人教A版（2019）2022-2023学年高一下学期素质测试数学试题（一）（含解析）

人教A版（2019）2022-2023学年高一下学期素质测试
数学试题（一）
一、单选题
1．已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，为直线，为平面，若，，则与的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交或异面 C．异面 D．平行或异面
4．已知，，则（　　）
A． B． C．2 D．
5．设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列四个命题正确的是（ ）．
A．，，，则
B．，，则
C．若，，，则
D．若，，则
6．在等腰直角三角形中，，为的中点，将它沿翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球的表面积为（ ）.
A． B． C． D．
7．已知点是的外心，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．有一个棱柱形状的石料，底面是边长为的等边三角形，该石料侧棱垂直于底面，若可以将该石料打磨成四个半径为的石球，则至少需要打磨掉的石料废料的体积为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．若为复数，则
B．若为向量，则
C．若为复数，且，则
D．若为向量，且，则
10．已知中，，若三角形有两解，则x不可能的取值是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
11．如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ）
A．直线与为异面直线
B．平面
C．正方体的外接球的表面积为
D．三棱锥的体积为
12．在中，角所对的边分别为，以下结论中正确的有（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为直角三角形
C．若为锐角三角形，则
D．若，则
三、填空题
13．已知向量，当与的夹角为锐角时，则实数m的取值范围是______.
14．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为___________m．
15．如图边长为2的正方形ABCD中，以B为圆心的圆与AB，BC分别交于点E，F，若，则阴影部分绕直线BC旋转一周形成的几何体的体积等于__________．
16．在锐角中，角，，所对的边分别为，，.若，则的取值范围是______.
四、解答题
17．若(m∈R)为纯虚数，求的值．
18．设函数.
(1)求函数的最小正周期和对称轴方程；
(2)求函数在上的最大值与最小值及相对应的的值.
19．一个圆锥的底面直径为，高为，在它的内部有一个高为的内接圆柱．
（1）用表示圆柱的轴截面面积，
（2）当为何值时，最大．
20．已知，，的内角A，B，C所对的，边分别为a，b，c，若的最大值为.
(1)求A；
(2)当，时，求的面积.
21．如图，四棱柱的底面ABCD为正方形，O为BD的中点，⊥底ABCD，．
(1)求证：平面∥平面．
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
22．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
(1)求角C；
(2)CD是的角平分线，若，的面积为，求c的值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据复数的除法运算可求得，即可求得结果.
【详解】由可得，
所以复数的虚部为.
故选：A
2．C
【分析】取的中点，连接，根据平面向量的线性运算计算即可.
【详解】如图，取的中点，连接，
因为是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，
所以，，所以，所以四边形是平行四边形，所以，
又为上靠近的一个四等分点，
所以
.
故选：C.
3．D
【分析】利用线面平行的定义及直线的位置关系即得.
【详解】因为，
所以直线与平面没有公共点，又，
所以与没有公共点，即与的位置关系是平行或异面.
故选：D.
4．C
【分析】先利用三角公式求出，即可求得.
【详解】∵
∴，
二者相除得：
则.
故选：C.
5．B
【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系一一判断求解.
【详解】对于A，，，，则或相交，
只有，，，且相交，则，故A错误；
对于B，因为，，根据面面平行的性质可知，，故B正确；
对于C，因为，，所以或，
又因为，所以的位置关系可能是平行，相交或异面，C错误；
对于D，因为，，所以可能平行，可能相交，D错误.
故选:B.
6．D
【分析】如图，将四面体放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的半径，然后确定球心在上下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球的半径.
【详解】中，易知，
翻折后,
，
，
设外接圆的半径为，
， ，
如图：易得平面，将四面体放到直三棱柱中，则球心在上下底面外接圆圆心连线中点，设几何体外接球的半径为，
，
四面体的外接球的表面积为.
故选D
【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，求几何体的外接球的半径时，一般可以用补形法，因正方体，长方体的外接球半径 容易求，可以将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，比如三条侧棱两两垂直的三棱锥，或是构造直角三角形法，确定球心的位置，构造关于外接球半径的方程求解.
7．C
【分析】先推导出外心的向量性质，，然后由即可计算出答案.
【详解】如下图所示：
取弦的中点，则，，同理可得，
.
故选：C
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，涉及三角形外心的向量性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
8．B
【分析】求出柱形石料的高，利用柱体体积减去四个球体体积可得结果.
【详解】底面是边长为的等边三角形的内切圆的半径为，
由等面积法可得，解得，
若可以将该石料打磨成四个半径为的石球，则该柱形石料的高至少为，
因此，至少需要打磨掉的石料废料的体积为.
故选：B.
9．AD
【分析】根据复数运算、向量运算的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】令，，，
，
，，
，A对；
，不一定成立，B错；
，，
，，
，C错．
将两边平方并化简得，D对.
