函数的奇偶性[下学期]
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文档简介
函数的奇偶性教案
教学目标
1．从形与数两个方面进行引导，使学生理解函数奇偶性的慨念．
2．通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力；培养学生从特殊到一般的概括能力；渗透数形结合的数学思想方法．
3.能利用函数的奇偶性简化函数图像的绘制过程
教学重难点
函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定．
教学过程
一、引入新课
师：同学们，前面我们已经学过了函数的一种性质——单调性，现在我们来学习函数的另外一种重要性质。
首先，我们知道，“对称”是大自然的一种美，在我们的生活中,有许多对称美:美丽的蝴蝶、盛开的花朵、建筑物等。这种“对称美”在数学中也有大量的反映．这节课，我们就一起来发现数学中的“对称美”！
1、观察下列函数的图象，思考并讨论以下的问题：
（1） 这两个函数的图像有什么共同的特征？
（2） 从图像上发现在，它们在数值上有什么规律？在图像上是如何体现的（动手操作）？
（3） 从图像上看函数的定义域的有什么有特点？
生：函数是定义域为全体实数的抛物线；函数是定义域为全体实数的折线，函数图象共同特征是关于y轴对称；函数的定义域是关于原点对称的。
我们在函数位于y轴右侧的图象上任取一点，通过沿y轴对折找到其关于y轴的对称点，可以发现：．也就是说，当在定义域中任取两个互为相反数的自变量时，对应的函数值相等，．
二、新课讲授
（一）奇偶性的定义
1、师：具备此种特征的函数还有很多，我们能不能用数学语言对这类函数的特征描绘出来？
（板书）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有，那么函数就叫做偶函数．其图像是关于y轴对称的。
2、观察下列函数的图像，你能发现这几个函数有什么共同特征？它们在数值上又有什么规律？（让学生对比偶函数的学习过程进行探究）
（板书）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有，那么函数就叫做奇函数．其图像是关于原点对称的
问题1：你能用自己的话说说奇函数与偶函数的相同和不同之处？定义的实质是什么呢？
偶函数：当自变量任取两个互为相反数的值时，对应的函数值恰好相等．
奇函数：当自变量任取定义域内两个互为相反数的值时，对应的函数值也互为相反数．
3、奇偶性：当函数是奇函数或偶函数时，就称这个函数具有奇偶性。
师：具有奇偶性的函数的图像有对称性，那么函数的奇偶性对我们作图有什么帮助呢？
（二）例题
例题1：（1）在图中只给出了函数、的图像的一半，请你画出它们的另外一半图像。
（2）作出函数的图象
例题2：判断下列函数的奇偶性
（1） (2)
（3） (4)
(5) (6)
分析：可以作出函数的图像，然后判断；也可以根据、而判断。
师：下面我们来分析一下这两个定义．定义中“任意一个x∈D，都有、成立”说明了什么？
这说明与都有意义，即同时属于定义域，因此偶（奇）函数的定义域是关于原点对称的．
问题2：判断函数奇偶性的前提条件是什么？
生：定义域关于原点对称．
问题3：我们现在已接触过偶函数、奇函数、既不是奇函数也不是偶函数，那么有没有既是奇函数又是偶函数的函数呢？
生：有．函数就是一个．
师：那么这样的函数有多少个呢？
生：只有函数一个．
生：既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个．虽然解析式都为，但取关于原点对称的不同的定义域，就可得到不同的函数，例如：；等等．
（板书）所以函数按奇偶性可分为四类：奇函数、偶函数、既奇且偶函数和非奇非偶函数．
练习：
1、判断下列函数的奇偶性．
（1） （2） （3）
（4） （5）；
（6） （6）
（三）奇偶函数在对称区间的单调性
师：下面我们一起来研究第三个问题，对于具有奇偶性的函数在对称的区间的单调性的情况？
例题3：如果函数在区间是递增的，且最小值为5，那在的单调性及最值。
三、课堂练习
1、讨论：已知一次函数、二次函数，当分别取什么值时，可使函数具备奇偶性？
2、判断下列函数的奇偶性：
（1）
分析：先验证函数定义域的对称性，再考察f（-x）是否等于f（x）或-f（x）．
解：（1）f（x）的定义域是R，关于原点对称。
又因为，所以为非奇非偶函数
（2）解法一：当时，；
当x＜0时，-x＞0，于是
综上可知，在上，是奇函数．
解法二：画出函数的图象。当时，的图象是抛物线的右半支；当时，的图象是抛物线的左半支。显然，这两条曲线（图4）关于原点对称，因此函数在上是奇函数．
四、小结：
1、函数的奇偶性的定义；
2、判断函数的奇偶性要注意的步骤：
（1）判断函数的定义域是否关于原点对称；
（2）判断函数的是否满足或，从而判断函数是否具有偶（奇）函数或是非奇非偶函数。
3、（1）具有奇偶性的函数定义域要关于原点对称
（2）函数从奇偶性来分可分为偶函数、奇函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数
