课题 第六章 三角比 §6.3 任意角的三角比 课时：1
设计背景：
从锐角三角比引入任意角的三角比，指出两者之间的联系与区别。后者是前者的推广与延伸，既有相同之处，又有一定的区别。
教学实施：
一、教学目标
知识与技能 掌握任意角三角比的计算公式。
教学重点 任意角的六个三角比的定义。
教学难点 三角比的符号与角的终边所在位置的关系。
过程能力与方法 从特殊到一般，从已知到未知的知识建构。
态度与情感
二、实施过程
1、新课引入：
一．锐角三角比：弧度制实现了角的实数化，任意角实现了角到任意实数。今天我们要学任意角的三角比，这与什么知识有联系？锐角的三角比。
提问：如果把这条边擦去，延长斜边，然后换一个点，比值有没有变化？相似的思想。
因此锐角的三角比可以通过终边上的点的坐标来表示。类似地我们可以得到任意角三角比的定义。
二．任意角三角比： 我们知道任意角 终边 终边上的一点。
可得
引导学生得出以下结论：
(1)、三角比可能为负值（为三角函数打下基础，函数值可能为负值）
(2)、取值范围（三角函数自变量的定义域）提问：是不是任意角都有三角比？三角比都有意义？看什么？看它的分母！
(3)、角的三角比与点在终边的位置 关。
(4)、（任意两个量做比值）
在终边上任取另一点，，利用相似比得到。注意：相似比指的是长度比，如何从右边推出左边的三角比相等？左边的三角比是坐标比。长度比恒为正的，而坐标比可能为负值。长度比化成坐标比，就要去绝对值。现在长度比相同，又同号，同为负号，坐标比相同。
2、例题讲解：
例1：已知角终边上一点，求角的六个三角比。
解：
改题：1、坐标改成，结果是否一样？
2、若角终边在？在射线上找一点，简便起见就找
3、坐标改成，又该怎么做？
终边落在直线上了，与射线不同，要进行讨论。谁引起了讨论？做来做去，哪几个三角比不变？正切，余切，因为与无关，就是这个角的正切。
思维联系：就是直线倾斜角的正切。
物理：，就是这条射线的倾斜角的正切。当倾斜角为钝角时，正切是负数，做匀减速运动。
课后作业：练习册14：11
补：1.已知点在角的终边上，求角的六个三角比。 2.已知是第四象限角，其终边上一点为，且，求角的其余三角比。
我们知道研究任意角是在坐标系中的，根据角的终边所在位置不同，分为象限角，终边落在坐标轴上的角。那我们现将这个锐角放到坐标系中去。
再次告诉我们锐角是第一象限角，因为是坐标中的一点，就有坐标，三边的长度就可用坐标来表示。
在这个三角形中，用它的三边去表示
如图所示，在终边上任取一点
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7课题 第六章 三角比 §6.3 任意角的三角比 课时：4
设计背景：
第一，第二组诱导公式的讲解。抓住终边相同的角的同一三角比相同，以及终边关于轴对称然后取点引出两组诱导公式。
教学实施：
一、教学目标
知识与技能 两组诱导公式
教学重点 公式的由来，以及公式的作用。
教学难点 公式的选用。
过程能力与方法 启发式教学。
态度与情感
二、 实施过程
1、复习：
回忆一下，初中求锐角三角比的数值是怎么求的？查表，还有某些特殊角的三角比，是要求你们记忆的。那现在把角的概念推广之后，怎么来求一个任意角的三角比 显然再让你构造一个数值表是不现实的。那该怎么办呢？为了解决任意角的三角比问题，就要靠我们今天学的诱导公式。
2、新课引入：任意角的三角比——（或）的三角比。
一、第一组诱导公式：
1、引入：我们已经知道了如何求终边落在坐标轴上的角的三角比，是利用终边上的点的坐标。并且也会根据终边所在象限判断其三角比的符号。那现在让你求某些特殊角的三角比值呢？看个例子 （先判断终边所在位置，与角终边位置相同，既然终边位置相同，由于我们是利用终边上的点的坐标来定义三角比，与终边上的点的选取无关，因此这两个角的同名三角比相同。由此可得出结论：终边相同的角的同名三角比相同）
因此就有如下一组诱导公式：
表示方式上后两个用的是角度制，不管弧度制还是角度制都是成立的，本质都是终边相同的角的同名三角比相同。
