【备考2023】湖南省岳阳市中考数学模拟试卷1（含解析）

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【备考2023】湖南省岳阳市中考数学模拟试卷1
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）
1．下列说法正确的是（ ）
A．与+2是互为相反数 B．任何负数都小于它的相反数
C．3的相反数是 D．数轴上表示-a的点一定在原点的左边
2．通过严格实施低碳管理等措施，2022年北京冬奥会和冬残奥会全面实现了碳中和．根据测算，北京冬奥会三个赛区的场馆使用绿电4亿千瓦时，可以减少燃烧12.8万吨标准煤，减少排放二氧化碳32万吨，实现了“山林场馆、生态冬奥”的目标．其中的32万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
4．三角形一条边长，第二条边长，第三条边长，那么这个三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，有下列说法：其中结论正确的是（ ）
①若，则；
②能与构成内错角的角的个数有1个
③能与构成同位角的角的个数有2个；
④能与构成同旁内角的角的个数有4个
A．① B．①④ C．①②④ D．①③④
6．水果店内的5个苹果，其质量（单位：g）分别是：200，300，200，240，260关于这组数据，下列说法正确的是（　　）
A．平均数是240 B．中位数是200
C．众数是300 D．以上三个选项均不正确
7．下列说法：
①两点之间，直线最短；
②若AC＝BC，则点C是线段AB的中点；
③同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．规定：如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论：①方程x2＋2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2＋ax＋2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x＋n＝0是倍根方程．上述结论中正确的有（ ）
A．② B．①③ C．②③④ D．②④
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9．对于任何整数a，多项式(a＋2)2－a2都能被整数________整除．
10．使二次根式有意义的a可以是 ___________（只需填一个）．
11．如果实数x，y满足，则_____．
12．如图，在△ABC中，∠CAD=∠CDA，∠CAB ∠ABC=30°，则∠BAD=________．
13．已知代数式的值是4，则代数式的值是______．
14．我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文是“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？大致意思是：“现有几个人共同购买一个物品，每人出元，则多元；每人出元，则差元．问人数、物品的价格各是多少？”如果设共有人，物品的价格为元，那么根据题意可列出方程组为_____．
15．二次函数的图像如图所示，对称轴为直线若是一元二次方程的两个根，且，，则的取值范围是 ________．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm，DE=3cm，则BC的长是 ______cm．
三、解答题（本大题共8小题，满分64分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：
（2）化简：
18．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE．求证：四边形ABDE是平行四边形．
19．已知关于x的元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0．
（1）求证：无论m取任何的实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且：x12＋x22﹣2x1x2＝13，求m的值．
20．某校组织学生参加“防疫卫生知识竞赛”（满分为100分）．竞赛结束后，随机抽取甲、乙两班各40名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
信息1：甲、乙两班40名学生数学成绩的频数分布统计表
成绩班级 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100
甲 4 11 13 10 2
乙 6 5 15 12 2
（说明：80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格）
信息2：在70≤x＜80这一组的甲班学生数学成绩是：
70 70 70 71 74 75 75 75 76 76 76 76 78
信息3：甲、乙两班成绩的平均分、中位数、众数统计表
班级 平均分 中位数 众数
甲 74.2 n 85
乙 73.5 73 84
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中n的值等于 ；
(2)在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属班级排在前20名，由表中数据可知该学生是 班的学生（填“甲”或“乙”），请给出确定该学生所在班级的理由；
(3)若该校1200名学生都参加此次竞赛，请估计成绩优秀的学生人数．
21．某服装店购进甲、乙两种款型的服装，甲款服装总进价7800元、乙款服装总进价6400元，甲款服装的件数是乙款服装的1.5倍，甲款服装比乙款服装每件的进价少30元．
(1)甲、乙两种款型的服装各购进了多少件？
(2)销售时两种服装都按进价提高了60%标价，销售一段时间后，甲款服装全部售完，乙款服装剩余一半，商店决定对剩余的乙款服装按标价打五折出售，很快全部售完．求售完全部服装后商店的获利是多少元？
22．如图，渔船跟踪鱼群由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东53°方向，再航行后达到B处（），测得小岛C位于它的北偏东45°方向．小岛C的周围内有暗礁，如果渔船不改变航向继续向东航行，请你通过计算说明渔船有无触礁的危险？
（参考数据：，，）
23．【问题提出】
学行四边形的判定方法（即“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”、“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”、“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）后，我们继续对“一组对边相等和一组对角相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在四边形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C．然后，对∠A和∠C进行分类，可分为“∠A和∠C是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：如图①，当∠A＝∠C＝90°时，求证：四边形ABCD是矩形．
第二种情况：如图②，当∠A＝∠C＞90°时，求证：四边形ABCD是平行四边形．
第三种情况：如图③，当∠A＝∠C＜90°时，小明同学研究后认为四边形ABCD不一定是平行四边形，请在图中画出大致图形，并写出必要的文字说明．
24．如图1，在平面直角坐标系中，已知C点坐标为（0，-3），且OA＝OC＝3OB，抛物线图象经过A，B，C三点，D点是该抛物线的顶点．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)判断△ADC的形状，并求△ADC的面积；
(3)如图2，点P是该抛物线位于第三象限的部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于点E，PE的值是否存在最大值？如果存在，请求出PE的最大值；如果不存在，请说明理由．
参考答案：
1．【分析】根据相反数的定义以及数轴求解即可.
