伊犁州 2022-2023学年度第二学期期中调研测试 7． f x 是 f x 的导函数，若 f x 的图象如图所示，则 f x 的图象可能是
高二数学试卷
考试时间：120 分钟 分值：150 分
注意事项：
1．答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡
A. B． C． D．
上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔在答题卡上对应的答题区域内作答；在试卷、草稿纸和答题卡
x
上非答题区域内作答均无效。 0 0
8．我们把分子、分母同时趋近于 0的分式结构称为 型，比如：当 x 0
e 1
时， 的极限即为 型．
0 0
4．考试结束后，上交答题卡。 x
两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在 1696 年提出洛必达法则：
第 I 卷（选择题 共 60 分）
在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符
x
ex 1 e 1 ex
合题目要求.） lim lim lim limex e0 1， 则 lim
ln x
2 =
x 0 x x 0 x x 0 1 x x 1 0 x→1
1．在复平面内，复数 1+i 对应的点位于 3 1
A． B． C．1 D．2
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8 2
π 9．为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动．高一、高二、
2．设 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若C 6， a 3， c 4，则sin A 高三年级分别有 1名、2名、3名同学获一等奖．若将上述获一等奖的 6名同学排成一排合影，
3 1 5 3
A． B． C． 8 D．8 2 4 要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有
3
3．设 f x ax x，若 f 1 4，则a A．18 种 B．36 种 C．72 种 D．144 种
A． 2 B． 1 C．0 D．1 10．已知公差不为零的等差数列 an 满足： a2 a7 a8 1，a2,a4,a8成等比数列，则a2023
4． 如果某地某天某病毒患者的确诊数量为 m，且每个患者的传染力为 2（即一人可以造成 2人感 1A．-2023 B．2023 C．0 D． 2023
染），则 3天后的患者人数将会是原来的
11．已知函数 f x 的导函数为 f x ，且满足 f x 2xf 1 ln x，则 f 2
A．8 倍 B．15 倍 C．16 倍 D．31 倍
3 1
a n S + + = A． 2 B． 1 C． D．05．记等差数列 n 的前 项和为 n，若 S11=33，则 4 6 8 2
lnx
A．6 B．7 C．8 D．9 12．已知函数 f(x) = ，直线 l : y a (2 x 1)，若有且仅有一个整数 xx 0，使得点
P x0, f x0 在
6．若 3 名学生报名参加天文、计算机、文学、美术这 4个兴趣小组，每人选 1 组，则不同的报名 直线 l上方，则实数 a的取值范围是
方式有 A．[ln2,ln3) B． (ln 2, ln 3]
ln3 ln2 ln3 ln2
C． ,15 6 D．
,
15 6
A．12 种 B．24 种 C．64 种 D．81 种
高二数学 第 1 页（共 2页）
第 II卷（非选择题 共 90分）
x2 y2
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分. ) 19．（12 分）已知双曲线C : 2 2 1 a 0,b 0 的实轴长为 2，右焦点为 5,0 .a b
13．sin120°= __________. ( 1 ) 求双曲线C的方程；
14．已知a 2,k ,b 1,2 ，若a / /b，则 k __________. ( 2 ) 已知直线 y x 2与双曲线C交于不同的两点 A、B ,求|AB|.
15．某研究性学习小组有 4名男生和 2名女生，一次问卷调查活动需要挑选 3名同学参加，其中至
少 1名女生，则不同的选法种数为 __________.
16．结绳记事是人类最早跟数列打交道的一种朴素方式，人类所认识并应用于生活、生产的第一个 20． （12 分）如图，直三棱柱 ABC - A1B1C1的侧面BCC1B1为正方形，AB⊥BC, 2AB BC 2，
数列便是自然数列。现有数列 an 满足：第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三 E，F分别为 AC，CC1的中点．
项是20 ， 21， 22，依此类推，记 Sn为数列 an 的前n项和,则 S10 =___________；当n 200时， ( 1 ) 证明： BF 平面 A1B1E；
若存在m m N* ，使得 Sn 2m 1，则m n的最小值为___________. ( 2 ) 求平面 A1B1E与平面 ACC1A1夹角的余弦值．
三、解答题（共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10 分）已知函数 f (x) ax3 bx 2在 x 2处取得极值 14． 21．（12 分）已知数列{an}中，a1 3，an 1 2an 2（ n N*）．
( 1 ) 求实数 a和b的值； ( 1 )证明：数列{an 2}是等比数列；
( 2 ) 求曲线 y f x 在点 (1, f (1))处的切线方程．
( 2 ) 若数列{bn}满足bn (2n 1)an，求数列{bn}的前n项和Tn．
a
22．（12 分）已知函数 f (x) x x (a 0)．e
18．（12 分）已知等差数列 a n 的前 n项和为 S n ，若a2 8，a4 a7 2.
