2005年杭州市中小学教师教学能力水平考核
高中数学试卷
应考教师须知
1． 本卷分三个部分，共9道题，满分100分，考试时间120分钟.
2． 答题前，请在密封区内填写市县名、校名、姓名、准考证号和所申报的职称.
3． 答题要做到书写端正，字迹清楚，行款整齐，卷面整洁.
4. 加 * 号的试题，申报高级职称者必做，申报中级职称者不做.
题 号 第一部分 第二部分 第三部分 总 分
得 分
第一部分（30分）
1．（本小题满分15分）
高中《数学教学大纲》在教学目的中提出：努力培养学生数学思维能力，… . 请叙述数学思维能力中包括哪些方面？并简单论述你在教学中是如何实现这一目的的. ( http: / / www. / )
2．（本小题满分15分）
教学中应注意的几个问题之一是：“转变教学观念，改进教学方法”. 请简要叙述《数学教学大纲》提出这个问题的原因，并结合教学简单地谈谈你的做法.
第二部分（30分）
3．（本小题满分15分）
同一个数学问题, 由于观察的角度不同, 对问题的分析, 理解的层次不同, 就可以导致转化目标与方法的不同. 但共同的目的都是为了做到化繁为简，化隐为显，化难为易，化未知为已知，化一般为特殊，化抽象为具体,…… .
请说明在利用化归思想解决思想问题时, 重点要注意的问题是什么 并举出两个你印象最为深刻的利用化归思想解题的例子.
4．（本小题满分15分）
请你针对《向量》第一课时的教学内容, 写出教学设计过程中的教学目标、重点难点、注意事项和教学流程.（不需整堂课的设计）
*5. (本题申报高级职称者必做, 申报中级职称者不做，本小题满分10分）
美国教育心理学家布鲁纳和奥苏伯尔，根据学习进行的方式，分别提出了“发现学习”和“接受学习”的观点.
请简单表述上面两种学习方式的含义，并简述你对上面两种教学方式的看法.
第三部分（40分）
6．（本小题满分10分）
已知函数( > 0 ).
(1) 若f (x )的最小正周期为 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 ，求的值；
(2) 若x[0, ]，求f ( x )的最大值和最小值.
7. （本小题满分10分）
如图: 在正四棱锥P– ABCD中, 底面对角线AC与BD交于O点, 过PC的中点M及BD作截面MBD.
(1) 求证: PA∥平面MBD;
(2) 在侧面PAB内作BN⊥PA，垂足为N，求证：ON PA;
(3) 若AB = a, 且相邻两个侧面所成的二面角为120, 求顶点P到平面MBD的距离.
8．（本小题满分10分）
集合A是由适合以下性质的函数f (x) 构成的：对于任意的x > 0, y > 0, 且x y, 都有f ( x ) + 2f ( y ) > 3f (),
（1）试判断？并说明理由；
（2）设试写出一个满足以上条件的函数f (x)的解析式；并证明你写出的函数
9．（本小题满分10分）
HYPERLINK "http://www./" 设点(，0)，和抛物线：y＝x2＋anx＋bn(n∈N*)，其中an＝–2 – 4n –，
由以下方法得到：x1＝1，点在抛物线：y＝x2＋anx＋bn上，点(，0)到的距离是到上点的最短距离．
(1) 求x2及C1的方程；
(2) 证明{}是等差数列．2004年杭州市中小学教师教学能力水平考核高中数学试卷
应考教师须知：
1． 本卷分三个部分，共9道题，满分100分，考试时间120分钟.
2． 答题前，请在密封区内填写市县名、校名、姓名、准考证号和所申报的职称.
3． 答题要做到书写端正，字迹清楚，行款整齐，卷面整洁.
4. 加 * 号的试题，申报高级职称者必做，申报中级职称者不做.
