【名师点拨】+2014-2015学年湘教版九年级数学上册过关自测卷：第4章锐角三角函数（含答案）

第4章过关自测卷
(90分钟 100分)
一、选择题（每题3分，共30分）
1．图1，P是角α的边OA上一点，点P的坐标为（12,5），则tanα等于（ ）
A.　　　　　　B. 　　　　　　C. 　　　　　　D.
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图1 图2 图3
2．在直角三角形ABC中，各边的长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值、余弦值和正切值（ ）
A.都扩大为原来的2倍 B.都缩小为原来的
C.都不变 D.无法确定
3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在AC上，∠CBD=
30°，则的值为（ ）
A. 　 B. 　 C. －1 　 D.不能确定
4．菱形中较长的对角线的长与较短的对角线的长的比为∶1，则菱形的四个角分别为（ ）
A.30°、150°、30°、150° B.45°、135°、45°、135°
C.60°、120°、60°、120° D.不能确定
5．如图2，在平地上种植树木时，要求株距 ( http: / / www.21cnjy.com )（相邻两树间的水平距离）为4 m.如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4 m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）
A.5 m　　　　　B.6 m　　　　　C.7 m　　　　　D.8 m
6．已知∠A，∠B是Rt△ABC的两个锐角，则方程tanA·x －2x+tanB=0( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.根的情况无法确定
7．如图3，一艘轮船由海平面上A地出发向南 ( http: / / www.21cnjy.com )偏西40°的方向行驶40 n mile到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶20 n mile到达C地，则A，C两地相距（ ）
A.30 n mile B.40 n mile C.20 n mile D.10 n mile
8．（2012，四川广安,有改动）如图4，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡度i=1∶，堤坝高BC＝50 m，则迎水坡面AB的长度是（ ）
A.100 m B.100 m C.150 m D.50m
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图4 图5 图6
9．如图5所示，学校的保管室里，有一架5 ( http: / / www.21cnjy.com )m长的梯子OC斜靠在墙上，此时梯子OC与地面所成的角为45°，如果梯子底端O固定不动，顶端C靠到对面墙上的C′点，此时梯子OC′与地面所成的角为60°,则此保管室的宽度AB为（ ）
A.（+1）m　　　　　　B.（+）m
C.3m　　　　　　　　　　D.（+1）m
10．（2013,广州）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图6所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，则tanB等于（ ）
A．2 　 B.2 C. 　 D.5
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（2012，湖北孝感）计算：cos245°+tan30°·sin60°=________.
12．在△ABC中，∠A,∠B都是锐角，且(cosA－) +|1－tanB|=0,则∠C=__________.
13．若tanα=5,则=__________.
14．如图7，孔明同学背着一桶水，从山 ( http: / / www.21cnjy.com )脚A出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因春季受旱缺水的王奶奶家（B处），AB=80 m，则孔明从A到B上升的高度BC是________m.
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图7 图8 图9 图10
15．（2014，厦门莲花中学模拟）如图8，△ABC中，∠B=30°，
∠A=15°，若BC边上的高为2，则BC=__________.
16．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA=,tanB=,AB=10,则△ABC的面积为___________.
17．全市动员修海堤抗台风，某海堤 ( http: / / www.21cnjy.com )的横断面是梯形，如图9所示，迎水坡BC的坡角为30°，背水坡AD的坡度i=1∶1.2，堤顶宽DC为3 m，堤高DF为10 m，则堤底宽AB约为________m.（精确到0.1 m)
18．(2013，荆门)如图10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE=________.
三、解答题（19题4分，20题6分，24题8分，其余每题7分，共46分）
19．（1）计算：++|1－|－2sin60°·tan60°；
(2)计算：sin 30°+cos 45°+sin60°·tan45°.
20．（2013，昭通）小亮一家在 ( http: / / www.21cnjy.com )一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图11所示）．小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200 m到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处．在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到1 m）？
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）
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图11
21．小明将一副三角尺如图12所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长，若已知CD=2，求AC的长.
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图12
22．（2013,贵阳）在一次综合实践活动中 ( http: / / www.21cnjy.com )，小明要测某地一座古塔AE的高度，如图13，已知塔基AB的高为4 m，他在C处测得塔基顶端B的仰角为30°，然后沿AC方向走5 m到达D点，又测得塔顶E的仰角为50°．（人的身高忽略不计）
（1）求AC的距离；（结果保留根号）
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图13
（2）求塔高AE．（参考数据：tan50°≈1.2，sin50°≈0.77，
cos50°≈0.64，≈1.73，≈1.41，结果保留整数）
23．如图14，一艘小船从码头A出发，沿北偏东53°方向航行，航行一段时间到达小岛B处后，又沿着北偏西22°方向航行了10 n mile到达C处，这时从码头测得小船在码头北偏东23°的方向上，求此时小船与码头之间的距离.（≈1.4, ≈1.7,结果保留整数）
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图14
24．某过街天桥的截面图为梯形，如图15所示，其中天桥斜面CD的坡度i=1∶，CD的长为10 m，天桥另一斜面AB的坡角∠ABG=.
（1）求过街天桥斜面AB的坡度；
（2）求DE的长；
（3）若决定对该过街天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓，将其
45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF，试计算此改建需占路面的宽度FB.（结果精确到0.01 m）
图15
25．阅读下列材料，并解决后面的问题.