解：A. 与+2是互为倒数，故错误；
B. 负数的相反数是正数，负数＜正数，故任何负数都小于它的相反数，说法正确；
C. 3的相反数是-，故错误；
D. 数轴上表示-a的点有可能在原点的左边或原点或右边上，故错误.
故选B.
【点评】主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
解：32万=320000=3.2×105．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】根据从上面看到的图形即为俯视图进一步分析判断即可.
解：从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，
故选：B．
【点评】本题主要考查了三视图的判断，熟练掌握相关方法是解题关键.
4．【分析】三角形的周长等于三边长的和．
解：∵
=
=
故选：D．
【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是根据三角形的周长等于三边之和列出式子．
5．【分析】根据平行线的性质、同位角、内错角、同旁内角的定义解答即可．
解：①若DE∥AB，则∠DEF+∠EFB=180°，故①正确；
②能与∠EDC构成内错角的角的个数有2个，只有∠DEF和∠DEA，故②错误；
③能与∠DEC构成同位角的角的个数有1个，只有∠A，故③错误；
④能与∠B构成同旁内角的角的个数有4个,分别为∠BDE、∠BFE、∠A、∠C，故④正确．
故选B．
【点评】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角及平行线的性质，正确理解同位角、内错角、同旁内角的定义是解答本题的关键．
6．【分析】根据平均数、中位数和众数的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
解：A、平均数是：×（200+300+200+240+260）＝240（g），故本选项正确，符合题意；
B、把这些数从小到大排列为：200，200，240，260，300，中位数是240g，故本选项错误，不符合题意；
C、众数是200g，故本选项错误，不符合题意；
D、以上三个选项A选项正确，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查了平均数、中位数和众数．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
7．【分析】根据线段的性质，平行公理及推理，垂线的性质等知识点分析判断．
解：①两点之间，线段最短，故错误；
②若AC=BC，且A，B，C三点共线时，则点C是线段AB的中点，故错误；
③同一平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确；
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误．
正确的共1个
故选：A．
【点评】本题考查了平行公理及推论，线段的性质，两点间的距离以及垂线，熟记基础只记题目，掌握相关概念即可解题．
8．【分析】①先用十字相乘法解一元二次方程，然后再验证即可；②先根据两根之积等于2，分两种情况讨论均符合“倍根方程”的条件；③分两种情况讨论，结合倍根方程的条件可得m和n的关系；④根据反比例函数式，求出m和n的关系，再利用一元二次方程根与系数的关系列式整理即可确定两根之间的关系．
解：①x2＋2x﹣8＝（x＋4）（x－2）＝0，∴x1＝－4，x2＝2，x1＝－2x2，不是倍根方程，错误；
②由题意得：2x12＝2，∴x1＝±1，∴x1＝1，x2＝2，x1＝－1，x2＝－2，则a＝x1＋x2＝±3，正确；
③ ∵x1＝3，x2＝，当x1＝2x2时，3m＝2n，当x2＝2x1时，n＝6m，错误；
④由题意得：n＝，∴mx2－3x＋＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝， 整理得：2x12－5x1x2＋2x22＝0，∴（x1－2x2）（2x1－x2）＝0，∴x1＝2x2， 或x2＝2x1，正确；
综上，正确的是 ②④．
故答案为D．
【点评】本题考查了运用十字相乘法解一元二次方程、根与系数的关系、反比例函数的性质以及“倍根方程”的概念，理解“倍根方程”的概念是解答本题的关键．
9．【分析】利用平方差公式分解因式，然后整理即可．
所以多项式都能被整数4整除．
【点评】本题考查了对因式分解方法的掌握，解题关键是通过分解因式写成一个常数和代数式积的形式．
10．【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，根据题意填写即可．
解：∵二次根式有意义，
∴a﹣2≥0，即a≥2，
则a可以是3．
故答案为：3（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
11．【分析】根据二次根式有意义的条件可得，将代入得，从而可得的值．
解： 、都有意义
，
得
则
故答案为：2
【点评】此题考查二次根式有意义的条件，根据条件得到的值进而求得值是解题的关键．