那求任意角的三角比，不管这个角的终边落在哪里？我们都可以先在（或）找一个与之终边相同的角，转而将问题变成求终边落在（或）范围内的角的三角比。
2、例题：
二、第二组诱导公式：
1、引入：观察一下上面的四个例题，最终都是转化到求锐角的三角比，范围是。这只是巧合。但不只是这个，怎么办？就看这个例子
（或）
大家思考一下这个问题，为什么要用锐角表示这几个范围的角？
如果与锐角的三角比有关系，那么任意角的三角比最终都能化成为与锐角三角比有关的问题而加以解决。这是下节课我们要解决的问题。在讲这个问题之前我们先来看与的三角比关系。
1．与的三角比关系：终边关于轴对称
的三角比怎么求？利用终边上的点去定义。那就先要找到终边的位置，我们知道与的终边永远关于轴对称。所以可以先找到角的终边位置。是不是一定要在第一象限，我认为画在任何位置都可以。
如果在的终边上取一点，那么点关于轴的对称点必在的终边上。大家能说出这两点坐标及其到原点距离的关系吗？ 因此可以利用坐标关系得出如下公式：
1、 为什么要介绍这些公式？回忆一下与我们
以前学的哪一个函数思想相类似？
奇偶性
为今后学习三角函数的奇偶性打下基础。
二、公式适用的范围：一切使三角比有意义的角。（对角有什么要求）
注意公式的选用，要选用最方便快捷的方法，这就要
求多做题目，加强熟练度。
记忆方法：既然公式对一切使三角比有意义的角都成立，那么可以把看作是锐角。
例：，是锐角，为正值。是第四象限角，为负值。
与三角比符号是否吻合？
与有什么关系？因此可用来表示。这就给我们个启发，如何用锐角来表示的角？
加的整数倍以后，在内得到的角的终边与原角相同，因此同名三角比相同课题 第六章 三角比 §6.3 任意角的三角比 课时：3
设计背景：
上节课是根据角的终边的不同位置，判断三角比的符号。那反过来，已知三角比的正负，判断角的终边所在位置。
教学实施：
一、教学目标
知识与技能 会求含有字母的三角比；会根据三角比的正负，判断三角形的形状；会根据三角比的正负，判断角的终边所在位置。
教学重点 会根据三角比的正负，判断角的终边所在位置。。
教学难点 会根据三角比的正负，判断三角形的形状。
过程能力与方法 互动式教学。
态度与情感
1、 实施过程
1、复习：
上节课我们先是学习了当角的终边在坐标轴上，其三角比的值，接着是当角的终边在象限的时候，判断其三角比的符号。前者根据终边上的点来解决，后者根据坐标符号来判断。那告诉你了终边所在位置，你会判断三角比的符号。反过来呢？告诉你三角比的符号，你能判断终边所在位置吗？
2、新课引入：
1、 1：已知角经过点，，求角的其余三角比。
解：
提问：想一下今天为什么会出现两组解？余弦是正的，横坐标是正的，是正的，所以可能是第一、四象限角。
2：（下面这些条件能否刻画出它一定是锐角，直角或钝角三角形）
（1）角一定是锐角？
那？只能是第一象限角，所以是锐角。
甚至还可以知道当，一定是钝角。当，一定是直角。
（2）一定是锐角三角形（三个数的乘积大于0，有两种可能三正或一正两负）一定是钝角三角形。（能否判断哪一个角是钝角？）
一定是直角三角形。（能否判断哪一个角是直角？）
这道题告诉我们1：任意角的三角比在三角形中如何判断，2：如何根据它的三角比的符号判断它的形状。
注意：只要有正切和余切同时出现的情况，角的终边不能落在坐标轴上。
2、 例：（1）且（书43例5）（请同学们看黑板，大家看这个工作怎么去做？思考一下）让学生回答，引起错误。
时，一定在三，四象限？这就是我们要注意的问题。
解：单纯从，的终边在第三，四象限及轴负半轴上。
，的终边在第一，三象限。是第三象限角。
看一下书上的写法。它用的终边在轴的下方来表示也是同样的含义。这种做法的缺点是往往会忽视坐标轴。
法2：在的终边上取点，
，即是第三象限角。
（2）
解：两种可能Ⅳ 或Ⅲ 是第三或第四象限角。
法2：在的终边上取点，
注：错，轴下方，包括轴负半轴，
因此应该是且 练书43：2
例：在什么范围时，下列式子有意义？
解：
分析：1：如果角度没有变成弧度，没有变成实数，那么接下去的工作就无法进行，
