【备考2023】湖南省邵阳市中考数学模拟试卷3（含解析）

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【备考2023】湖南省邵阳市中考数学模拟试卷3
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．﹣2020的负倒数是（ ）
A．﹣2020 B． C．2020 D．
2．如图所示的六角螺母，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．根据第七次全国人口普查结果，日照市常住人口约为297万人，297万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
5．图1是我国青海湖最深处的某一截面图，青海湖水面下任意一点A的压强P（单位：cmHg）与其离水面的深度h（单位：m）的函数解析式为，其图象如图2所示，其中为青海湖水面大气压强，k为常数且．根据图中信息分析（结果保留一位小数），下列结论正确的是（ ）
A．青海湖水深16.4m处的压强为188.6cmHg
B．青海湖水面大气压强为76.0cmHg
C．函数解析式中自变量h的取值范围是
D．P与h的函数解析式为
6．如图，在长方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，以 BE 为边作正方形 BEFG，边 EF 交 CD于点H，在边 BE 上取点 M 使BM=BC，作 MN∥BG 交 CD 于点 L，交 FG 于点 N．欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了，连结AC，记△ABC的面积为，图中阴影部分的面积为．若，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中位于第二象限的点是（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了白色和黑色两个区域，任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在黑色区域内的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．将一副三角板的直角顶点重合按如图所示方式放置，得到下列结论，其中正确的结论有（ ）
①；
②；
③若，则；
④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，AE平分∠FAD并交CD于点E，且AE⊥EF，有如下结论：①DE＝CE，②AF＝CF+AD，③ ，④AB＝BF，其中正确的是（　　）
A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．因式分解_________．
12．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差s2：
甲 乙 丙 丁
平均数（cm） 561 560 561 560
方差s2（cm2） 3.5 3.5 15.5 16.5
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择_____．
13．为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边．已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程______．
14．如图是圆锥及其侧面展开图．若，，则圆锥展开图中为_______．
15．如图，直线a∥b，点A、B位于直线a上，点C、D位于直线b上，且AB：CD=1：3，若△ABC的面积为5，则△BCD的面积为__________________
16．在平面直角坐标系xOy中，对于点，，，有如下定义：若，，且，则称点M为P，Q的“k倍和点”，如，（2，1）为点，的“倍和点”．已知点，，若点C为点A，B的“k倍和点”，且的面积等于6，则k的值等于______．
17．如图，矩形OABC的面积为3，对角线OB与双曲线相交于点D，且，则k的值为__________．
18．如图，在等腰RtABC中∠ABC＝90°，AB＝BC＝+1，点D是AC上一点，∠CBD＝30°．将BDC沿BD折叠至连接，则的面积为_____．
三、解答题（本大题有8个小题，第19～25题每题8分，第26是10分，共66分．解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中x，y满足．
21．如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，测角仪高AF=2米，先在A处测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走20米到达B处（AB=20米），又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°．点A、B、C三点在同一水平线上．
（1）求古树BH的高；
（2）求教学楼CG的高．（结果保留根号）
22．如图，是的直径，垂直弦于点，且交于点，是延长线上一点，若
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
23．某校在调查八年级学生平均每天完成作业所用时间的情况时，从全校八年级学生中随机抽取了n名学生，把每名学生平均每天完成作业的时间t（分钟）分成五个时间段进行统计：A．，B．，C．，D．，E．，并制成如下两幅不完整的统计图．
根据上述信息，解答下列问题：
(1)求n的值并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，时间段C所占的百分比为________，时间段D所对应的圆心角的度数等于______；
(3)小颖同学经过分析得出一个推断：这组数据的众数落在时间段C．请你分析她的推断是否合理．
24．蹦床是一项有利于提高全身协调性、增进亲子关系的运动，安吉蹦床推出了一种家庭套票，采用网络购票和现场购票两种方式，从网上平台购买张套票的费用比现场购买张套票的费用少元，从网上购买点张套票的费用和现场购买张套票的费用共元．
(1)求网上购买套票和现场购买套票的价格分别是多少元？
