，两个身体宽度的人撑伞并排站立，两人之间间隔，请问他们是否会淋到雨？并说明理由．
22．如图，某工厂与A B两地有公路 铁路相连，这家工厂从A地购买一批原料运回工厂，制成新产品再运到B地，公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路运价为1元/（吨·千米）．
（1）若这两次运输共支出公路运费13200元，铁路运费49200元，问从A地购买多少吨原料，用购买的这些原料能制成多少吨新产品
（2）在（1）的条件下，原料费为每吨1000元，新产品售价每吨2000元，则该工厂这批产品全部售出后获得利润多少元 （利润一销售额-原料费-运输费）
23．在疫情期间，学校推出了“空中课堂”，为了解该学校九年级学生每天听“空中课堂”的时间，随机调查了该校部分九年级学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)参加这次调查的学生人数为 ；图①中m的值为 ；
(2)求统计的这组学生听课时间数据的平均数、众数和中位数；
(3)若该学校九年级共有800名学生，请估计该学校九年级学生每天听“空中课堂”的时间不低于5.5h的人数．
24．如图，△ABC中，，点D为BC上一点，且，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连接DE．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若，，求直径AE的长．
25．如图，在中，，，，垂足为，点是边上的一个动点，过点作交线段于点，作交于点，交线段于点，设．
（1）用含的代数式表示线段的长；
（2）设的面积为，求与之间的函数关系式，并写出定义域；
（3）能否为直角三角形？如果能，求出的长；如果不能，请说明理由．
26．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是抛物线上位于直线上方的动点，分别过点作轴的平行线交抛物线于点，作轴的平行线交直线于点，以为边作矩形，求矩形周长的最大值，并求出此时点的坐标；
(3)若点是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？不存在，则说明理由；若存在，请求出点的坐标．
参考答案：
1．【分析】根据相反数的定义进行判断即可．
解：互为相反数的两个数相加为0，
故2的相反数是，
故选：A．
【点评】本题考查相反数的定义，熟知互为相反数的两个数相加为0是解题的关键．
2．【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念进行判断即可．
解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意，
故选：D
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
3．【分析】先计算杂交水稻种植面积，而科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数．本题小数点往左移动到的后面，所以
解：亿亩
亩
故选：
【点评】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．
4．【分析】根据图判断a，a+b，b-a的符号，根据绝对值，合并同类项法则化简即可求解．
解：∵a＜0＜b，且＞，
∴a＜0，a+b＜0，b-a＞0，
∴|a|-|a+b|-| b-a |
=-a+a+b-（b-a）
=-a+a+b-b+a
=a，
故选：C．
【点评】本题考查了整式的加减，利用绝对值的意义，合并同类项的法则，解题关键是利用数轴判断绝对值内式子的符号．
5．【分析】先根据喜欢排球的人数及其占比求出抽样调查的总人数；再求出样本中“其他”的人数所占的比例及圆心角度数；再求出喜欢“乒乓球”的人数所占的比例与人数；再求得喜欢球类人数所占的比例＝1﹣20%=80%，故喜欢球类的人数＝60×80%＝48人，喜欢球类的女生的人数＝48×（1﹣56.25%）＝21人，故可得喜欢“其他”类的女生数为30﹣21＝9人．
解：①喜欢排球的人数为6人，所占的比例为10%，
故可得抽样调查的总人数为：6÷10%＝60人，即可得①正确；
②样本中“其他”的人数所占的比例为＝20%，故可求出“其他”部分所对应的圆心角＝360°×＝72°，即可得②错误；
③喜欢“乒乓球”的人数所占的比例＝1﹣20%﹣25%﹣10%﹣20%＝25%，故可得该校学生中喜欢“乒乓球”的人数＝1800×25%＝450人；
④喜欢球类人数所占的比例＝1﹣20%＝80%，
故喜欢球类的人数＝60×80%＝48人，
喜欢球类的女生的人数＝48×（1﹣56.25%）＝21人，
故可得喜欢“其他”类的女生数为30﹣21＝9人．
综上可得只有①③④正确．
故选C．
【点评】此题主要考查扇形统计图与条形统计图的应用，解题的关键是先求出调查的总人数.
6．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出整数解．
解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集是，
∴不等式组的整数解为：、、，
故选：A
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．【分析】根据题意，分段分析函数的图象.
解：由题意可知该函数图形有三段：（1）初坐车以某一速度匀速前进，该段函数为正比例函数，（2）中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，该段函数为水平的线段，（3）官兵们下车急行军匀速步行前往，该段函数为一次函数，但直线的坡度比开始坐车时的图形坡度要小.
故选C
【点评】考核知识点：实际问题和函数图像.