故选：AD
10．ACD
【分析】若三角形有两解，则，结合正弦定理即可求解
【详解】解：因为中，，且三角形有两解，
所以，
由正弦定理得，
所以，解得，
因为，所以，
所以，
故选：ACD
11．ABC
【分析】根据异面直线定义即可判断A；根据题意得到，再利用线面平行的判定定理即可判断B；首先求出正方体外接球半径，再计算表面积即可判断C；计算三棱锥的体积即可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对选项A，因为平面，平面，面，
，所以直线与为异面直线.故选项A正确；
对选项B，因为，，所以四边形是平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，故选项B正确；
对选项C，正方体外接球半径，
所以球体表面积，故选项C正确；
对选项D，，故选项D错误.
故选：ABC.
12．BCD
【分析】结合正弦定理、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、三角恒等变换等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】对于A选项，，由正弦定理得，
，则可能，A选项错误.
对于B选项，，
，,
由正弦定理得，所以B选项正确.
对于C选项，为锐角三角形，,
均是锐角，在上递增，
则，所以C选项正确.
对于D选项，由于，所以为锐角，
，所以为锐角，
根据C选项的分析，有，同理可得,
所以，则，D选项正确.
故选：BCD
13．且
【分析】根据与的夹角为锐角，可得，且与不共线，然后建立关于的关系式，再求出的取值范围．
【详解】解：因为与的夹角为锐角，向量，
所以，且与不共线，
所以且，解得且，
所以的取值范围是且；
故答案为：且．
14．
【分析】根据已知的边和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得.
【详解】因为，，所以，，所以，
又因为，所以，，
在中，由正弦定理得，即，解得，
在中，由余弦定理得，
所以，解得．
故答案为：
15．
【分析】阴影部分绕直线BC旋转一周形成的几何体是一个圆柱挖掉一个半球与圆锥，分别计算其体积，然后得到答案.
【详解】在中，
所以，
正方形ABCD绕直线BC旋转一周形成圆柱，圆柱的底面半径，
高，其体积；
直角绕直线BC旋转一周形成与圆柱同底的圆锥，圆锥的底面半径，
高，其体积；
扇形BEF是圆的，绕直线BC旋转一周形成一个半球，球的半径为，
故其体积；
所以阴影部分绕直线BC旋转一周形成的几何体是一个圆柱挖掉上述的半球与圆锥，
故其体积．
故答案为：.
16．
【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得，由，为锐角，可得，解得的范围，可得求，，化简所求即可得解．
【详解】，
由正弦定理可得：，
，可得：，
即：，
，为锐角，可得：，可得：，
，
又，可得：，
综上，可得，可得：，，
，
故答案为：．
17．1.
【分析】由题可得，进而即得.
【详解】因为=是纯虚数，
所以解得m=±2．
于是当m=2时，=i4=1;
当时，==1．
综上，=1．
18．(1)，
(2)时，最大值是2，时，最小值是1
【分析】（1）利用正弦函数的性质求解；
（2）由正弦函数的性质求解.
【详解】（1）解：的最小正周期为，
由，得，
所以函数的对称轴方程为；
（2）由（1）知，时，，
则，即时，，
，即时，，
的最大值是2，此时，的最小值是1，此时.
19．（1）；（2）．
【分析】（1）利用轴截面中三角形相似求出圆柱的底面半径，再根据矩形的面积公式可得结果；
（2）利用二次函数知识可求得结果.
【详解】（1）画出圆柱和圆锥的轴截面，如图所示．
设圆柱的底面半径为，
则由三角形相似可得，解得．
圆柱的轴截面面积为．
（2），
所以当时，取最大值．
20．(1)；
(2)或.
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，借助正弦函数的性质求出作答.
（2）利用余弦定理求出边c，再利用三角形面积公式计算作答.
【详解】（1）依题意，
，
显然当，即时，，
因为是的最大值，又是的内角，即，因此，
所以.
（2）在中，，，，由余弦定理得：，
即，整理得，解得或，
当时，，当时，.
所以的面积是或.
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由四棱柱的性质和已知可证得四边形为平行四边形，则∥，由线面 平行的判定可得∥平面，同理可证得∥平面，从而由面面平行的判定定理可证得结论，
（2）连接，交于，连接，可证得平面，在平面内作，垂足为E，连接BE，则就是直线与平面所成的角，再由已知求出，从而可求出结果
（1）
证明：因为四棱柱的底面ABCD为正方形，
所以∥，，∥，，
所以∥，，
所以四边形为平行四边形，
所以∥．
又平面，平面，
所以∥平面，
同理∥平面．
又，
所以平面∥平面．
（2）
解：如图，连接，交于，连接，
则，
又∥，
所以，即．
因为底面ABCD，BD底面ABCD，
所以，又，
所以平面，
在平面内作，垂足为E，则，
又，所以平面，
连接BE，则就是直线与平面所成的角，设为．
因为，，
所以，．
在Rt△中，．
在Rt△中，．
所以．
故直线与平面所成角的正弦值为
22．(1)；
(2)
【分析】（1）先由正弦定理得，化简整理得，再由余弦定理求得，即可求解；
（2）先由面积求得，再由角平分线得，结合平面向量得，平方整理求得，再由（1）中即可求出c的值.
【详解】（1）由正弦定理得，即，整理得，
化简得，由余弦定理得，又，则；
（2）
由面积公式得，解得，又CD是的角平分线，则，
即，则，
所以，即，
整理得，又，解得，则，
由（1）知，则.
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