(2)2022年元旦当天，安吉蹦床按各自的价格在网上和现场售出的总票数为张．元旦刚过，玩蹦床的人数下降，于是安吉蹦床决定1月3日的网上购票的价格保持不变，现场购票的价格下调．结果发现现场购票每降价元，1月3日的总票数就会比元旦当天总票数增加张．经统计，1月3日的总票数中有通过网上平台售出，共余均由现场售出，且当天安吉蹦床的总收益为元．请问安吉蹦床在1月3日当天现场购票每张套票的价格下调了多少元？
25．如图，点，分别在正方形的边，上，且，点在射线上（点不与点重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，垂足为点，交射线于点．
（1）如图1，若点是的中点，点在线段上，线段，，的数量关系为　　．
（2）如图2，若点不是的中点，点在线段上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）正方形的边长为6，，，请直接写出线段的长．
26．如图，抛物线的图像与轴交于点，与轴交于点，，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，若点是直线上方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值；
（3）如图②，点，是抛物线对称轴的两个动点，且，点在点的上方，求四边形周长的最小值．
参考答案：
1．【分析】直接利用负倒数的定义得出答案即可．
解：﹣2020的负倒数是：．
故选：D．
【点评】本题考查倒数、负数，理解负倒数的概念，会求一个数的倒数是解答的关键．
2．【分析】根据图示确定几何体的三视图即可得到答案．
解：由几何体可知，该几何体的三视图依次为．
主视图为：
左视图为：
俯视图为：
故选：B．
【点评】此题考查简单几何体的三视图，掌握三视图的视图方位及画法是解题的关键．
3．【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
解：297万=2970000=．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．
4．【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．，是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．
5．【分析】根据函数图象求出函数解析式逐一进行判断即可求解．
解：将点代入
即
解得
，故D不正确；
当时，，则青海湖水面大气压强为68.0cmHg，故B不正确；
函数解析式中自变量h的取值范围是，故C不正确；
所以只有A正确，
故选：A
【点评】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，从函数图像获取信息是解题的关键．
6．【分析】结合图形，直接用含ａ，ｂ的式子表示出，，在将代入，即可求出．
解：由图可知：
阴影部分的面积为，
△ABC的面积为，
又∵，
∴，，
∴，
故选择：C.
【点评】本题主要考查了整式的运算，根据图形，正确的表示出各个图形的面积表达式是解题的关键
7．【分析】第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，据此解答即可．
解：根据第二象限的点的坐标的特征：
横坐标符号为负，纵坐标符号为正，
各选项中只有B（-2，3）符合，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各象限的点的坐标的符号特点，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
8．【分析】用黑色区域圆心角的度数除以圆周角的度数就是指针落在红黑区域内的概率．
解：白色区域的圆心角为，
黑色区域的圆心角为：，
指针落在黑色区域内的概率是：，
故选：D．
【点评】本题主要考查了几何概率的求法，掌握求解几何概率的方法是解题的关键．
9．【分析】利用同角的余角相等可判断①，利用角的和差与直角三角形的性质可判断②，利用平行线的性质先求解 再利用结论②可判断③，由，先求解 如图，记交于 再求解 再利用三角形的外角的性质求解 从而可判断④．
解：
故①符合题意，
故②符合题意；
故③不符合题意；
如图，记交于
故④符合题意，
综上：符合题意的有①②④．
故选：
【点评】本题考查的是角的和差，余角与补角，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
10．【分析】首先延长AD，交FE的延长线于点M，易证得，可得EM=EF,AM=AF，又由平行四边形ABCD得AD∥BC，可得∠M=∠EFC,可证得，可得出DE=CE,DM=CF,即可得出AF=AM=AD+DM=CF+AD；在线段FA上截取FN=FC，可得出AN=AD，证明，可得NE=DE=CE，再证，即可得出；AF不一定是∠BAD的角平分线，AB不一定等于BF，由此可得结论．
解：延长AD，交EF的延长线于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴,
∵AE⊥EF，AE平分,
∴,,
在和中，
∴
∴
∵AD∥BC，
∴
在和中，
,
∴
∴,故①正确；
∴,故②正确；
在线段AF上截取
∵DM=CF，
∴
∵
∴
在和中，
∴
∴
在和中
∴
∴,故③正确；
∵AF不一定是的角平分线，
∴AB不一定等于BF，故④错误，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及平行线的性质，辅助线的作法以及数形结合思想的应用．
11．【分析】根据提公因式法及平方差公式进行因式分解即可．
解：；
故答案为．
【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
解：∵ ，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵ ，
∴选择甲参赛，
故答案为甲．
【点评】此题考查了平均数和方差，关键是根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
13．【分析】设白边的宽为米，则整幅宣传版面的长为米、宽为米，根据矩形的面积公式结合图案面积占整幅宣传版面面积的，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
解：设白边的宽为米，则整幅宣传版面的长为米、宽为米，
根据题意得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．【分析】由扇形的弧长=底面圆的周长，根据弧长公式进行计算即可得到答案.
