湖北省鄂东南三校联考2022-2023学年高二下学期阶段考试(二)（期中考试）数学试题（含解析）

鄂东南三校联考2022-2023学年高二下学期阶段考试(二)（期中考试）
数学试题
考生注意：
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德。已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有
A． 13种 B． 22种 C．30种 D．60种
2.若直线与直线平行，则实数m=
A． 2 B． -2 C． D．
3.已知数列{}满足，则=
A． B． C． 3 D．
4.某班举办古诗词大赛，其中一个环节要求默写《将进酒》山居秋暝》《望岳《送杜少府之任蜀州》，并要求《将进酒》与《望岳》默写次序相邻，则不同的默写次序有
A． 6种 B． 12种 C． 18种 D．24种
5.若曲线在点（1，a）处的切线与直线垂直，则实数a=
A． B． 1 C． D．2
6. 记椭圆C：的左顶点为A，右焦点为F，过点A且倾斜角为的直线l与椭圆C交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为
A． B． C． D．
7.已知等比数列{}的前n项和为，且，若，则=
A． 27 B． 45 C． 65 D． 73
8.已知函数f（x）的定义域为R，f'（x）为f（x）的导函数，且，则不等式的解集是
A．（-2，1） B．
C． D．（-1，2）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列运算错误的是
A． B．
C． D.
10.某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会，现有10名学生，其中5名男生5名女生，若从中选取4名学生参加研讨会，则
A．选取的4名学生都是女生的不同选法共有5种
B．选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有400种
C．选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有420种
D．选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种
11.已知抛物线C：的焦点为F，）为C上一点，且，直线AF交C于另一点B，记坐标原点为O，则
A． B．
C． B（，-1） D．
12.已知是数列{}的前n项和，，则
A． B．数列{}是等比数列
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知等差数列{}的前n项和为，若，则=___________。
14.若圆与圆外切，则m=___________。
15.在中国空间站某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有___________种。
16.设函数在区间[，3]上有零点，则实数m的取值范围是___________。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
已知的展开式中前三项的二项式系数和为37。
（1）求n；
（2）求展开式中的常数项。
18.（本小题满分12分）
已知等差数列{}的前n项和为，且
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设数列{}的前n项和为，求。
19.（本小题满分12分）
已知函数的两个极值点，满足
（1）求a的值；
（2）求f（x）在区间[-3，3]上的最值。
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱柱ABCD-中，底面ABCD是矩形，平面⊥平面ABCD，点E是AD的中点，
（1）求证：平面上平面ABCD；
（2）求直线与平面所成角的正弦值。
21.（本小题满分12分）
已知双曲线C:的离心率为，是C上一点。
（1）求C的方程；
（2）已知直线与C交于E，F两点，O为坐标原点，若，判断直线l是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由。
22.（本小题满分12分）
已知函数
（1）若函数f（x）在[1，4]上单调递增，求a的取值范围；
（2）若，求证：
参考答案、提示及评分细则
1.D 根据分步乘法计数原理，共有不同的选取方法。故选D。
2.B 两直线的斜率分别是，，由两直线平行可知，解得。故选B。
3.C .故选C。