再次说明了弧度制引入的必要性。
2：上面的区间怎么去认识？可取一切整数，说明上面的式子是无数个区间的并集。回想一下以前求交集的方法，把谁请出来？借用数轴。
3：上面一个由很多个区间组成，而只是一个区间，因此有公共部分的是不是有限个？对赋值。首先取。。。。。。
课后作业：1：练习册14：14/2。
2：根据下列条件，确定是第几象限的角。
（1）且（2）（3）
3：当取何值时，下列式子有意义？
（1）（2）
Ⅰ，Ⅳ或正
Ⅱ，Ⅳ
Ⅰ，Ⅲ
Ⅱ，Ⅲ或负课题 第六章 三角比 §6.3 任意角的三角比 课时：5
设计背景：
上节课讲了前两组诱导公式，可以在前面的基础上进一步引入后三组诱导公式。
教学实施：
一、教学目标
知识与技能 后三组诱导公式的讲解。
教学重点 公式的由来，以及公式的作用。
教学难点 公式的选用。
过程能力与方法 互动式教学。
态度与情感
1、 实施过程
1、复习：
（1）上节课我们讲了两组诱导公式，我们知道终边相同的角其同名三角比相等，刻画了这样一个现象，形如，由于它与角的终边相同，那么这两个角的同名三角比相同。（2）借助终边位置的关系，坐标关于轴对称得到了与的三角比的关系。（3）我们还知道了公式适用的范围是一切使三角比有意义的角。例：无意义
2、新课引入：
3．与的三角比关系：（请学生回答，怎么去研究？）
终边关于原点对称，可以在这两个角的终边上找到关于原点对称的两个点。
三角比的定义借助终边上的点的坐标去定义，当终边有特定的关系，两终边上的点也必须满足特定的关系，从而得到这些公式。
例：求的三角比。
4．与的三角比关系：
（1）（借助于角的终边上的点的坐标来研究）与的终边关于轴对称，横坐标相反，纵坐标相同。 (把角看作锐角)
（2） 把看作一个整体。
分析：前面公式写出来以后，后面的公式的推导有两种方法：一、重温前面的过程；二、利用前面的结果。
书48：
5．与的三角比关系：（你打算用什么方法解决？它与三角比有没有关系？）
（1）与终边关于轴对称
（2） 1，2
（3） 3，4
这里仍然是，关键在于这里填什么？把看作什么角？
殊途同归，一种是用过去的过程，一种是借助于过去的结果。
不改变终边的位置。
问题：到底选用哪一个诱导公式最方便？但无论怎么做，最终都能得到最后的结果。
最简单的方法，知道与哪个特殊角有关，看正负号怎么写，与象限是否吻合？
五组诱导公式用一个式子来表示：
当是锐角时，它对应的象限的三角比的符号就是这个。
说明这类诱导公式：正弦，余弦，正切，其诱导公式结果仍然是正弦，余弦，正切。
口诀：三角比名称不变，符号看象限。
1．
2．与终边关于轴对称
特点：站在前面的结果上得到的
借助于前面学过的，已有的公式来推导它课题 第六章 三角比 §6.3 任意角的三角比 课时：6
设计背景：
五组诱导公式全都上完了，此节内容作为习题课，讲解些例题。
教学实施：
一、教学目标
知识与技能 五组诱导公式的应用。
教学重点 公式的应用。
教学难点 公式的应用。
过程能力与方法 互动式教学。
态度与情感
1、 实施过程
1、复习：
诱导公式的学习体现了一种化归思想。或的三角比
公式特点：（1）任意角的三角比（跟什么有关？）终边的对称，坐标的特征来反应它们之间的关系。
（2）终边
（3）三角比名称不变，符号看象限 （把看作锐角）
2、例题选讲：
例1：化简及求其三角比：
(1)(2)
(3) (4)
两种方法：1.负角化成正角，观察一下这个角在第几象限？ 2.的整数倍。
例2：
诱导公式的逆用。
例3：最后怎么写？？
这两个式子能不能化简？
此题告诉我们当是偶数，奇数涉及到正负号时，如何一起表示。
例4：已知，求（1）
（2）这两个角相加等于
（3）两角之差等于
（4）两角之差等于
抓住这两个角之间有什么关系？ 最重要的什么？公式里只是，可这不只代表一个角，而是一切形式都可以，前后保持一致。
做三角比抓住两个东西：三角比名称，角。例如：
化简：
例5：已知终边上一点，，则点坐标
，则点坐标
改题：已知角终边上一点，与关系如何？
作业问题：1.
