求二次函数的关系式
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课件20张PPT。二次函数的
图象和性质一般地，函数关系式中几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件都能求出函数关系式。例如：我们在确定一次函数y=kx+b(k≠0)的关系式时，通常需要两个独立的条件；确定反比例函数y=k/x(k ≠0)的关系式时，通常只需要一个条件；如果要确定二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的关系式时，又需要几个条件呢？问题：如图26.2.6，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB）的薄壳屋顶．它的拱宽AB为4 m，拱高CO为0.8 m．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？分 析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数的关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图．如图26.2.6，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系．这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为y＝ax2 （a＜0）（1）又CO＝0.8 m，所以点B的坐标为（2，－0.8）．因为点B在抛物线上，将它的坐标代入（1），得 －0.8＝a ×22，
所以 a＝－0.2．
因此，函数关系式是
y＝－0.2x2．温馨提示：根据这个关系式，容易画出模板的轮廓线．
在解决一些实际问题时，往往需要根据某些条件求出函数的关系式． 例题讲解与练习例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 分析 如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是y=ax2 (a≠0) ．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式。AB解：根据题意，得点B的坐标为（0.8， -2.4），又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入 AB，得所以 ．因此，函数关系式是．例2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；
（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；
（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；
（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4．例题讲解与练习 分析 （1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为y=ax2+bx+c的形式;（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为y=a(x-1)2-3，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（3）根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为y=a(x+3)(x-5) ，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为y=a(x-3)2-2 ;同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入 y=a(x-3)2-2 ,即可求出a的值。根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；
（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；
（3）已知抛物线与x轴交于点M（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）． 确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式： （1）一般式：y=ax2+bx+c(a≠0) ，给出三点坐标可利用此式来求．
（2）顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠ 0) ，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．1、已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式．分析 因为这个二次函数的图象的顶点是（8，9），因此，可以设函数关系式为
y＝a(x-8)2 ＋9．
根据它的图象过点（0，1），容易确定a的值．例题讲解与练习2、已知二次函数的图象过(0，1)、(2,4)、(3，10)三点，求这个二次函数的关系式．解这个方程组，得所以，所求二次函数关系式是 解 设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个函数的图象过（0，1），可以得到c＝1．又由于其图象过（2，4）、（3，10）两点，可以得到 1. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
①已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）；
②已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）；
③已知抛物线过三点：（0，－2）、（1，0）、（2，3）． 2. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过三点：（－1，－1）、（0，－2）、（1，1）．
①求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；
②写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 4. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
(1)已知抛物线的顶点在原点，且过点（3，－27）；
(2)已知抛物线的顶点在（1，－2），且过点（2，3）；
(3)已知抛物线过三点：（－1，2），（0，1），（2，－7）．26.2习题第四、五题5. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m，跨度为10 m．如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．
(1)、求这条抛物线所对应的函数关系式；
(2)、如图，在对称轴右边1 m处，桥洞离水面的高是多少？ 用6 m长的铝合金型材做一个形状如图26.2.5所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？所以应做成宽1 m、长1.5 m的矩形窗框，才能使透光面积最大．最大面积是1.5 m2．解 设做成的窗框的宽为x m，则长为结束寄语生活是数学的源泉.再见探索是数学的生命线.
图象和性质一般地，函数关系式中几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件都能求出函数关系式。例如：我们在确定一次函数y=kx+b(k≠0)的关系式时，通常需要两个独立的条件；确定反比例函数y=k/x(k ≠0)的关系式时，通常只需要一个条件；如果要确定二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的关系式时，又需要几个条件呢？问题：如图26.2.6，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB）的薄壳屋顶．它的拱宽AB为4 m，拱高CO为0.8 m．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？分 析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数的关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图．如图26.2.6，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系．这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为y＝ax2 （a＜0）（1）又CO＝0.8 m，所以点B的坐标为（2，－0.8）．因为点B在抛物线上，将它的坐标代入（1），得 －0.8＝a ×22，
所以 a＝－0.2．
因此，函数关系式是
y＝－0.2x2．温馨提示：根据这个关系式，容易画出模板的轮廓线．
在解决一些实际问题时，往往需要根据某些条件求出函数的关系式． 例题讲解与练习例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 分析 如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是y=ax2 (a≠0) ．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式。AB解：根据题意，得点B的坐标为（0.8， -2.4），又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入 AB，得所以 ．因此，函数关系式是．例2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；
（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；
（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；
（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4．例题讲解与练习 分析 （1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为y=ax2+bx+c的形式;（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为y=a(x-1)2-3，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（3）根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为y=a(x+3)(x-5) ，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为y=a(x-3)2-2 ;同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入 y=a(x-3)2-2 ,即可求出a的值。根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；
（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；
（3）已知抛物线与x轴交于点M（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）． 确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式： （1）一般式：y=ax2+bx+c(a≠0) ，给出三点坐标可利用此式来求．
（2）顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠ 0) ，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．1、已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式．分析 因为这个二次函数的图象的顶点是（8，9），因此，可以设函数关系式为
y＝a(x-8)2 ＋9．
根据它的图象过点（0，1），容易确定a的值．例题讲解与练习2、已知二次函数的图象过(0，1)、(2,4)、(3，10)三点，求这个二次函数的关系式．解这个方程组，得所以，所求二次函数关系式是 解 设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个函数的图象过（0，1），可以得到c＝1．又由于其图象过（2，4）、（3，10）两点，可以得到 1. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
①已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）；
②已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）；
③已知抛物线过三点：（0，－2）、（1，0）、（2，3）． 2. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过三点：（－1，－1）、（0，－2）、（1，1）．
①求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；
②写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 4. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
(1)已知抛物线的顶点在原点，且过点（3，－27）；
(2)已知抛物线的顶点在（1，－2），且过点（2，3）；
(3)已知抛物线过三点：（－1，2），（0，1），（2，－7）．26.2习题第四、五题5. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m，跨度为10 m．如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．
(1)、求这条抛物线所对应的函数关系式；
(2)、如图，在对称轴右边1 m处，桥洞离水面的高是多少？ 用6 m长的铝合金型材做一个形状如图26.2.5所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？所以应做成宽1 m、长1.5 m的矩形窗框，才能使透光面积最大．最大面积是1.5 m2．解 设做成的窗框的宽为x m，则长为结束寄语生活是数学的源泉.再见探索是数学的生命线.