人教A版（2019）2022-2023学年高一下学期素质测试数学试题（三）（含解析）

人教A版（2019）2022-2023学年高一下学期素质测试
数学试题（三）
一、单选题
1．在复平面内，复数对应点的坐标是，是复数的共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知点在线段上，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题正确的是（ ）
A．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
B．如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面平行
C．如果一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行
D．如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
6．如图在RtABC中，AB＝BC＝6，动点D，E，F分别在边BC，AC，AB上，四边形BDEF为矩形，剪去矩形BDEF后，将剩余部分绕AF所在直线旋转一周，得到一个几何体，则当该几何体的表面积最大时，BD＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．3
7．设是的重心，且，若外接圆的半径为1，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．底面半径为2，高为5的圆柱内挖去一个半径为2的球体，剩余的几何体的体积是（ ）
A． B．9π C． D．20π
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．若为复数，则
B．若为向量，则
C．若为复数，且，则
D．若为向量，且，则
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，B＝30°，则使此三角形只有唯一解的b的值可以是（ ）
A． B．3 C．5 D．
11．如图，正方体的中心为分别为的中点，分别为线段上的动点（包含端点），则（ ）
A．对于任意点平面
B．存在点，使得平面平面
C．三棱锥的体积为定值
D．存在点，使得平面
12．下列命题中，正确的是（ ）
A．在中，，
B．在锐角中，不等式恒成立
C．在中，若，则必是等腰直角三角形
D．在中，若，，则必是等边三角形
三、填空题
13．已知向量，当与的夹角为锐角时，则实数m的取值范围是______.
14．在梯形中，，则的值是___________.
15．已知等腰直角三角形的直角边长为，且其顶点都在球上，若球的体积为，则三棱锥的体积为______．
16．在三角形中，已知，，若，则的值为__________．
四、解答题
17．已知z是复数，和均为实数，其中i是虚数单位.
(1)求复数z的共轭复数；
(2)记，若复数对应的点在第三象限，求实数m的取值范围.
18．已知函数的最大值为2.
(1)求a的值及的最小正周期：
(2)画出在上的图象.
19．如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球球A和球，圆柱的底面直径为，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球
(1)求球A的体积；
(2)求圆柱的侧面积与球B的表面积之比.
20．已知函数，且满足________．从①函数的图象关于点对称；②函数的最大值为2；③函数的图象经过点．这三个条件中任选一个补充到上面的横线上，并解答下面的问题：
(1)求实数a的值并求函数的单调递增区间；
(2)已知函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围．
21．P为正方形ABCD所在平面外一点，E，F，G分别为PD，AB，DC的中点，如图．求证：
(1)AE∥平面PCF；
(2)平面PCF∥平面AEG.
22．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，△ABC的面积．
(1)若，求的值；
(2)求的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据点的坐标，写出，再写出，利用复数除法法则计算即可.
【详解】因为复数对应点的坐标是，
所以，则
所以.
故选：A.
2．C
【分析】利用平面向量加法法则可得出关于的表达式.
【详解】，解得.
故选：C.
3．C
【分析】举出的反例可判断A；举出异面的反例可判断B；根据两条平行线其中一条垂直平面，那么另外一条也垂直平面可判断C；举出平行的反例可判断D.
【详解】对于A，如图，
此时，A错误；
对于B，如图，
此时异面，B错误；
对于C，由性质定理： “如果在两条平行线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面.”可知，C正确；
对于D，
此时，D错误.
故选：C.
4．C
【分析】先由倍角公式得，再由正弦差角公式得及诱导公式得，由正弦函数单调性比较大小即可.
【详解】，，
，由正弦函数的单调性知，.
故选：C.
5．D
【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系判断即可.
【详解】解：对于A：如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行或相交，故A错误；
对于B：如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面平行或相交，故B错误；
对于C：如果一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行或该直线在此平面内，故C错误；
对于D：如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，此为面面垂直的性质定理，故D正确；
故选：D
6．B
【分析】根据已知条件，表面积是圆锥表面积加圆柱侧面积，再应用基本不等式求最值及取等条件即可.
【详解】设BD＝x，BF＝y，其中x、y（0，6）；由题意知，，所以x+y＝6；
所以所求几何体的表面积为：
当且仅当x＝y＝3，即BD＝3时取得“＝”；
即所得几何体的表面积最大时，BD＝3．
故选：B．
7．B
【分析】根据是三角形的重心得到，结合已知条件进行化简，求得，由此判断出三角形是等边三角形，再结合三角形外接圆半径以及正弦定理，求得三角形的边长，由此求得三角形的面积.
【详解】∵是的重心，∴，
则，代入得，，
∵不共线，∴且，
即，∴是等边三角形，又外接圆的半径为1，
∴由正弦定理得，，则，
∴.
故选：B.
【点睛】本小题主要考查三角形重心的向量表示，考查正弦定理的运用，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
8．A
【解析】由圆柱的体积公式，求得圆柱的体积为，由球的体积公式，求得球的体积，
进而求得剩余的几何体的体积，得到答案.
【详解】由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积为，
其中半径为2的球的体积为，
所以剩余的几何体的体积为.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了组合体的体积的计算，其中解答中熟记圆柱和球的体积公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
9．AD
【分析】根据复数运算、向量运算的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】令，，，
，
，，
，A对；
，不一定成立，B错；
，，
，，
，C错．
将两边平方并化简得，D对.
故选：AD
10．BD
【分析】由题意，则角A只有一个解，有或且，转化为边的关系即可.
【详解】由正弦定理得，，要使此三角形只有唯一解，此三角形时有且只有唯一解，则A只有一个，
则或且，
所以或，选项BD符合.
