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19.2.3 一次函数与方程、不等式(1)
人教版八年级下册
知识回顾
1.一次函数y=kx+b的图象如图所示,则方程kx+b=0的解为( )
2.已知一次函数y=ax+3与x轴的交点的横坐标为-4,则一元一次方程ax+3=0的解为 .
A.x=2 B.y=2
C.x=-1 D.y=-1
C
x=-4
教学目标
1.理解一次函数与一元一次不等式的关系.
2.会根据一次函数图象求解一元一次不等式.
新知导入
思考
①3x+2>2;②3x+2<0;③3x+2<-1.
(1)上面三个不等式有什么共同点和不同点?
相同之处:这3个不等式的不等号左边都是3x+2
不同之处:不等号及不等号右边不同.
新知探究
思考
①3x+2>2;②3x+2<0;③3x+2<-1.
(2)上面三个不等式与一次函数y=3x+2有什么关系吗?
有关系,不等式左边和函数表达式右边一样
所以,根据等量代换,我们可以将不等式分别写成为
①y>2;②y<0;③y<-1.
新知探究
所以解不等式 3x+2>2,就是求一次函数y=3x+2中函数y>2时自变量x的取值范围。
那么解不等式 3x+2<0,就是求一次函数y=3x+2中函数y 时自变量x的取值范围。
<0
而解不等式 3x+2<-1,就是求一次函数y=3x+2中函数y 时自变量x的取值范围。
<-1
新知探究
如图,已知一次函数y=3x+2与y轴交于点A(0,2),你能在函数图象上指出从哪个点开始是函数y>2的部分吗?
用一次函数图象解一元一次不等式
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y =3x+2
y =2
A
∵A点的纵坐标为2
∴A点上方的函数图象就是函数y>2的部分,也就是直线y=2上方的一次函数图象.
∵A点横坐标为0
∴函数图像上y>2的部分对应的横坐标就都在原点的右侧,即x>0
∴不等式3x+2>2的解集为 。
x>0
新知探究
例1 如图,已知一次函数y=3x+2与y轴交于点B(,0),你能利用函数图象求出不等式3x+2<0的解集吗?
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y =3x+2
y =0
∵B点在x轴上,坐标为()
∴B点下方的函数图象就是函数y<0的部分,也就是直线y=0(x轴)下方的一次函数图象.
∵B点横坐标为
∴函数图像上y<0的部分对应的横坐标就都在点B的左侧
∴不等式3x+2<0的解集为 。
x<
B
新知探究
例2 如图,已知一次函数y=3x+2的图象,你能利用函数图象求出不等式3x+2<-1的解集吗?
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y =3x+2
y =-1
C
∵当y=-1时x= ,即点C坐标为(-1,-1)
∴C点 的函数图象就是函数y<-1的部分,也就是 下方的一次函数图象.
∵C点横坐标为-1
∴函数图像上y<-1的部分对应的横坐标就都在点C的 侧
∴不等式3x+2<-1的解集为 。
-1
下方
直线y=-1
左
x<
新知小结
因为任何一个以 x 为未知数的一元一次不等式都可以变形为 kx+b>0(k≠0)或 kx+b<0(k≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作是求一次函数 y=kx+b 的函数值大于 0 或小于 0 时,自变量 x 的取值范围.
新知练习
1.根据下列一次函数的图象,直接写出一元一次不等式的解集.
(1)一元一次不等式 x+1>0 的解集为: .
(2)一元一次不等式 x+1<0 的解集为: .
x>-2
x<-2
y
x
O
1
-2
y=x+1
新知练习
2.函数 y=-x+3 的图象如图所示,请正确填写以下空格.
(1)当x取 时,函数图象在
x 轴下方.
(2)当x取 时,函数图象在
x 轴上方.
x>3
x<3
y
x
O
3
3
y=-x+3
新知探究
例3 对照图象,请回答下列问题:
(1)当x取何值时,2x-5=-x+1
解:(1)由图象可知,直线y1=2x-5与直线y2=-x+1的交点的横坐标是2,
∴当x=2时,2x-5=-x+1;
y1=2x-5
y2=-x+1
A
新知探究
例3 对照图象,请回答下列问题:
(2)当x取何值时,2x-5>-x+1
解:(2)∵不等式2x-5>-x+1就是y1>y2
∴体现在函数图象就是直线y1=2x-5在直线y2=-x+1上方的部分,也就是过交点A的直线x=2右侧的函数图象,
即这部分图象的横坐标都在2的右侧。
∴不等式2x-5>-x+1的解集为x>2
x=2
新知探究
例3 对照图象,请回答下列问题:
(3)当x取何值时,2x-5<-x+1
解:(2)∵不等式2x-5<-x+1就是y1<y2
∴体现在函数图象就是直线y1=2x-5在直线y2=-x+1 的部分,也就是过交点A的直线x=2 的函数图象,
即这部分图象的横坐标都在2的 。
∴不等式2x-5<-x+1的解集为 .
x=2
下方
左侧
x<2
左侧
新知小结
y
x
O
y1=k1x+b1
y2=k2x+b2
直线 y1=k1x+b1 与直线 y2=k2x+b2 的交点的横坐标即是方程 k1x+b1=k2x+b2的解;不等式 y1>y2(或 y1P
新知探究
3.如图所示,直线 l1 :y=x+6 与直线 l2 :y=-x-2 交于点 P(-2,3),不等式 x+6 > -x-2 的解集是( ).
C. x<-2
A
D. x≤-2
A. x>-2
B. x≥-2
新知练习
4. 直线l1∶y=k1x+b与直线l2∶y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式k2x>k1x+b的解集为_______.
x<-1
课堂总结
1.从“数”的角度来看
不等式 kx+b>0(k≠0)的解集.
在函数 y=kx+b(k≠0)中,当 y>0 时 x 的取值范围.
课堂总结
2.从“形”的角度来看
不等式 kx+b>0(k≠0)的解集.
直线 y=kx+b(k≠0)在 x 轴上方的部分所对应的 x 的取值范围.
课堂总结
一次函数与一元一次不等式
关系
步骤
①从“数”的角度;
②从“形”的角度.
①一元一次不等式看函数图象与x轴的交点;
②一元一次不等式组看两个函数图象交点的横坐标.
课堂练习
B
1.
课堂练习
C
2.
C
课堂练习
3. 一次函数l1: 和l2:y2=2x+1的图象如图所示.
(1)求交点坐标;
(2)当y1>y2时,求x的取值范围;
(4)求不等式 的解集.
解:(1)(-1,-1);
(2)x<-1;
(3)x≥-1.
能力提升
-2<x<2
-2<x<-1
第4题 第5题
谢谢
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