12．【分析】根据三角形的外角性质得到∠CDA=∠BAD+∠ABC，由已知通过计算即可求解．
解：由三角形的外角性质得∠CDA=∠BAD+∠ABC，
∵∠CAD=∠CDA，∠CAB ∠ABC=30°，
∴∠CAD+∠BAD ∠ABC=30°，即∠BAD+∠ABC+∠BAD ∠ABC=30°，
∴∠BAD=15°，
故答案为：15．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
13．【分析】将的值整体代入即可.
解：∵的值是4，
∴．
故答案为．
【点评】本题考查代数式求值，采用整体代入法是关键.
14．【分析】根据题意由物品的价格不变为等量关系列二元一次方程组即可．
解：设共有x人，物品价格是y元，根据题意，可得；
故答案为：．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，主要是找出对应量的关系列方程组．本题属于利用不变量为等量关系列方程．
15．【分析】根据对称轴与两个根的关系式，用一个根表示另一个根，代入即可解得．
解：∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点评】此题考查了二次函数图像的性质，解题的关键是熟悉二次函数图像的对称性．
16．【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．
解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，作EF∥BC于F，
∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠DBC=∠D=60°，
∴△BDM为等边三角形，
∴△EFD为等边三角形，
∵BD=5，DE=3，
∴EM=2，
∵△BDM为等边三角形，
∴∠DMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠ENM=90°，
∴∠NEM=30°，
∴NM=1，
∴BN=4，
∴BC=2BN=8（cm），
故答案为8．
【点评】本题考查等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
17．【分析】（1）先算开方、绝对值、乘方和特殊三角函数值，再算加减法即可．
（2）根据完全平方公式和平方差公式进行化简即可．
解：（1）原式＝﹣﹣++3×，
＝﹣﹣++，
＝0；
（2）原式＝÷
＝
＝．
【点评】本题考查了计算与化简的问题，掌握实数混合运算法则、绝对值的性质、特殊三角函数值、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
18．【分析】根据平行四边形的性质和判定定理即可得到结论．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵DE＝CD，
∴AB＝DE．
∴四边形ABDE是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定定理是解题的关键．
19．【分析】（1）只要证明Δ＞0恒成立即可；
（2）由题意可得，x1＋x2＝m 2，x1x2＝ m，进行变形后代入即可求解．
（1）证明：∵x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0，
∴Δ＝[﹣（m﹣2）]2﹣4×1×（﹣m）＝m2＋4＞0，
∴无论m为任何的实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0，方程的两实根为x1、x2，
∴x1＋x2＝m﹣2，x1x2＝﹣m，
又x12＋x22﹣2x1x2＝13，
∴（x1＋x2）2﹣4x1x2＝13，
∴（m﹣2）2﹣4×（﹣m）＝13，
解得，m1＝3，m2＝﹣3，
即m的值是3或﹣3．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的存在条件的应用，熟练掌握基础知识是关键，属于基础试题．
20．【分析】（1）根据中位数的定义求解即可；
（2）根据这名学生的成绩为74分，分别与甲班样本数据的中位数74.5分，乙班样本数据的中位数73分比较可得；
（3）理由样本估计总体的思想求解 ．
解：（1）∵4+11=15，4+11+13=28，
∴甲班学生成绩的中位数在70≤x＜80组里，
∵这组数据的中位数是第20、21个数据的平均数，
∴中位数为，
故答案为：74.5；
（2）∵这名学生的成绩为74分，小于甲班样本数据的中位数74.5分，大于乙班样本数据的中位数73分，
∴这名学生是乙班的．
（3）(人)．
【点评】本题考查了频数分布表、中位数即样本估计总体，根据表格得出所需要的数据、掌握中位数的定义、样本估计总体的思想是解题的关键．
21．【分析】（1）设乙种款型的服装购进x件，则甲种款型的服装购进1.5x件，根据单价=总价÷数量结合甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论；
