【吉林长春专版】2023届中考数学考向信息卷（含解析）

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2023届中考数学考向信息卷
吉林长春专版
【满分：120】
一、选择题（本题共8题，每题3分，共24分）
1.5G是第五代移动通信技术，应用5G网络下载一个的文件只需要，下载5个的文件需要的时间用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
2.如图正方体纸盒，展开后可以得到( )
A. B.
C. D.
3.已知数a，b，c在数轴上对应点位置如图所示，则下列正确的是( )
A. B. C. D.
4.在螳螂的示意图中，，是等腰三角形，，，则( )
A.16° B.28° C.44° D.45°
5.甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等.若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程是( )
A. B. C. D.
6.如图, 小岛A 位于港口P 北偏西 方向上, 且到点P 的距离是 5 海里, 小 岛 B位于港口 P北偏东方向上, 且到点 P的距离是海里. 某轮船从 港口P出发匀速航行, 要想在最短的时间内赶到航线AB上, 那么它的航向是( )
A.北偏西方向 B.北偏西方向
C.北偏西方向 D.正北方向
7.如图, 在扇形AOB 中, , 以OB 为直径作半圆C, 过点C 作OA 的平行线CD, 分别交 、半 圆C 于点D,E. 若, 则图中阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
8.已知函数与的图象在第一象限交于点E, 函数与 的图象在第二象限交于点F. 则下列叙述错误的是
A. k 值越大,点E 离原点越远
B.当 时, 在y 轴上存在点, 使
C.的夹角为定值, 与 k的取值无关
D.的面积为k
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
9.因式分解：____________.
10.古书《九章算术》有这样一个问题：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数、鸡价各几何？”大意是：有几个人共同出钱买鸡，每人出9钱，则多了11钱，每人出6钱，则少了16钱，那么有几个人共同买鸡？鸡的总价是多少？若有x个人共同买鸡，则可列方程：_________.
11.若的小数部分为a，则________.
12.已知点 ，是抛物线 上的两点, 则m,n的大小关系为_______.
13.如图，三角形纸片ABC，，E、F分别是CB、AB边上的点，，将三角形纸片沿FE折叠，使点B的对应点D落在AC边上，且，则BC的长为_________.
14.如图, 大正六边形被分成了六个全等的直角三角形和一个小正六边形ABCDEF, 已知直角三角形中最小 的角为, 最短边长为a, 则正六边形ABCDEF 的面积是________.
三、解答题（本题共10题，共78分）
15.（6分）计算：.
16.（6分）4 张相同的卡片上分别写有数0,1,-2,3, 将卡片的背面朝上, 洗匀后从中任意抽取 1 张, 将卡片上的数 记录下来; 再从余下的 3 张卡片中任意抽取 1 张, 同样将卡片上的数记录下来.
(1) 第一次抽取的卡片上的数是负数的概率为_______.
(2) 小敏设计了如下游戏规则: 当第一次记录下来的数减去第二次记录下来的数所得结果为非负数时, 甲 获胜;否则,乙获胜. 小敏设计的游戏规则公平吗 为什么 (请用画树状图或列表的方法说明理由）
17.（6分）将两个大小不一的等腰直角三角板如图①放置，图②是由它抽象出的几何图形A，B、C、E三点在同一直线上，连接DC．
（1）请找出图②中的全等三角形，并说明理由．
（2）试问：DC与BE的位置关系如何？并说明理由．
18.（7分）如图所示, 在网格中, 每个小正方形的边长均为 1 个单位长度, 把小正方形的顶点叫做格点, O为平面 直角坐标系的原点, 矩形OABC 的 4 个顶点均在格点上, 连接对角线OB.
(1)在平面直角坐标系内, 以原点O 为位似中心, 把缩小, 作出它的位似图形, 并且使所作的位 似图形与 的相似比等于;
(2)将以 O为旋转中心, 逆时针旋转, 得到, 作出, 并求出线段 OB旋转过程中所形成扇形的周长.
19.（7分）如图, AB是的直径,点 E是OB 上一点(不与点O,B 重合), 过点E 作 交 于 点C, 过点C 作 的切线交AB 的延长线于点D, 连接CB.
(1)求证:.
(2)若,的半径为 6 , 求CD 的长.