解：设扇形的角为n
依题意得：
解得：
故答案为：135°.
【点评】本题主要考查了圆锥的侧面展开图与弧长公式，解题的关键在于能够熟记弧长公式.
15．【分析】由已知得：△BCD和△ABC的高相等，面积之比就是他们的底边之比．
解：根据题意△BCD和△ABC的高相同，可设为h，
又因为AB：CD=1：3，则：=15
【点评】本题主要考查平行线间的距离相等，即即△BCD和△ABC的高相等是解答本题的关键．
16．【分析】先由A、B点有坐标得出ABx轴，AB=6，再根据的面积等于6，求出的AB边的高为2，从而得出点C到AB的距离=2，从侕 求得点C的纵坐标，再根据“k倍和点”的定义即可求出k值．
解：∵，，
∴ABx轴，AB=6，
设的AB边的高为h，
∵S△ABC==6，即=6
∴h=2，
则点C到AB的距离=2，
∵点C为点A，B的“k倍和点”，
当点C在AB上方时，则y=1，
∴1=k(-1-1)，
解得：k=-；
∵k>0，
∴k=-不符合题意，舍去，
当点C在AB下方时，则y=-3，
∴-3= k(-1-1)，
解得：k=；
故答案为：．
【点评】本题考查新定义，图形与坐标，三角形面积，理解新定义，根据三角形积求出点C纵坐标是解题的关键．
17．【分析】过D作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，设D的坐标是（x，y），根据矩形的性质和平行线分线段成比例定理求出DM＝AB，DN＝BC，代入矩形的面积即可求出答案．
解：过D作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，
设D的坐标是（x，y），
则DM＝y，DN＝x，
∵OB：OD＝5：3，四边形OABC是矩形，
∴∠BAO＝90°，
∵DM⊥OA，
∴DM∥BA，
∴△ODM∽△OBA，
∴，
∴DM＝AB，
同理DN＝BC，
∵四边形OABC的面积为3，
∴AB×BC＝3，
∴DM×DN＝xy＝AB×BC＝×3＝，
即k＝xy＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查对矩形的性质，平行线分线段成比例定理，用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点的理解和掌握，能推出DM＝AB和DN＝BC是解此题的关键．
18．【分析】分别过点D作DE⊥BC于点E，交的延长线于点F，由题意易得△DEC是等腰直角三角形，则有，进而可得，然后根据折叠的性质可得，则有，，最后根据三角形面积计算公式可求解．
解：分别过点D作DE⊥BC于点E，交的延长线于点F，如图示：
∵∠ABC=90°，，
∴∠A=∠C=45°，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∴DE=EC，
∵∠DBC=30°，
∴BD=2DE，
∴在Rt△BED中，由勾股定理可得：，
∴，
∴DE=CE=1，
∴，
∵将BDC沿BD折叠至连接，
∴由折叠的性质可得：，
∴，，，
∴，
∴，∠ADC′=∠BDC′-∠BDA=30°，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴；
故答案为．
【点评】本题主要考查等腰直角三角形的性质、含30°直角三角形的性质、折叠的性质及二次根式的运算，熟练掌握等腰直角三角形的性质、含30°直角三角形的性质、折叠的性质及二次根式的运算是解题的关键．
19．【分析】先计算有理数的乘方、立方根与算术平方根、化简绝对值，再计算有理数的加减运算即可得．
解：
．
【点评】本题考查了有理数的乘方、立方根与算术平方根、化简绝对值，实数的混合运算法则，熟练掌握各运算法则是解题关键．
20．【分析】先利用整式的混合运算法则和平方差公式、完全平方公式化简原式，再根据平方式和绝对值的非负性求得x、y值，代入化简式子中求解即可．
解：
=
=
=，
∵，
∴x=-2，y=1，
∴原式=4×（-2）-3×1=-11．
【点评】本题考查整式的化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式、整式的加减、绝对值和平方式的非负性等知识，熟记公式，熟练掌握运算顺序和运算法则是解答的关键．
21．【分析】（1）∠HFE=，则△FEH是等腰直角三角形，HE=EF,则HB=BE+EF．
（2）设DE=x，由三角函数及DF=DG建立方程即可解出．
解：（1）BH=BE+EH=AF+EF=2+20=22（米）
(2)设DE=x,则GD=tan60°DE=,DF=x+20
∵GD=DF
∴=x+20
∴
∴
【点评】本题考查了三角函数和等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
22．【分析】（1），，得到，推出；得到，进而得出结论；
（2）利用勾股定理先求解，再利用垂径定理得出的长，可得的长，证明，再利用相似三角形的判定与性质得出的长．
解：（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵垂直于弦于点E，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线.