故选：BD．
11．BC
【分析】选项A，当与重合时，可判断；
选项B，当为的中点时，可证明平面（平面），即可判断；
选项C，先证明平面，再由点到平面的距离为定值，而的面积是定值，可判断；
选项D，先证明平面平面，即可判断.
【详解】
选项A，连接，当与重合时，平面平面，此时直线与平面相交，A错误；
选项B，四边形为正方形，，当为的中点时，，
平面平面，
平面（平面），平面平面平面B正确；
选项C，在正方体中，
四边形为平行四边形，平面平面平面，点到平面的距离为定值，而的面积是定值，则三棱锥的体积为定值，正确；
选项D，平面，同理平面，且平面平面平面，又平面平面，D错误．
故选：BC．
12．ABD
【解析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形状，即可判断出正误.
【详解】对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确；
对于，在锐角中，，，
，，
，因此不等式恒成立，正确；
对于，在中，由，利用正弦定理可得：，
，
，，
或，
或，
是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误.
对于，由于，，由余弦定理可得：，
可得，解得，可得，故正确.
故选：.
【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.
13．且
【分析】根据与的夹角为锐角，可得，且与不共线，然后建立关于的关系式，再求出的取值范围．
【详解】解：因为与的夹角为锐角，向量，
所以，且与不共线，
所以且，解得且，
所以的取值范围是且；
故答案为：且．
14．
【分析】设，根据正弦定理得出，，相除后化简即可得解.
【详解】设，则.
在中，，
在中，，
两式相除得，，
即，
因为，
所以可得，
所以.
故答案为：
15．16
【分析】根据球的体积为，求得球的半径，再由等腰直角三角形外接圆的圆心为线段的中点，求得，即为三棱锥的高，再由锥体的体积公式求解.
【详解】如图所示：
等腰直角三角形的直角边为，斜边，其外接圆的圆心为线段的中点，
所以是三棱锥的高，
设球的半径为，
因为，
所以，又，
所以，
所以三棱锥的体积为．
故答案为：16
16．或
【分析】由，解出A，B，C的正余弦值，将等式化简后代入，解出.
【详解】因为，，，，
所以，，，，
．
，
即，
所以，解得或.
故答案为：或．
17．(1)
(2)
【分析】（1）设，分别代入和，再根据两者均为实数可求得，，进而可求得复数z的共轭复数；
（2）化简，再根据复数对应的点在第三象限可建立不等式组，求解即可.
【详解】（1）设，则
由为实数，则，所以，
由为实数，则，所以
则，复数z的共轭复数.
（2）由（1）可知，
由对应的点在第三象限，得，即，
解得
故实数m的取值范围为
18．(1)，最小正周期
(2)答案见解析
【解析】(1)
的最大值为2，
所以，最小正周期.
(2)
由(1)知，列表：
x 0
1 2 0 0 1
画图如下：
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据圆柱的轴截面分析即可；
（2）直接利用球表面积、圆柱的侧面积公式计算即可．
【详解】（1）设圆柱的底面半径为R，小球的半径为r，且，
由圆柱与球的性质知，
即，
，
球A的体积为
（2）球B的表面积，
圆柱的侧面积，
圆柱的侧面积与球B的表面积之比为
20．(1)，；
(2)．
【分析】（1）由二倍角公式、两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，
选①，由求得，再由正弦函数性质得单调增区间；选②，由结合正弦函数的最大值求得，再由正弦函数的单调性求得增区间；选③，由求得，再由正弦函数的单调性得增区间；
（2）求出的最大值，由可得参数范围．
【详解】（1）由条件知
若选①，则，解得，，
由，解得，，
所以函数的单调递增区间为．
若选②，则函数的最大值为，解得，，
由，解得，，
所以函数的单调递增区间为．
若选③，则，
所以，，
由，解得，，
所以函数的单调递增区间为．
（2）由题意可知只需即可．
当时，，所以，
因此函数的最大值为1．
令，则，则
当即时，函数的最大值为，于是，
整理得，解得，均满足，所以；
当即时，函数的最大值为，于是，无实解；
综上所述，实数m的取值范围为．
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）取PC中点H，分别连接EH，FH，根据E，F，H分别为PD，AB，PC的中点，得到EAFH为平行四边形，从而EA∥FH，再利用线面平行的判定定理证明；
（2）根据E，G分别为PD，CD的中点，得到EG∥PC，利用线面平行的判定定理得到EG∥平面PCF，再利用面面平行的判定定理证明.
【详解】（1）证明：如图所示：
，
取PC中点H，分别连接EH，FH，
∵E，F，H分别为PD，AB，PC的中点，
∴，
∴EAFH为平行四边形．
∴EA∥FH.
又平面PCF，平面PCF，
∴AE∥平面PCF.
（2）∵E，G分别为PD，CD的中点，
∴EG∥PC.
又平面PCF，平面PCF，
∴EG∥平面PCF.
由(1)知AE∥平面PCF，EG∩AE＝E.
∴平面PCF∥平面AEG.
22．(1)或
(2)
【分析】（1）由正弦定理化简可得，由可得，结合余弦定理得，换元求出其值，由正弦定理即可得答案;
（2）由得 ，结合余弦定理得，变形为，换元，可得，结合三角函数的性质可得不等式，即可求得答案.
【详解】（1）因为，由正弦定理得：，
即,即，
因为 ，所以，即，
由得：;
由得：，即，即，
由余弦定理可得：，
故，则，
令，则，解得 ，
由正弦定理得：，故的值为或；
（2）由得：，即，
由余弦定理可得：，
即，
故，
令，则，即,
由得，故，
故，即得 ，
故的取值范围是.
答案第1页，共2页
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