20.（7分）某地义务教育阶段学校积极响应教育部号召, 提供课后延时服务, 并“因地制宜, 各具特色”. 教育局 为了解该地中学课后延时服务的开展情况, 从甲、乙两所中学中各随机抽取 100 名学生的家长进行 问卷调查 (每名学生对应一份问卷), 将学生家长对延时服务的评分 (单位: 分) 分为 5 组 (A.; B.; C.; D.; E., 并对数据进行整理、分析. 部分信 息如下.
a. 甲中学延时服务得分情况扇形统计图如图所示.
b.乙中学延时服务得分情况频数分布表如下 (不完整).
c.将乙中学在B组的得分按从小到大的顺序排列, 前 10 个数据如下:
81,81,81,82,82,83,83,83,83,83 .
学校 平均数 中位数 众数
甲 75 79 80
乙 78 b 83
d. 甲、乙两中学延时服务得分的平均数、中位数、众数如下表.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)_______,________
(2)已知乙中学共有 3000 名学生, 若对延时服务的评分在 80 分以上(含 80 分) 表示认为学校延时 服务合格, 请你估计乙中学有多少名学生的家长认为该校延时服务合格.
(3)小明说:“乙中学的课后延时服务开展得比甲中学好.”你同意小明的说法吗 请写出一条理由.
21.（8分）某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度与时间之间的函数关系,其中线段表示恒温系统开启阶段,双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题:
(1)求这天的温度y与时间的函数解析式
(2)求恒温系统设定的恒定温度.
(3)若大棚内的温度低于10 ℃时,蔬菜会受到伤害.问:这天内,恒温系统最多可以关闭多少小时,才能使蔬菜避免受到伤害
22.（9分）对x，y定义一种新运算，规定：，（其中a，b均为非零常数），例如：.
（1）求与的值（用含a，b的代数式表示）；
（2）若（c为非零的常数），求代数式的值.
23.（10分）如图 (1), 在正方形 ABCD中, M是边AB 上一动点 (不与点A,B 重合), 以顶点C 为圆心, CM长为半径画弧 交边 AD于点N, 连接CM,CN.
(1)求证:.
(2)以点N 为圆心, NC长为半径画弧, 交射线CB 于点P, 连接 NP交 CM于点O.
①如图 (2), 连接OA, 求证:;
②过点O 作 于点Q, 若, 请直接写出 的值.
24.（12分）在平面直角坐标系xOy 中, 已知抛物线 经过 ,两点. P是抛物线上一点, 且 在直线AB 的上方.
(1)请直接写出抛物线的解析式.
(2)若 面积是 面积的 2 倍, 求点P 的坐标.
(3)如图, OP交 AB于点 C,交AB 于点D. 记 ,,的面积分别为,,. 判断 是否存在最大值. 若存在, 求出最大值; 若不存在, 请说明理由.
答案以及解析
1.答案： B
解析：下载5个的文件需要的时间为（s），
故选：B．
2.答案：D
解析：A.两个蓝色圆所在的面折叠后是对面，不合题意；
B.白色圆与一个蓝色圆所在的面折叠后是对面，不合题意；
C.白色圆与一个蓝色圆所在的面折叠后是对面，不合题意；
D.白色圆与两个蓝色圆所在的面折叠后是相邻的面，符合题意；
故选：D.
3.答案：D
解析：a距离远点的距离距离远点的距离，，故A项错误.
c距离原点的距离距离原点的距离，
，
故B选项错误.
，，
故C选项错误.
，，
故D选项正确.
故选：D.
4.答案：C
解析：解：延长，交于F，
等腰三角形，，
，
，
，
，
，
故选：C.
5.答案：D
解析：设甲班每天植x棵，
则乙班每天植树棵，
那么甲班植80棵树所用的天数应该表示为：，
乙班植70棵树所用的天数应该表示为：，
所列方程为：.
故选：D.
6.答案：A
解析：易知，，,，. 如图, 过点 P作 于点C, 则, 且轮船沿PC 航行时所需 时间最短. 又 ，. 故选 A.
7.答案：B
解析：，，.
如图, 连接OD. 由题意可得，，,
，，
，，
又，
8.答案：B
解析：由题意可画出草图如图所示, 易知，, 则 ，k值越大, OE 的值越大, 即点E 离原点越远. 当 时, ,. 设EF 交y 轴于点M, 则 ,,点 P的坐标为 或 , 直线 与直线 垂直,. 易知 轴,. 故选 B.
9.答案：
解析：
.
