人教A版（2019）必修第二册8.6.1直线与直线垂直课件课件-2022-2023学年高一下学期数学（共23张）

(共23张PPT)
直线与直线垂直
8.6.1
第八章　立体几何初步
空间中两条直线的位置关系
在初中，已经研究了平行直线和相交直线.本节课我们一起来探究异面直线吧！
？
平行直线
相交直线
异面直线
异面直线所成的角
1
阅读课本第146－147页，完成以下内容.
问题1
提示
平面内两条直线所成的角的范围是多少？
知识梳理
已知两条异面直线a，b，经过空间 O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线 所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
任一点
a′与b′
两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关.
注意
知识梳理
空间两条直线所成角α的取值范围是 .
0°≤α≤90°
找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.
注意
θ∈(0，]
例1
解　∵CG∥FB，
∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE与CG所成的角为45°.
如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG所成的角；
例1
(2)FO与BD所成的角.
解　如图，连接FH，
∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，
∴FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，∴BD∥FH，
∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，
则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，
∴FO与BD所成的角为30°.
反思感悟
根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角.
求两异面直线所成的角的三个步骤
证明作出的角就是要求的角.
求角的值，常利用解三角形得出
作
证
计算
注意
可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.
跟踪训练1
在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.
解　如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，
∠EGF或其补角为AB与CD所成的角.
∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
直线与直线垂直
2
异面垂直
知识梳理
如果两条异面直线所成的角是 ，
那么我们就说这两条异面直线 .直线a与直线b垂直，记作 .
直角
a⊥b
阅读课本第147页，完成以下内容.
注意
两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形.
互相垂直
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，求证：AO⊥A1B.
例2
证明　∵ABCD－A1B1C1D1是正方体， ∴A1D1∥BC，
∴四边形A1D1CB是平行四边形，∴A1B∥D1C，
∴直线AO与A1B所成的角即为直线AO与D1C所成的角，
如图，连接AC，AD1，易证AC＝AD1，
又O为CD1的中点，∴AO⊥D1C，∴AO⊥A1B.
反思感悟
1.先构造两异面直线所成的角
2.若能证明这个角是直角，即得到两直线垂直
证明两异面直线垂直
延伸探究　
若本例条件不变，求证：A1B⊥AC1.
证明　连接AB1，交A1B于点M，如图所示.
设B1C1的中点为N，连接MN，则MN∥AC1，
所以MN与A1B所成的角即AC1与A1B所成的角.
连接A1N，BN，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
△A1B1N≌△BB1N，
所以A1N＝BN，又M为A1B的中点，
所以MN⊥A1B，所以A1B⊥AC1.
跟踪训练2
如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′
证明　如图，取CC′的中点F，连接EF，BF，
∵E为AC的中点，F为CC′的中点，
∴EF∥AC′，∴BE和EF所成的角为∠BEF，
在正三棱柱ABC－A′B′C′中，
在△BEF中，BE2＋EF2＝BF2，∴BE⊥EF，即BE⊥AC′.
课堂小结
1. 知识清单：
(1)平面内两直线的夹角.
(2)异面直线所成的角.
(3)利用异面直线所成的角证明两直线垂直.
2. 方法归纳：转化与化归.
3. 常见误区：容易忽视异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°.
随堂演练
3
1
2
3
4
√
1.垂直于同一条直线的两条直线一定
A.平行 B.相交
C.异面 D.以上都有可能
解析
1
2
3
4
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
√
和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1，故选B.
解析
1
2
3
4
如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD与AC所成角的大小为________.
60°
依题意知，EG∥BD，EF∥AC，
所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，
又∠GEF＝120°，
所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
解析
1
2
3
4
如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，则异面直线DE与AB所成的角的大小为______.
45°
∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC.
∵点C是弧AB的中点，∴BC＝AC，
∴∠ABC＝45°.
在△VBC中，∵D，E分别为VB，VC的中点，
∴DE∥BC，
∴DE与AB所成的角为∠ABC＝45°.