题 号 第一部分 第二部分 第三部分 总 分
得 分
第一部分（30分）
1．“数学是研究空间形式和数量关系的科学. 数学能够处理数据和信息，进行计算和推理，可提供自然现象、社会系统的数学模型. 随着社会的发展，数学的应用越来越广泛，它已经成为人们参加社会生活、从事生产劳动的需要. 它是学习和研究现代科学技术的基础；它在培养和提高思维能力方面发挥着特有的作用；它的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分”. 请简单谈谈你对《数学教学大纲》中这段话的理解，并联系自已的教学，就 “数学在培养和提高思维能力方面发挥着特有的作用”做简单论述. ( http: / / www. / )
请简单谈谈你对《数学教学大纲》中这段话的理解，并联系自已的教学，就 “数学在培养和提高思维能力方面发挥着特有的作用”做简单论述.
2．在教学中应注意的几个问题之一是：面向全体学生. 请简要叙述“面向全体学生”的含义，及提出这个问题的原因，并简单谈谈你在教学中的做法.
第二部分（30分）
3．先阅读教案:
课题：《直线与圆的位置关系复习》
教学目标：1 运用知识编制练习，借助交流整理知识；
2. 培养探索意识，训练归纳能力, 指导学习方法.
教学重点：创设情境促使各类学生都有收获，借助多向交流，相互借鉴共同提高.
教学难点：促成学生运用知识独立开发，促成学生围绕课题互相交流，归纳总结.
教学过程：
（一）复习提问：
1．直线与圆有几种位置关系？
2．各种位置关系从几何角度如何定义？
3．各种位置关系从代数角度如何解决？
（二）独立开发：
综上：直线与圆之间存在三种位置关系，各种位置关系都有几何与代数两种处理方法.
师：请同学们独立开发与这三种位置关系有关的数学题，越多越好，同时也能提出解决你所开发数学题的解题思路.
生：进行独立开发、编制，师：巡视、指导.
（三）小组交流
师：我看到了每位同学都有所得，有些还富有新意，当然有些还存在问题 . 下面请按四人小组进行交流，呈现自己开发的数学题，分出类型，交流解法，在各种类型中选择一题进行集体修订，形成小组品牌题. （小组要把问题抄在纸上，以便投影）
（四）班级交流
师：请各组派代表上台，展示（投影）自己组开发的数学题，说明类型，提出解决思路. 其它组听后，可提问、可帮助修订. （师留3分钟小结，剩下时间均用于交流）.
（五）小结归纳：
师：各组交流的问题可归纳为：
1．相离：1）过定点A斜率为k的直线与圆相离，求 k的取值范围；
2）求圆上动点M到定直线l距离的最大值及最小值；
3）求圆关于直线对称的圆的方程.
2．相切：1）求过定点A和圆相切的直线方程；
2）求切线AT的长；
3）利用求圆的切线的斜率求关于x, y的代数式的取值范围.
3．相交：1）求过定点A和圆相交的直线斜率k的取值范围；
2）求定直线被定圆截得的弦长；
3）过定点的直线被定圆截得的弦长为定值时，求直线的方程.
解决方法：基本是两种.
几何角度：利用点到直线距离公式；垂径定理等；代数角度：联立直线与圆的方程.
（六）布置作业：各小组成员分工，把本组的开发的题，每人整理一题，有题目、有多种解，抄在16K纸上，交课代表，明天出一期班刊，标题你们定. ( http: / / www. / )
各小组成员分工，把本组的开发的题，每人整理一题，有题目、有多种解，抄在16K纸上，交课代表，明天出一期班刊，标题你们定.
请你对这节课做简单点评；
在（五）师生小结中，教师把各组交流的问题归纳为：3种情况9种类型，请在相离、相切及相交中任选一种，为其中3种类型各配上一个符合要求的例题（共3道类型不同的例题），（标明所选情况的名称，不必求解）.
4．“数列”是高中数学重要的内容之一. 请你针对数列教学的第一课时（概念引入课），写出教学过程设计中的教学目标，重点难点和注意事项.（不需要整堂课的设计）.
*5. (本题申报高级职称者必做, 申报中级职称者不做)
有人认为数学是教会的，即数学是通过教师的教，从而转化为学生的数学；也有人认为数学是学会的，即数学是通过学生自己的学，才能转化为学生的数学. 对以上两种教学指导观你的看法怎么样？你在数学教学中遵循的是什么样的指导观？请作简单介绍.