10.答案：
解析：设有x个人共同买鸡，根据每人出9钱，则多了11钱，每人出6钱，则少了16钱，可列方程为，
故答案为：.
11.答案：2
解析：，即，的整数部分为2，
的小数部分为，即，
则
，
故答案为：2.
12.答案：
解析：易知抛物线 的对称轴 为直线, 点A 到对称轴的距离为 2 , 点B 到对称 轴的距离为 1，， 抛物线开口向上, 抛物线上 的点到对称轴的距离越小, 点的纵坐标越小,.
13.答案：22
解析：
设，
由折叠可知：
在中，
根据勾股定理得∶
，
(负值舍去)
故答案为：22.
14.答案：
解析：如图, 由题意可知, ，，，. 设正六边形ABCDEF 的中心为O, 连接OC,OD, 则 是等边三角形,，.
15.答案：6
解析：原式
.
16.答案： (1)
(2)小敏设计的游戏规则公平
解析：(1)略
(2) 根据题意画树状图如下:
P(结果为非负数),
P(结果为负数),
小敏设计的游戏规则公平.
17.答案： (1) ,理由见解析
（2）,理由见解析
解析：（1）图2中．
理由如下：
与均为等腰直角三角形，
，，，
，即，
和中，
，
；
（2）．
理由如下：
由（1）知，
，
又，
，
．
18.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1) 如图, ，即为所求.
(2)如图所示.
19.答案： (1)见解析
(2)
解析：(1) 证明: 如图, 连接OC.
CD 是的切线，
，
，
，
，
(2)，，
，，
，
20.答案：(1) 10, 82.5
(2) 乙中学有 1650 名学生的家长认为该校延时 服务合格
(3) 同意,理由见解析
解析: (1)甲中学的得分中在B 组的占
将乙中学延时服务的得分按从小到大的顺序排列后, 中间的两个数是 82,83 ,
故中位数是, 即.
(2)(名).
答:估计乙中学有 1650 名学生的家长认为该校延时 服务合格.
(3)同意.
理由: 乙中学延时服务得分的平均数、中位数、众数均 比甲中学高.
21.答案：(1)
(2)20
(3)10
解析：(1)设线段所在直线的解析式为.
将点(0,10),(2,14)代入解析式,得
解得
∴线段所在直线的解析式为,
∴点B的坐标为(5,20),
∴线段所在直线的解析式为.
设双曲线的解析式为.
将点代入,得,
解得.
∴双曲线解析式为，
与x的函数解析式为
(2)由(1)可知,恒温系统设定的恒定温度为20 ℃.
(3)把代入,得,
解得.
.
∴恒温系统最多可以关闭10 h,才能使蔬菜避免受到伤害.
22.答案：（1），；
（2）5
解析：
（1），
；
（2），
，
得：.
，
.
23.答案： (1)见解析
(2) ①见解析②
解析： (1) 证明: 四边形ABCD 是正方形,
，
又由作图知, ,
(2)①证明：方法一: 如图 (1), 由 (1) 知, ,
，
，
，，
由作图知, ,
，
延长CM 到点H, 使, 连接AH, 则.
又
，，
，
方法二: 如图(2), 由(1) 知, ,
，，
，
，
由作图知
，
，
，
过点A 作 交OM 的延长线于点E, 过点N 作 于点F, 易得四边形NOEF 是矩形,，
，，
又，，
，
，
②如图 (3), 过点N 作 于点H, 则.
设, 则，,
，，
，，
，
24.答案： (1)
(2) 或
(3) 存在，
解析：(1)将 ，分别代入, 得
解得所以抛物线的解析式为.
(2)设直线AB 的解析式为,
将 ，分别代入, 得 解得
所以直线AB 的解析式为.
如图 (1), 过点P 作 轴, 垂足为M,PM 交AB于 点N, 过点B 作, 垂足为E,
所以
因为，,
所以.
因为 的面积是 面积的 2 倍,
所以, 所以.
设,
则,
所以, 即,
解得，,
所以点P 的坐标为 或.
(3) 存在.
因为, 所以，, 所以,
所以.
因为，,
所以.
设直线 AB交y 轴于点F, 则.
如图 (2), 过点P 作 轴, 垂足为H,PH 交 AB于 点G.
因为, 所以.
因为, 所以,
所以,
所以.
设.
由 (2) 可得,
所以 .
又,
所以当 时, 的值最大, 最大值为.
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