4.B 首先将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起，共有种次序，再将捆绑的《将进酒》与《望岳》作为整体与其他2首全排列，共有种次序，所以不同的默写次序有种，故选B。
5.C 因为，所以曲线在点（1，a）处的切线的斜率为，直线l的斜率=2，由切线与直线l垂直知，所以，解得故选C。
6.A 由题意知A（-a，0），F（c，0），点B在x轴上方，又，所以B（c，），因为直线l的倾斜角为，所以，又，化简，得。故选A。
7.C 由等比数列的性质可得成等比数列，即，所以，解得或。又，解得。故选C。
8.D 根据题意，构造函数，则，所以函数g（x）在R上单调递增，又，即，所以，即，解得,故选D。
9. AC 对于选项A，；对于选项C，故选AC。
10.AD 选取的4名学生都是女生的不同选法共有种，故A正确；恰有2名女生的不同选法共有=100种，故B错误；至少有1名女生的不同选法共有种，故C错误；选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有种，故D正确。故选AD。
11. ACD 依题意，抛物线C的准线为，因为A（4，n）为C上一点，且，则，解得，故A正确；抛物线C:，焦点为F（1，0），因为A为C上一点，则4，所以，所以A（4，4），故B错误；直线AF的方程为，代入，得4x，整理得，解得或，因为B为C上一点且在x轴下方，所以，所以，所以B（，-1），故C正确，故D正确。故选ACD。
12. ABD 由，得，A正确；因为，所以，因为，所以，所以，故数列{}是首项为3，公比为2的等比数列，所以，B正确；当时，,，……，，以上各式累加可得，又，所以，又符合上式，所以2，，C错误；，D正确，故选ABD。
13.35 因为{}是等差数列，所以
14.-15 圆，的圆心分别为（0，0），（2，4），半径分别是，因为圆，外切，所以|，即，解得
15.450 方案一：每个舱各安排2人，共有不同的方案；方案二：分别安排3人，2人，1人，共有不同的方案。所以共有不同的安排方案。
16. [，] 令，得，所以函数在区间[，3]上有零点即与的图象有交点。令，所以当时，
g（x）单调递减；当时，单调递增。所以，又，所以g（x）的值域为[，]，所以实数m的取值范围是[，]。
17.解：（1）因为的展开式中前三项的二项式系数分别是，，，。。。。。2分
所以，即，解得或。。。。5分
（2）的展开式中通项为，。7分
当时，即时，为常数项，
所以展开式中的常数项为。。。。。。。10分
18.解：（1）设数列{}的公差为d，
由，得，解得
所以
（2），所以，。。。8分
故。。。。。12分
19.解：（1），由题意知且。。。。。。。。。2分
结合①与，解得。。。。。。。4分
代入②，得，解得。。。。。。。。5分
（2）由（1）得。。6分
由解得。。。。。。。7分
x （-3，-1） -1 （-1，2） 2 （2，3）
- 0 + 0 -
f（x） 极小值一16 极大值11
又
所以f（x）在区间[-3，3]上的最大值为36，最小值为-6.。
20.（1）证明：因为，点E是AD的中点，所以，。。。1分
又平面平面ABCD，平面平面，平面，所以⊥平面ABCD
又平面，所以平面平面ABCD
（2）解：取BC的中点F，连结EF，则四边形CDEF为正方形，所以，以E为坐标原点，EF，ED，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则B（1，-1，0），C（1，1，0），D（0，1，0），（0，0，），所以。。。。。。。。。。。。。8分
设平面的法向量，则 有即
令，则，所以平面的一个法向量，。。。。。10分
设直线与平面所成角为θ，则
直线与平面所成角正弦值为
21.解：（1）由双曲线C的离心率为，得，即，。。。。。。。2分
又是C上一点，所以，解得。。。。。。。4分
所以C的方程为。。。。。。。。。。。。。。5分
（2）设E（，），F（，），由得，所以，。。。。。。7分
，。。。。。。9分
化简，得，又，所以，。。。。。。11分
所以直线l的方程为，恒过定点（0，2）。。。。。。。。12分
22.（1）解：，因为函数f（x）在[1，4]上单调递增，
所以在[1，4]上恒成立。。
又在[1，4]上单调递增，所以
所以，解得，所以a的取值范围是（-∞，1]。。。。。5分
（2）证明：因为，所以要证，只需证，。。6分
令，则。。。。。。7分
当时，，函数g（x）单调递减；当时。，函数g（x）单调递增。
所以。。。。。。。9
令，则，。。。。。10分
当时单调递减，当时，单调递增。
所以时，h（a）取极小值，也是最小值，则，所以时，，因此，所以。。。。。。。。。。。。。。12