第三部分（40分）
6． 在△ABC中, 若A =, 求证: < c – a <.
7. 已知函数f ( x ) = ( x – 1) 2, 数列{ a n }是公差为d的等差数列, { b n }是公比为q ( q R且q 1 )的等比数列, 若a1 = f ( d – 1 ), a3 = f ( d + 1 ), b 1 = f ( q + 1 ), b 3 = f ( q – 1 ).
(1) 求数列{ a n }和{ b n }的通项公式;
(2) 设数列{c n }的前n项和为S n , 且对一切自然数n, 均有 + + … + = a n + 1 , 求的值.
HYPERLINK "http://www./" 8．已知双曲线的中心在原点，右顶点为A(1, 0)，点P在双曲线的右支上，点M (m , 0 )到直线AP的距离为1，若直线AP的斜率为k，且| k |[，], 求实数m的取值范围.
9．设a , b R+, a + b = 1,
(1) 证明：ab + 4 += 4;
(2) 探索、猜想，将结果填在括号内；
a2b2 + ( );
a3b3 + ( );
(3) 由（1）（2）你能归纳出更一般的结论吗？请证明你得出的结论.2003年杭州市中小学教师教学能力水平考核高中数学试卷
应考教师须知：
1． 本卷分三个部分，共9道题，满分100分，考试时间120分钟.
2． 答题前，请在密封区内填写市县名、校名、姓名、准考证号和所申报的职称.
3． 答题要做到书写端正，字迹清楚，行款整齐，卷面整洁.
4. 加 * 号的试题，申报高级职称者必做，申报中级职称者不做.
题 号 第一部分 第二部分 第三部分 总 分
得 分
第一部分（30分）
1．高中《数学教学大纲》提出：在数学教学过程中，要注重培养学生多方面的能力. 请叙述高中数学教学目的中有关能力方面的培养目标，并就重视创新意识和实践能力的培养,对照大纲要求，联系自己的教学实际，谈谈自己的观点. ( http: / / www. / )
2．教学评价是教学的重要组织部分. 请简要叙述你对“教学评价”的认识，并简单谈谈你在教学评价方面的想法或操作实践.
第二部分（30分）
3． 在数学教学中，在解决数学问题时，甚至在日常生活里，我们都会有意或无意地与“演绎”、“归纳”及“类比”打交道，请简述这三种推理的特点，并举出运用各个推理导出或解决的高中数学知识或问题，（各举2个，若举的是题目，则不必求解）
4．“抛物线”是一类圆锥曲线，也是高中数学教学重要的基础知识之一. 请你针对这一教学内容进行教学过程设计（主要包括教材分析，教学目标，教学方法，并有教学过程的框架或结构，不需要写出教学过程的具体内容）.
*5. (该题申报高级职称者必做, 申报中级职称者不做)
一些数学教师认为：课堂教学的时间是一个定值，创设条件使学生参与会使教学容量减少，完不成教学任务；而容量大的知识讲授会使学生参与机会减少，学习被动，思维能力、创新意识等不能得到充分发展. 对这个问题你怎么看？你在教学中的对策如何（即如何处理这一矛盾的）？
第三部分（40分）
6．在正四边形一边上连接等腰直角三角形，在等腰直角三角形的直角边上连接正四边形 …，（如图所示），无限反复这一过程．设正四边形由大至小依次为Ｓ1，Ｓ2，Ｓ3 ，… ，Sn ,… ，等腰直角三角形由大至小依次为Ｔ1，Ｔ2，Ｔ3，… ，Tn ,… ，现已知正四边形Ｓ1的边长为4.
(1) 求正四边形Sn的周长ln ;
(2) 求等腰直角三角形Tn的面积mn;
(2) 求所有这些正四边形和正三角形的面积之和W .