( 1 ) 求函数 f x 的极值；
( 1 ) 求数列 an 的通项公式；
( 2 ) 若函数 f x 有两个不相等的零点x1，x2．
( 2 ) 求 Sn的最大值及取得最大值时 n的值．
（i） 求实数 a的取值范围；
（ii）证明： 1 + 2 > 2 ．
高二数学 第 2 页（共 2页）伊犁州 2022-2023学年度第二学期期中调研测试
高二数学参考答案
一、选择题（共 12 题，每题 5分，满分 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A A D B D C C B C B A C
二、填空题 ( 共 4 题，每题 5分，满分 20 分，其中 16 题第一空 2 分，第二空 3 分)
3
13. 14. 4 15. 16 16. 26 ；440
2
三、解答题（共 70 分，其中 17 题 10 分，其余各题每题 12 分）
17．（10分）
解：（1）由函数 f (x) ax3 bx 2，可得 f (x) 3ax2 b，
f 2 0
12a b 0因为 f x 在 x 2处取得极值 14，可得
f 2 14
，即 ，
8a 2b 2 14
12a b 0
整理得 ，解得a 1,b 12，
4a b 8
经检验，当a 1,b 12时， f (x) 3x2 12 3(x 2)(x 2)，
令 f (x) 0，解得 x< 2或 x 2；令 f (x) 0，解得 2 x 2，
所以 f x 在 ( , 2)单调递增， 2,2 单调递减， (2, )单调递增，
所以 f x 在 x 2处取得极值，且 f 2 14
符合题意，所以 a 1,b 12 . ...5分
（2）解：由（1）得，函数 f (x) x3 12x 2且 f (x) 3x2 12，
则 f 1 9，即切线的斜率为 k 9且 f 1 9，
所以曲线 y f x 在点 (1, f (1))处的切线方程为 y ( 9) 9(x 1)，即9x y 0． ...10分
18．（12分）
解：（1）设等差数列 an 的公差为 d，
因为 a2 8，a4 a7 2，
a1 d 8 a1 10
所以 a 3d a 6d 2， 解得 d 2， 1 1
所以 an a1 (n 1)d 10 n 1 ( 2) 2n 12； ... 6分
2
（2 1 11 121）方法一：因为 S 2 *n na1 n n 1 d n 11n n ， n N ，2 2 4
所以当n 5或n 6时 Sn取得最大值，最大值为 30. ...12分
方法二：当 an 2n 12 0时， n 6，
当 an 2n 12 0时， n 6，
当an 2n 12 0时， n 6，
所以当n 5或n 6时 Sn取得最大值，
又 S6 6a
1
1 6 6 1 d 6 10 15 -2 302
所以 Sn最大值为 30. ... 12分
19．（12分）
解：（1）由已知 2a 2， a 1，又 c 5，则b c2 a2 2，
y2
所以双曲线方程为 x2 1. ...6分
4
y x 2
2 2 2（ ）由 2 y ，得3x
2 4x 8 0，则Δ 4 4 3 8 112 0，
x 1 4
A x , y 4 8设 1 1 ， B x2 , y2 ，则 x1 x2 ， x1x3 2 ，3
所以 AB 1 12 x1 x 2
112 4 14
2 . ...12分3 3
20．（12分）
解：（1）因为三棱柱 ABC - A1B1C1为直三棱柱， AB BC，
故以 B为坐标原点，以 BA,BC,BB1所在直线分别为 x, y, z轴，建立空间直角坐标
系，
B 0,0,0 ,F 0,2,1 , A1 1,0, 2 ,B1 0,0, 2 ,E
1
,1,0
,C 0,2,0 ,C1 0,2, 2 , A 1,0,0 ，
2
1
因为 BF A1B1 0,2,1 1,0,0 0， BF A1E 0,2,1
,1, 2
2 2 0，
2
所以 BF A1B1， BF A1E，
