高一下3月月考数学试题
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一项符合题目要求）
1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 单位向量都相等
B. 平行向量不一定是共线向量
C. 对于任意向量，必有
D. 若满足且与同向，则
【答案】C
【解析】
【分析】对于A：根据单位向量的概念即可判断；对于B：根据共线向量的定义即可判断；对于C：分类讨论向量的方向，根据三角形法则即可判断；对于D：根据向量不能比较大小即可判断.
【详解】依题意，
对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故错误；
对于C，若同向共线，，
若反向共线，，
若不共线，根据向量加法的三角形法则及
两边之和大于第三边知.
综上可知对于任意向量，必有，故正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故错误.
故选：C.
2. 已知正六边形，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，结合向量的加法运算得出答案.
【详解】如图所示，
故选：B
3. 已知向量，，若与共线，则值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标表示可直接构造方程求解.
【详解】，与共线，，解得：.
故选：B.
4. 在中，，，若点M满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意结合向量的线性运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：A.
5. 在中，角的对边分别为，若，且，则为（ ）
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知等式可配凑出，进而得到，依次计算出各个角即可确定结果.
【详解】由得：，即，
，，，则，
为等腰直角三角形.
故选：C.
6. 已知向量满足，且，则（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据可判断垂直，进而根据模长公式即可求解.
【详解】由两边平方化简可得，所以，所以．
故选：D
7. 已知向量，满足，，，则在方向上投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据投影向量的定义，即可求得答案.
【详解】由题意向量，满足，，，
可得在方向上投影向量为，
故选：B
8. 已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量数量积的运算可得出，求出的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求得的最大值．
【详解】因为单位向量，的夹角为，
则，
所以，
又，
所以，
当取最大值时，必有，
则，
又，，则，所以，
所以，
故的最大值为.
故选：D．
【点睛】方法点睛：求平面向量夹角的方法：
（1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；
（2）坐标法：若非零向量，，则．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题中有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. （多选）已知、是实数，、是向量，下列命题正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】利用平面向量的线性运算可判断AB选项；取，可判断C选项；取，可判断D选项.
【详解】对于A选项，，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，若，则、不一定相等，C错；
对于D选项，若，则、不一定相等，D错.
故选：AB.
10. 已知点、、、，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据向量模长和夹角的坐标求解、向量平行和垂直的坐标表示依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，，，，A正确；
对于B，，，，，，B正确；
对于C，，，，C错误；
对于D，，，，，D正确.
故选：ABD.
11. 已知是的边上的一点（不包含顶点），且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用平面向量的线性运算，结合基本不等式，验证各选项的结果.
【详解】是的边上的一点（不包含顶点），则有，
得，即，
又，∴，
可得，，，，，
所以A选项正确，B选项错误；
，当且仅当时等号成立，所以，C选项错误；
，D选项正确.
故选：AD
12. 平行四边形中，，，，点在边上，则的取值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】作，以为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用向量夹角运算可求得，由此可得各点坐标；设，利用数量积坐标运算可将转化为关于的二次函数的形式，结合二次函数性质可求得的取值范围，由此可得结果.
【详解】作，垂足为，
以点为原点，正方向为轴可建立如图所示平面直角坐标系，
，，
在中，，，则，，
则，，
设，，，
，
开口向上，对称轴为，且，
当时，取最小值；当时，取最大值；
的取值范围为，可能的取值为和.
故选：BC
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 在△ABC中，若，，，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理即可求解.
【详解】因为，，，由余弦定理可知，，化简可得，解得.
故答案为：
14. 已知向量，.则与夹角为_________.
【答案】##
【解析】
【分析】由向量数量积、模、夹角的坐标运算求解即可.
【详解】∵，，
∴，，，
设与的夹角为，，
∴，
∵，∴.
故答案为：.
15. 德国著名数学家狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人，并且有意识地“以概念代替直觉”，他定义了一个函数有如下四个结论：
①；
②函数是偶函数；
③函数具有单调性；
④已知点，则四边形为平行四边形.
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】②④
【解析】
【分析】根据函数表达式求，，，结合函数的单调性和奇偶性的定义判断①，②，③，再结合点的位置判断④.
【详解】当为有理数时，为有理数，，，，
当为无理数时，为无理数，，，，
所以①错误；
因为对任意的，，所以函数是偶函数；②正确，
因为，所以函数具有单调性；③错误；
因为，，即点，，，的坐标分别为，，，，所以，，结合图象可得，，所以四边形为平行四边形，④正确，
故答案为：②④.
16. 已知向量，满足，且，若向量满足，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】将和看作两个向量，由向量减法的几何意义求解即可.
【详解】设向量，，则，
由已知，，
又∵，，
∴，
由向量减法的几何意义，，
∴，即，
当且仅当与方向相同时，，与方向相反时，.