（2）∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．经检验符合题意.
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理，切线的判定，以及平行线的判定，掌握相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理以及平行线的判定是解题的关键．
23．【分析】（1）用时间段A的人数除以时间段A所求的百分比，可得n的值，再分别求出时间段B的人数，时间段D的人数，即可求解；
（2）用时间段C的人数除以总人数可得时间段C所占的百分比；用时间段D所占的百分比乘以360°，可得时间段D所对应的圆心角的度数，即可求解；
（3）根据从条形统计图中不能得到每名学生平均每天完成作业的时间，即可求解．
（1）解：因为在条形统计中时间段A的人数为4，在扇形统计图中时间段A占，
所以，．
答：n的值是50．
时间段B的人数为（名），
时间段E的人数为（名），
补全图形，如下图：
（2）解：时间段C所占的百分比，
时间段D所对应的圆心角的度数等于，
故答案为：，；
（3）解：不合理．理由如下：
从条形统计图中不能得到每名学生平均每天完成作业的时间，所以无法得到数据的众数，因此，小颖同学的推断不合理．
【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．
24．【分析】（1）设网上购买套票和现场购买套票的价格分别是元，根据题意列一元二次方程解方程求解即可；
（2）先求得总票数，进而根据票数乘以价格等于收益建立一元二次方程，解方程求解即可
（1）
设网上购买套票和现场购买套票的价格分别是元，根据题意得，
解得：
答：网上购买套票是88元，现场购买套票的价格是元
（2）
安吉蹦床在1月3日当天现场购票每张套票的价格下调了元，根据题意，得：
解得
答：安吉蹦床在1月3日当天现场购票每张套票的价格下调了30元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的有意义，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系，列出方程（组）是解题的关键．
25．【分析】（1）由证明，得出，即可得出结论；
（2）由证明，得出，即可得出结论；
（3）①当点在线段上时，点在线段上，由（2）可知：，求出，，即可得出答案；
②当点在射线上时，点在线段的延长线上，同理可得：；即可得出答案．
解：（1）；理由如下：
四边形是正方形，
，，
由旋转的性质得：，，
，
，
，，
，
又，，
，
在和中，，
，
，
，即；
故答案为；
（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
由题意得：，，
，
，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，
，即；
（3）分两种情况：
①当点在线段上时，点在线段上，
由（2）可知：，
，
，，
；
②当点在射线上时，点在线段的延长线上，如图3所示：
同（2）可得：，
，
，，
，
；
综上所述，线段的长为3或5．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
26．【分析】（1）由，先求解的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）如图，过点作轴垂线，交于点，交轴于点，证明 得到设，则，求解，利用函数的性质求解的最大值，即可得到答案；
（3）如图，作点关于对称轴的对称点，向上平移点到处，使，则四边形为平行四边形，由四边形周长为，和长为定值，要求四边形周长的最小值，只要求得最小值即可，当点、、三点共线时，有最小值为，从而可得答案．
解：（1）∵，，∴．
将、代入，
得
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，过点作轴垂线，交于点，交轴于点，
由，
∵，
∴，
∴.
∴，
在中，由
.
要使的值最大，则求的最大值．
设直线为：，
∵，，
解得：
∴直线的解析式为．
设，则，
∴
，
∴当时，取得最大值，最大值为．
∴的最大值为．
当时，．
∴此时点坐标为，的最大值为；
（3）如图，作点关于对称轴的对称点，向上平移点到处，使，则四边形为平行四边形，
∴，
∵四边形周长为，和长为定值．
∴要求四边形周长的最小值，只要求得最小值即可，
∵，
∴当点、、三点共线时，有最小值为，
由（1）可得，∴．
∵，∴．
过点作的垂线交的延长线于点，则
∴，，
∴，
∵，，
∴四边形周长的最小值为．
【点评】本题考查了利用待定系数法求解二次函数与一次函数的解析式，二次函数与一次函数的性质，同时考查利用轴对称求解图形周长的最小值，勾股定理的应用，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．
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