（2）根据单价=总价÷数量可求出购进甲、乙两种款型服装的单价，再根据利润=销售收入-成本，即可求出结论．
解：(1)设乙种款型的服装购进x件，则甲种款型的服装购进1.5x件，
根据题意： ，
解得：x=40，
经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x=60．
答：甲种款型的服装购进60件，乙种款型的服装购进40件．
(2)∵6400÷40=160（元），160-30=130（元），
∴（元）．
答：售完这批服装商店共获利5960元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键；（2）根据数量关系，列式计算．
22．【分析】过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，设CD=x，根据正切三角函数的定义，列出关于x的方程，即可得到结论.
解：过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，
设CD=x，
∵∠CBD=90°-45°=45°，∠ACD=53°，
∴BD=CD=x，AD=AB+BD=3+x，
∵tan∠ACD=，
∴，解得：x=9，
∵9>8，
∴渔船没有触礁的危险.
【点评】本题主要考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键.
23．【分析】（1）连接BD，证明Rt△ABD≌Rt△CDB，根据全等三角形的性质得到BC=AD，根据平行四边形的性质判定定理证明结论；
（2）别过点B、D作BE⊥AD交AD的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，证明△ABE≌△CDF，得到BE=DF，AE=CF，证明结论；
（3）以B为圆心，BD为半径作弧，交AD于D′，以B为圆心，BA为半径作弧交以D为圆心，AD′为半径的弧于A′，根据图形证明结论．
（1）证明：如图①，连接BD，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
∴BC=AD，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）证明如图②，分别过点B、D作BE⊥AD交AD的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，
则∠E=∠F=90°．
∵∠DAB=∠BCD，
∴180°-∠DAB=180°-∠BCD，即∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，AE=CF，
∵∠E=∠F=90°，BE=DF，
∴四边形EBFD是矩形，
∴ED=BF，
∴ED-AE=BF-CF．即AD=BC，
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（3）如图③，以B为圆心，BD为半径作弧，交AD于D′，以B为圆心，BA为半径作弧交以D为圆心，AD′为半径的弧于A′，
则△ABD′≌△A′BD，
∴∠A=∠A′，
而四边形A′BCD不是平行四边形．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质以及尺规作图，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
24．【分析】(1)根据C点坐标为(0，-3)，且OA=OC= 3OB，得出A， B点的坐标，用待定系数法求解析式即可；
(2)根据坐标求出三角形各边的长，利用勾股定理判断其为直角三角形，再用三角形面积公式求面积即可；
(3)求出直线AC的解析式，过点P作PH//y轴交AC于H，设出P点和H点坐标，用含x的代数式求出PE的值，根据二次函数性质求最值即可．
（1）
解：∵C点坐标为（0，-3），且OA＝OC＝3OB，
∴A（-3，0），B（1，0），将A，B两点坐标分别代入解析式得，
，解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）
解：由（1）知抛物线的解析式为，
∴D点的坐标为（-1，-4），
∴，
，，
∵，即，
∴三角形ACD是直角三角形，
∴；
（3）
PE的值存在最大值,理由如下：
设直线AC的解析式为，把A，C点的坐标分别代入，
得，解得，
∴直线AC的解析式为，
如图，过点P作y轴的平行线交AC于点H，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵，∴∠PHE＝∠OCA＝45°，
设点，则点，
∴，
∴，
∴PE有最大值为．
【点评】本题主要考查二次函数的综合，一次函数，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质，用待定系数法求函数解析式，利用二次函数性质求最值是解题的关键．
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