8．【分析】根据图形可看出，∠2的对顶角∠AOE与∠1互余，那么∠1与∠2就互余，从而求解．
解：图中，∠2=∠AOE（对顶角相等），
又∵AB⊥CD，
∴∠1+∠AOE=90°，
∴∠1+∠2=90°．
故选：D．
【点评】本题考查了余角和补角，垂线的定义以及对顶角相等的性质，是基础题型．
9．【分析】可以把3y看作一个整体，由题意可知两个方程的解相同，可得出1-3k=-5即可求出k的值．
解：由题意可知3y=1-3k=-5,所以3k=6，可得k=2
故本题答案应为：C
【点评】解一元一次方程是本题的考点，由已知条件把本题转换成含k的一元一次方程是解题的关键．
10．【分析】由中点性质先得，再用勾股定理求，然后由中位线性质得，已知的周长为10，所以求得的值，进一步证得，，从而求得的周长.
解：∵，分别是，中点，交于，
∴，，
∵是高
∴，
在中，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴
∵的周长为10，
∴，
在中，点E是边的中点，点G是的中点，
∴，，
∴，
∴的周长为：，故C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理、中位线性质等知识点，解题的关键是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
11．【分析】根据平方，算术平方根的性质，求解即可．
解：，，
故答案为：；．
【点评】本题考查了算术平方根，乘方，掌握乘方，算术平方根的性质是解题的关键．
12．【分析】由题意易得，然后根据提公因式可进行求解．
解：由可知：，
∴
=2023；
故答案为2023．
【点评】本题主要考查代数式的值与提公因式，熟练掌握利用整体代入进行求解代数式的值．
13．【分析】根据反比例函数的性质得出函数的图像在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，即可比较、、的大小．
解：∵反比例函数的解析式是，
∴，函数的图像在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点、、在反比例函数的图像上，
∴点A和B在第一象限，点C在第三象限，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．
14．【分析】由作图步骤可知MD是线段AB的垂直平分线，易得，利用三角形内角和定理可得的度数.
解：由作图步骤可知MD是线段AB的垂直平分线，
在中，
故答案为：42°
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，正确理解题中所给的作图步骤是解题的关键.
15．【分析】先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与二次函数y=ax2+bx-3的对称轴在y轴右侧的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：若的对称轴在轴右侧，则，
∴a、b异号，
画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，二次函数的对称轴在轴右侧的有12种情况，
∴二次函数的对称轴在轴右侧的概率为：．
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16．【分析】根据《颂》有40篇，比《风》的篇数少，设《风》有x篇，列出方程，解出即可．
解：设《风》有x篇，
根据题意得，
解得：，
故答案为：160．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
17．【分析】设直角三角形的一条直角边长为，则另一条直角边长为，由题意列方程，求出两直角边长，根据勾股定理求出斜边长。由阴影部分的面积＝大正方形的面积 4个小直角三角形的面积，代入数值计算即可．
解：设直角三角形的一条直角边长为，则另一条直角边长为，
则由题意可得，，
整理可得，，
解可得或，即直角三角形的两直角边长分别为2，1，
∴直角三角形的斜边长为，
∴．
故答案为：1．
【点评】本题考查勾股定理，一元二次方程的应用，解题的关键是利用勾股定理求出直角三角形的斜边长．
18．【分析】连接并延长交于M，连接，先证，得出，得是的中位线，则，然后用勾股定理求出即可得解．
解：连接并延长交于M，连接，如图所示，
正方形的边长为6，，
，，
，
G是的中点，
，
，
，
，
，H是的中点，
是的中位线，
．
故答案为：．
【点评】此题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关性质与定理、添加适当的辅助线构造相似三角形是解答此题的关键．
19．【分析】根据实数的混合运算法则计算即可得出答案．
解：原式
．
【点评】本题考查了实数的混合运算法则，准确计算是本题的关键．
20．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值．
解：，
，
，
当时，
．
【点评】本题考查了分式的化简求值，二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握运算法则．
21．【分析】（1）先由角平分线的定义得到，再利用证明即可；
（2）由三线合一定理得到，，先利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案．
解：（1）证明：∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：他们会淋到雨，理由如下：
∵平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴他们会淋到雨．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，三线合一定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
22．【分析】（1）设该工厂从A地购买了x吨原料，运往B地的产品为y吨，根据等量关系：①两次运输共支出公路运费13200元；②铁路运输49200元列方程组求解即可；
（2）利用利润=销售额-原料费-运输费即可求解．