∴的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出相应文字说明、证明过程或者演算步骤）
17. 已知，．
（1）求，；
（2）求．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的加减法运算即可求解；
（2）根据向量模的坐标公式即可求解．
【小问1详解】
由，，
所以，．
【小问2详解】
由，，
则，
所以．
18. 已知的夹角为，，当实数为何值时，
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据共线向量定理，建立方程组，可解得结果.
（2）根据向量垂直，数量积为0，解得结果.
【小问1详解】
若，得，即，
即解得，．
【小问2详解】
若，则，
即，得，
，
解得．
19. 如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.
（1）若，求的值；
（2）设，，，，求的值；
【答案】（1）；
（2）3.
【解析】
【分析】（1）利用向量线性运算的几何表示，将用表示，进而即得；
（2）由，将用表示，利用三点共线即得.
【小问1详解】
因，
所以，
又因为的中点，
所以，
所以，又，
所以；
【小问2详解】
因，，，，
所以，，又因，
所以，
又因，，三点共线，
所以，即
20. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.
在中，内角，，的对边分别是，，，且满足_______，.
（1）若，求.
（2）求周长的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形中的内角和，结合正余弦定理，三角恒等变化，可以得角，再根据余弦定理可得.
（2）由余弦定理和基本不等式可得的最大值，再由，可得周长的最大值.
【小问1详解】
选条件①，由及正弦定理，
得
即，
化简得，
因为，所以，所以，因为，所以.
若选条件②，由及正弦定理，得，
即，化简得，
因为，所以，所以，
因为，所以.
若选条件③，由化简得，，
由余弦定理得，
即，因为，所以，
所以三个条件，都能得到
由余弦定理得，
即，解得.
【小问2详解】
因为
所以
解得
当且仅当时等号成立
所以所以周长最大值为.
21. 在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图所示）的东偏南θ,cos θ＝，θ∈（0°，90°）方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？注：cos（θ－45°）＝
【答案】12 h后该城市开始受到台风的侵袭．
【解析】
【分析】确定，利用向量的加法运算求得，根据题意将两边平方，由此列出不等关系，求得答案.
【详解】设t h后，台风中心移动到Q处，此时城市开始受到台风的侵袭， ,
∵ ，
∴,
即，
依题意得，解得 ，
从而12 h后该城市开始受到台风的侵袭．
22. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．
（1）设，请问函数是否存在相伴向量，若存在，求出与共线的单位向量；若不存在，请说明理由．
（2）已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围．
【答案】（1）存在，或
（2）
【解析】
【分析】（1）由题知，进而根据相伴向量的定义求解即可；
（2）根据三角函数的性质得，进而结合二倍角公式得，再令，进而结合函数值域求解即可.
【小问1详解】
因为
，
所以，函数存在相伴向量，，
所以，与共线的单位向量为或
.
【小问2详解】
的“相伴函数”，
因为在处取得最大值，
所以，当，即时，有最大值，
所以，，
所以，
因为，，
所以，
所以，
令，则，
因为均为上的单调递减函数，
所以在上单调递减，
所以，
所以，，
所以，的取值范围为.2025届高一下3月月考数学试题
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一项符合题目要求）
1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 单位向量都相等
B. 平行向量不一定是共线向量
C. 对于任意向量，必有
D. 若满足且与同向，则
2. 已知正六边形，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，若与共线，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 中，，，若点M满足，则（ ）
A B. C. D.
5. 在中，角的对边分别为，若，且，则为（ ）
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形
6. 已知向量满足，且，则（ ）
A. 4 B. C. D.
7. 已知向量，满足，，，则在方向上投影向量为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（ ）.
A B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题中有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. （多选）已知、是实数，、是向量，下列命题正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
10. 已知点、、、，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知是的边上的一点（不包含顶点），且，则（ ）
A. B.
C. D.
12. 平行四边形中，，，，点在边上，则的取值可能是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. △ABC中，若，，，则_________．
14. 已知向量，.则与的夹角为_________.
15. 德国著名数学家狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人，并且有意识地“以概念代替直觉”，他定义了一个函数有如下四个结论：
①；
②函数是偶函数；
③函数具有单调性；
④已知点，则四边形为平行四边形.
其中所有正确结论的序号是__________.
16. 已知向量，满足，且，若向量满足，则的取值范围为________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出相应文字说明、证明过程或者演算步骤）
17. 已知，．
（1）求，；
（2）求．
18. 已知的夹角为，，当实数为何值时，
（1）
（2）
19. 如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.
（1）若，求的值；
（2）设，，，，求的值；
20. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.
在中，内角，，的对边分别是，，，且满足_______，.
（1）若，求.
（2）求周长的最大值.
21. 在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图所示）的东偏南θ,cos θ＝，θ∈（0°，90°）方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？注：cos（θ－45°）＝
22. 定义非零向量“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．
（1）设，请问函数是否存在相伴向量，若存在，求出与共线的单位向量；若不存在，请说明理由．
（2）已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围．