7. 设a < 1, 解关于x 的不等式
8．某农产品去年各季度的市场价格如下表：
季 度 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
每吨售价（单位：元） 195.5 200.5 204.5 199.5
今年某公司计划按去年各季度市场价格的“平衡价m”（平衡价m是这样的一个量：与上年各季度售价差比较，m与各季度售价差的平方和最小）收购该种农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万吨，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.
（Ⅰ）根据题中条件确定m的值(元/吨）; （Ⅱ）写出税收y（万元）与x的函数关系式； （Ⅲ） 若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围. ( http: / / www. / )
（Ⅱ）写出税收y（万元）与x的函数关系式；
（Ⅲ） 若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.
HYPERLINK "http://www./" EMBED PBrush
9．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.
（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离.2002年杭州市中小学教师教学能力水平考核
高中数学试卷
应考教师须知：
1． 本卷分三个部分，共9道题，满分100分，考试时间120分钟。
2． 答题前，请在密封区内填写市县名、校名、姓名、准考证号和所申报的职称。
3． 答题要做到书写端正，字迹清楚，行款整齐，卷面整洁。
题 号 第一部分 第二部分 第三部分 总 分
得 分
第一部分（30分）
1．2002版全日制普通高级中学《数学教学大纲》对“教学目的”部分作了较大修改，简明扼要地分四个方面提出了普通高级中学数学教学的目的，请选择其中一个方面，写出其内容，并就你选择的内容简单谈谈你的认识. （10分） ( http: / / www. / )
2．研究性课题是教育部制订的全日制普通高级中学《数学教学大纲》新增的亮点之一，为高中数学教学增添了一种新的教学形式，其意义深远. 请你分条写出研究性学习的教学目标，并简述高中数学教学引入研究性学习课题的意义.（10分）
3．当前，我市高中数学存在这样的背景: 原部编教材仍在高三使用，2000版《数学教学大纲》为依据的《高中数学》教材使用进入第二年，对2000版修订后推出的2002年正式版《数学教学大纲》开始实施，另外教育部制定的《高中数学课程标准》又即将出台. 这一背景表明了什么？你是如何面对的？请概括地谈谈你的看法与做法.（要求：既有观点、做法，又有说理、论述，不必超出400字）（10分）
第二部分（30分）
4．“数形结合”既是一种重要的数学思想，又是一种数学解题方法，请简述“数形结合”的概念，并设计一组可以让学生体验“数形结合”思想方法的高中数学题. （要求：先写出你是如何告诉学生什么是“数形结合”的，再写出4个高中数学题，不必解出这些题）（15分）
5．“对数函数”是一类重要的基本初等函数，也是高中数学教学内容之一. 请你针对这一教学内容进行教学过程设计（主要包括教材分析，教学目标，教学方法，并有教学过程的框架或结构，不需要写出教学过程的具体内容）.（15分）
第三部分（40分）
6．试解下列问题，要求写出解答过程（10分）
(1) 在连续11次射击中，恰好命中6次的情形有多少种？
(2) 从一楼到二楼的楼梯共17级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求11步走完楼梯，则有多少种不同的走法？
7．如图, 三棱锥A–BCD中, AB⊥BC, AB⊥BD, BC⊥CD, 且AB = BC =1.
HYPERLINK "http://www./" EMBED PBrush
题7图
(1) 求证: 平面CBD⊥平面ABD;
(2) 是否存在这样的三棱锥, 使二面角C–AD–B的平面角为30 如果存在, 求出线段CD的长; 如果不存在, 请找出一个角, 使得存在这样的三棱锥, 它的二面角C–AD–B的平面角为. （10分）
8．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元。 （10分）①该船捕捞几年后，开始盈利(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)？②该船捕捞若干年后，处理方案有两种第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出。第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元价格卖出，问哪一种方案较为合算？说明理由. ( http: / / www. / )
①该船捕捞几年后，开始盈利(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)？
②该船捕捞若干年后，处理方案有两种
第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出。
第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元价格卖出，问哪一种方案较为合算？说明理由.
9．已知点P到两个定点M（–1，0），N（1，0）的距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程. （2002年全国数学高考卷文科题） （10分）
高数试 第 1 页（共 6 页）