解：（1）设该工厂从A地购买了x吨原料，运往B地的产品为y吨．
根据题意，得
由题意得，，
解得：．
答：该工厂购买的原料重量为200吨，制成的产品重量为160吨；
（2）利润=2000×160-1000×200-13200-49200=57600（元）．
答：该工厂此次经营的利润为57600元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．题中的数量关系比较复杂，借助图形把各个数量之间的关系弄清是解题的关键．
23．【分析】（1）根据条形图每组的人数得出总人数，再计算每组人数的百分比即可；
（2）根据平均数、众数和中位数的定义计算求值即可；
（3）利用样本中听课时间大于5.5小时的百分比估计总体即可；
（1）解：由条形图可得总人数=32+24+40+88+16=200人，
听课时间为5.5小时的组所占百分比=88÷200×100%=44%，
∴m=44，
故答案为：200，44；
（2）解：由条形统计图可得：
∵，
∴这组数据的平均数是5.08小时；
∵在这组数据中，5.5出现了88次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是5.5小时；
∵将这组数据按照由小到大的顺序排列，第100名和101名学生的听课时间是5.5小时和5.5小时，小时，
∴这组数据的中位数是5.5小时；
（3）解：800×(44%+8%)=416(人），
答：该学校九年级学生每天听“空中课堂”的时间不低于5.5小时的有416人．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图的联合求值，平均数、众数和中位数的概念，由样本估计总体等知识；掌握相关概念的计算方法是解题关键．
24．【分析】(1）根据等腰三角形的性质，由AB＝AC，AD＝DC得∠C＝∠B，∠1＝∠C，则∠1＝∠B，根据圆周角定理得∠E＝∠B，∠ADE＝90°，所以∠1+∠EAD＝90°，然后根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AC于点F，如图，根据等腰三角形的性质得CF=AC＝1，由cosC=可求得DC＝AD＝，然后可求得DF＝，然后证明，再利用相似比可计算AE即可．
(1)解：（1）如图，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∵AE是⊙O的直径，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴AC是⊙O的切线；
(2)解：过点D作于点F，如图，
∵，
∴，
在Rt△CDF中，
∵，
∴，
即：，
解得：．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即：，
解得：．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．熟记相关判定与性质是解题的关键．
25．【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得BD=CD=3，通过证明△ABD∽△GBP，可得，即可得出DG的长度；
（2）根据相似三角形的性质可得，，根据三角形的面积公式即可表达出；
（3）分EF⊥PG，EF⊥PF两种情况，根据相似三角形的性质即可求出BP的长度．
解：（1）∵，，，
∴BD=CD=3
在Rt△ABD中，，
∵∠B=∠B，∠ADB=∠BPG=90°，
∴△ABD∽△GBP
∴，
∴，
∴，
故
（2）∵PF∥AC
∴△BFP∽△BCA
∴
即
∴
∴，
∵∠DGE+∠DEG=∠DGE+∠ABD，
∴∠DEG=∠ABD，∠ADG=∠ADB=90°，
∴△DEG∽△DBA
∴，
∴，
整理得：，
∴
定义域为：
（3）若EF⊥PG时，
∵EF⊥PG，ED⊥FG，
∴∠FED+∠DEG=90°，∠FED+∠EFD=90°，
∴∠DEG=∠EFD，且∠EDF=∠EDG，
∴△EFD∽△GDE，
∴
∴，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
若EF⊥PF，
∴∠PFB+∠EFD=90°，且∠PFB=∠ACB，∠ACB+∠DAC=90°，
∴∠EFD=∠DAC，且∠EDF=∠ADC=90°，
∴△EDF∽△CDA
∴
，
解得：，
综上所述，当BP为或时，为直角三角形．
【点评】本题是三角形综合问题，考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，以及分类讨论思想，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题的关键．
26．【分析】（1）把点B代入抛物线解析式中，进行计算即可；
（2）由抛物线的解析式，可得抛物线的对称轴，及A点坐标，求出直线的解析式，
设点横坐标为x，根据直线的解析式和中点坐标公式，用x表示出D点和Q点的坐标，即可用x表示、 的长，根据矩形的周长为：，由题意知，当点P在对称轴右侧时，取最大值，矩形的周长有最大值；
（3）根据点N在抛物线对称轴上得，讨论如下：①当为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形的边时，若点M在对称轴左侧时，③当为平行四边形的边时；分别按照中点坐标公式计算对角线上两点的坐标即可求出M点的坐标．
（1）解：（1）把代入得，
解得．
这个抛物线的解析式为：；
（2）（2）抛物线的解析式为：，
对称轴为，
设直线的解析式为，
，解得
直线的解析式为，
设，则，
轴，
，则，
由题意得，当点在对称轴右侧时，矩形的周长最大，
矩形的周长
，
当时，矩形周长的最大值56，
此时点的坐标为；
（3）（3）存在，点的坐标为或或
理由如下：设，
分三种情况：
①当为对角线时，如图1，
，解得，
，点的坐标为；
②当为对角线时
，
，
解得
，
∴点的坐标为
③当为对角线时
，解得
，
∴点的坐标为．
综上，点的坐标为或或．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式，灵活运用矩形的性质，平行四边形的性质．
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