2.“”是“”成立的充分非必要条件。
3.
4.
5.
轴对称
原点对称
终边重合
轴对称课题 第六章 三角比 §6.3 任意角的三角比 课时：2
设计背景：
根据角的终边的不同位置，分为象限角和终边落在坐标轴上的角，因此判断象限角的三角比的符号以及计算四个坐标半轴上的角的三角比值。
教学实施：
一、教学目标
知识与技能 会求坐标轴上的角的三角比，会判断象限角的三角比的符号。
教学重点 坐标轴上的角的三角比，某些特殊角的三角比。
教学难点 三角比的符号与角的终边所在位置的关系。
过程能力与方法 从特殊到一般，从已知到未知的知识建构，启发式教学。
态度与情感
1、 实施过程
1、复习：
上节课我们先是复习了锐角三角比的定义。然后在直角坐标系中，借助于角的终边上的点的坐标来定义任意角的三角比，它不同于借助三角形的对边，邻边和斜边来表示三角比。提问：三角比的大小仅与角的终边位置有关，那与终边上的点的选取有关吗？我们还学习了两个新的三角比，做为正弦，余弦的倒数。
2、新课引入：
一、任意角的三角比：
1、 终边在坐标轴上
例1：求的六个三角比。（大家思考一下，你觉得先要做什么事情？）
分析：第一步：确定角终边的位置。为什么？为了第二步：在终边上取确定的一点。
这两个三角比的特征就是的终边不能落在轴上。
会求这个以后，那的三角比是不是都能求得？用什么方法？只需找到终边位置，在终边上取点即可。
练：书42：2。（得出结论终边相同的角的三角比相同。）
2、 象限角（某些特殊角是否能求出它的三角比，若求不出能否判断它的正负）
例2：求的六个三角比。
解：
再次说明三角比有正有负。观察这几个三角比，与哪个角有关？ 看一下它的反向延长线。
提问：
例3：（判断它的正负，很简单，计算器一按就知道了）
分析：是第四象限的角，终边上的点的纵坐标为负，横坐标为正，因此比值为负值。
练：书42：3。
得出结论：全正（在第一象限时，所有的坐标都是正的）
正（在第二象限时，只有纵坐标是正的）
正（在第三象限时，坐标，都是负的）
正（在第四象限时，只有横坐标是正的）
提问：第二象限，除了正弦以外，还有哪一个三角比是正的？余割。两者互为倒数，符号不变。
根据三角比的定义知道，三角比的正负只与点的坐标有关。当你想要确定一个角的三角比的正负，只需判断这个角的终边所在象限。书上43例4
那终边在坐标轴上的角呢？
有了这个图，我们既知道终边在各个象限的角的三角比的符号，又知道了终边在坐标轴上的角的三角比值。
书上42例3。
，在轴负半轴上，无意义。
能否按照相类似的道理找到与有关的角？，。
提问：中，，角是不是一定是？还有一个。类似的特殊角还有
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