五、作业：
1、 课后作业：
2、 课后探究：。
y
x
教学目标
1．从形与数两个方面进行引导，使学生理解函数奇偶性的慨念．
2．通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力；培养学生从特殊到一般的概括能力；渗透数形结合的数学思想方法．
3.能利用函数的奇偶性简化函数图像的绘制过程
教学重难点
函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定．
教学过程
一、引入新课
师：同学们，前面我们已经学过了函数的一种性质——单调性，现在我们来学习函数的另外一种重要性质。
首先，我们知道，“对称”是大自然的一种美，在我们的生活中,有许多对称美:美丽的蝴蝶、盛开的花朵、建筑物等。这种“对称美”在数学中也有大量的反映．这节课，我们就一起来发现数学中的“对称美”！
1、观察下列函数的图象，思考并讨论以下的问题：
（1） 这两个函数的图像有什么共同的特征？
（2） 从图像上发现在，它们在数值上有什么规律？在图像上是如何体现的（动手操作）？
（3） 从图像上看函数的定义域的有什么有特点？
生：函数是定义域为全体实数的抛物线；函数是定义域为全体实数的折线，函数图象共同特征是关于y轴对称；函数的定义域是关于原点对称的。
我们在函数位于y轴右侧的图象上任取一点，通过沿y轴对折找到其关于y轴的对称点，可以发现：．也就是说，当在定义域中任取两个互为相反数的自变量时，对应的函数值相等，．
二、新课讲授
（一）奇偶性的定义
1、师：具备此种特征的函数还有很多，我们能不能用数学语言对这类函数的特征描绘出来？
（板书）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有，那么函数就叫做偶函数．其图像是关于y轴对称的。
2、观察下列函数的图像，你能发现这几个函数有什么共同特征？它们在数值上又有什么规律？（让学生对比偶函数的学习过程进行探究）
（板书）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有，那么函数就叫做奇函数．其图像是关于原点对称的
问题1：你能用自己的话说说奇函数与偶函数的相同和不同之处？定义的实质是什么呢？
偶函数：当自变量任取两个互为相反数的值时，对应的函数值恰好相等．
奇函数：当自变量任取定义域内两个互为相反数的值时，对应的函数值也互为相反数．
3、奇偶性：当函数是奇函数或偶函数时，就称这个函数具有奇偶性。
师：具有奇偶性的函数的图像有对称性，那么函数的奇偶性对我们作图有什么帮助呢？
（二）例题
例题1：（1）在图中只给出了函数、的图像的一半，请你画出它们的另外一半图像。
（2）作出函数的图象
例题2：判断下列函数的奇偶性
（1） (2)
（3） (4)
(5) (6)
分析：可以作出函数的图像，然后判断；也可以根据、而判断。
师：下面我们来分析一下这两个定义．定义中“任意一个x∈D，都有、成立”说明了什么？
这说明与都有意义，即同时属于定义域，因此偶（奇）函数的定义域是关于原点对称的．
问题2：判断函数奇偶性的前提条件是什么？
生：定义域关于原点对称．
问题3：我们现在已接触过偶函数、奇函数、既不是奇函数也不是偶函数，那么有没有既是奇函数又是偶函数的函数呢？
生：有．函数就是一个．
师：那么这样的函数有多少个呢？
生：只有函数一个．
生：既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个．虽然解析式都为，但取关于原点对称的不同的定义域，就可得到不同的函数，例如：；等等．
（板书）所以函数按奇偶性可分为四类：奇函数、偶函数、既奇且偶函数和非奇非偶函数．
练习：
1、判断下列函数的奇偶性．
（1） （2） （3）
（4） （5）；
（6） （6）
（三）奇偶函数在对称区间的单调性
师：下面我们一起来研究第三个问题，对于具有奇偶性的函数在对称的区间的单调性的情况？
例题3：如果函数在区间是递增的，且最小值为5，那在的单调性及最值。
三、课堂练习
1、讨论：已知一次函数、二次函数，当分别取什么值时，可使函数具备奇偶性？
2、判断下列函数的奇偶性：
（1）
分析：先验证函数定义域的对称性，再考察f（-x）是否等于f（x）或-f（x）．
解：（1）f（x）的定义域是R，关于原点对称。
又因为，所以为非奇非偶函数
（2）解法一：当时，；
当x＜0时，-x＞0，于是
综上可知，在上，是奇函数．
解法二：画出函数的图象。当时，的图象是抛物线的右半支；当时，的图象是抛物线的左半支。显然，这两条曲线（图4）关于原点对称，因此函数在上是奇函数．
四、小结：
1、函数的奇偶性的定义；
2、判断函数的奇偶性要注意的步骤：
（1）判断函数的定义域是否关于原点对称；
（2）判断函数的是否满足或，从而判断函数是否具有偶（奇）函数或是非奇非偶函数。
3、（1）具有奇偶性的函数定义域要关于原点对称
（2）函数从奇偶性来分可分为偶函数、奇函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数
五、作业：
1、 课后作业：
2、 课后探究：。
y
x