因为 A1B1, A1E 平面 A1B1E， A1B1 A1E A1，所以 BF 平面 A1B1E。 ...6分
（2）由（1）可知：平面 A1B1E的一个法向量为BF 0,2,1 ，
设平面 ACC1A1的法向量为m x, y, z ，
m AC x, y, z 1,2,0 x 2y 0
则 ，
m AC1 x, y, z 1,2,2 x 2y 2z 0
解得： z 0，令 y 1，则 x 2，所以m 2,1,0 ，
设平面 A1B1E与平面 ACC1A1夹角为 ，
m BF 2,1,0 0,2,1
故 cos cos m,BF
2
，
m BF 4 1 4 1 5
2
故平面 A1B1E与平面 ACC1A1夹角的余弦值为 . ...12分5
21．（12分）
解（1）证明：因为 an 1 2a 2 （n N*n ）所以 an 1 2 2(an 2)，
a 2
又a2 2 1
n 1
，所以 2，所以{an 2}a 2 是以 1为首项，2为公比的等比数列． ...5分n
n 1
（2）由（1）知 an 2 2 ，则bn (2n 1)(2
n 1 2) (2n 1)2n 1 4n 2，
n 1
令 cn (2n 1) 2 ，数列{cn}的前 n项和为 Pn，则
Pn 1 2
0 3 21 5 22 2n 1 2n 1，
所以 2Pn 1 2
1 3 22 5 23 2n 1 2n，
n
两式相减，得 Pn 1 2
0 2 21 2 22 2 2n 1 2n 1 2n 1 4 2 2 2n 1 2n，
1 2
3 (2n 3) 2n n，所以 Pn 3 (2n 3) 2 ．
2 4n 2 n
所以Tn Pn 3 2n 3 2n 2n2． ...12分2
22．（12分）
a
1 a e
x a
解：（ ）因为 f (x) x x ，所以 f (x) 1 x x ，因为a 0，e e e
由 f (x) 0有： x ln a，由 f (x) 0有： x ln a，
所以函数 f (x)在 , ln a 单调递减，在 ln a, 单调递增，
所以函数 f x 无极大值，有极小值 f (ln a) 1 ln a . ...5分
（2）（i）由(1)知：函数 f (x)在 , ln a 单调递减，在 ln a, 单调递增，
若函数 f x 1有两个不相等的零点x ，x ，则 f (ln a) 1 ln a 01 2 ，解得 a ，e
1 a a
所以0 a ，因为当 x 时， x 0, x x ,，所以 f (x) ，e e e
所以 f (x)
a
x x 在 ln a, 上有 1个零点，e
x
当 x
a
a 1 时， x ，又“指数爆炸”，所以 f (x) ，e e
f (x) x a所以 x 在 , ln a 上有 1个零点，e
0 a 1综上，当 时，函数 f x 有两个不相等的零点x1，xe 2 . ...8分
0 a 1（ii）由（i）有：当 时，函数 f x 有两个不相等的零点x x
e 1
， 2，
不妨设 x1 ln a x2，构造函数 F x f x f 2ln a x ，
a a a a ex
因为 f (x) 1
ex
，所以 F x 1
ex
1 2lna x 2 x e e a
，
1 a ex a ex
因为0 a ，所以
e x 2 x 2
，当前仅当 x ln a时取到等号，
e a e a
x
所以 F x 2 a e x 0，所以F x f x f 2ln a x 在 R上单调递减，
e a
又 x2 ln a，所以F x2 F ln a f ln a f 2ln a ln a 0，
即F x2 f x2 f 2ln a x2 0，即 f x2 f 2ln a x2 ，又 f x2 f x1 ，
所以 f x1 f 2ln a x2 ，又 x1 ln a x2，所以2ln a x2 ln a，
由(1)有：函数 f (x)在 , ln a 单调递减，所以 x1 2ln a x2，
即 x1 x2 2ln a，结论得证. ...12分