如图16所示，在锐角三角形ABC中，设∠BAC，∠B，∠C的对边分别是a,b,c.过点A作AD⊥BC于点D，则sinB=,sinC=，即AD=c·sinB,AD=b·sinC.于是c·sinB=b·sinC,即,同理有所以.
即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
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图16
（1）在锐角三角形中，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若已知三个元素，a，b，∠A，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素c，∠B，∠C.请你按照下列步骤填空，完成求解过程.
第一步：由a，b，∠A__________求出∠B；
第二步：由∠A，∠B __________求出∠C；
第三步：由____________________求出c；
（2）一货轮在C处测得灯 ( http: / / www.21cnjy.com )塔A在货轮北偏西30°方向上，随后货轮以28.4 n mile/h的速度按北偏东45°的方向航行，0.5 h后到达B处， 此时又测得灯塔A在货轮的北偏西70°方向上（如图17所示），利用上面的结论求此时货轮到灯塔A的距离AB.（结果精确到0.1 n mile，参考数据：sin40°≈0.643,sin65°≈0.906,sin70°≈0.940,sin75°≈0.966)
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图17
参考答案及点拨
一、1．C 2．C 3．C
4．C 点拨：设较大内角为α，则tan =,所以=60°,所以α=120°.
5．A
6．B 点拨：因为b2－4ac=（－2）2－4·tanA·tanB=4－4×1=0，故方程有两个相等的实数根.
7．C 8．A 9．A
10．B 点拨：过点D作AB的平行线交AC于点E，交BC于点F，如答图1，易知四边形ABFD是平行四边形，∴BF=AD=6，DF=AB=4，∵AB⊥AC,DF∥AB，∴DF⊥AC，又∵CA是∠BCD的平分线，∴CD=CF，∠DCA=∠ACB，又∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠DAC=∠DCA.∴DC=DA=6，∴CF=6，∴BC=BF+CF=12.易求得AC=8,∴tanB= ==2.
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答图1
二、11．1 点拨：cos245°+tan30°·sin60°=+×=+=1.
12．75°
13． 点拨：原式= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ===.
14．40
15．－2 点拨：设BC边上的高为AD，由题意知，AD=2，∠ACD=∠B+∠BAC=45°，∴tan 45°= ==1,∴CD=2,
∴tan B= ==，解得BC=2－2.
16． 点拨：在该题中，并没有直接指明△ABC是直角三角形，所以需先判断其为直角三角形，然后才能利用解直角三角形的知识解题.
17．32.3
18． 点拨：由题易证△AED∽△ABC，在△ABC中，BC=6,sin A=，可求得AB=10，AC=8.利用相似三角形的性质可求得DE的长.
三、19．解：（1）原式=2+2+1－2××=2+2+1－3=2.
（2）原式=++××1=++=+.
20．解：过P作PC⊥AB于C，如答图2，在Rt△APC中，AP=200 m，∠ACP=，∠PAC=60°.∴PC=200×sin60°=200×=100（m）.∵在Rt△PBC中，sin=,∴PB=≈≈288（m）.
答：这时小亮与妈妈相距约288 m.
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答图2
21．解：在Rt△BCD中，∠BCD=45°，CD=2，cos∠BCD=,∴BC=
==2.在Rt△ABC中，∠BAC=60°，sin∠BAC=,∴AC= ===.∴AC的长为.
点拨：△ABC和△BCD都是有特殊锐角的直角三角形，所以利用特殊角的三角函数值便可求得AC的长.
22．解：（1）在Rt△ABC中，AB=4 m，∠BCA=30°，由tan∠BCA=,得AC= ===4（m）.
∴AC的距离为4 m.
（2）设AE=x m，在Rt△AED中，由tan50°=，得AD=≈（m），
∵CD=AD－AC=5，∴－4≈5,解得x≈14，
∴塔高AE约为14m.
23．解：由题意知：∠BAC=53°－23°=30°，∠C=23°+22°=45°.过点B作BD⊥AC，垂足为D,则CD=BD.∵BC=10 n mile，∴CD=BD=BC·cos45°=10×=5 (n mile)，∴AD= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ≈5×1.4×1.7=11.9(n mile).∴AC=AD+CD≈11.9+≈11.9+7.0=18.9≈19（n mile）.
答：此时小船与码头之间的距离约为19 n mile.
24．解：（1）在Rt△AGB中,∠ABG=45°,所以AG=BG.所以AB的坡度为AG∶BG=1∶1.（2）在Rt△DEC中,tanC= ,所以∠C=30°.又因为CD=10 m, 所以DE=CD·sin30°=5 m.（3）由（1）（2）知,AG=BG=DE=5 m,在Rt△AFG中,∠AFG=30°,tan∠AFG=,即.所以FB=－5≈3.66 （m）.
答：此改建需占路面的宽度FB约为3.66 m.
25．解：（1）;∠A+∠B+∠C=180°；a,∠A，∠C；
（2）根据题意，得∠ABC=180°－45°－70°=65°，∠A=180°－（30°+45°+65°）=40°，BC=0.5×28.4=14.2（n mile）.因为，所以AB≈≈21.3（n mile），所以此时货轮到灯塔A的距离AB约为21.3 n mile.