课 题：正弦定理、余弦定理（1）
教学目的：
⑴使学生掌握正弦定理
⑵能应用解斜三角形，解决实际问题
教学重点：正弦定理
教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角那么斜三角形怎么办？
——提出课题：正弦定理、余弦定理
二、讲解新课：
正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，
即 == =2R（R为△ABC外接圆半径）
1．直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1
即 c=， c= ， c=．
∴==
2．斜三角形中
证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中
S△ABC=
两边同除以即得：==
证明二：（外接圆法）
如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ
∴
同理 =2R，＝2R
证明三：（向量法）
过A作单位向量垂直于
由 +=
两边同乘以单位向量 得 (+)=
则 + =
∴|| ||cos90+|| ||cos(90C)=|| ||cos(90A)
∴ ∴=
同理，若过C作垂直于得： = ∴==
正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题：
1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:
⑴若A为锐角时:
⑵若A为直角或钝角时:
三、讲解范例：
例1 已知在
解：
∴
由得
由得
例2 在
解：∵
∴
例3
解：
，
例4 已知△ABC，BＤ为B的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC
分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论
证明：在△ABD内，利用正弦定理得：
在△BCD内，利用正弦定理得：?
∵BD是B的平分线?
∴∠ABD＝∠DBC ∴sinABD＝sinDBC?
∵∠ADB＋∠BDC＝180°?
∴sinADB＝sin（180°－∠BDC）＝sinBDC?
∴
∴
评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用?
四、课堂练习：
1在△ABC中，,则k为( )
A2R BR C4R D(R为△ABC外接圆半径)
2△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为( )
A直角三角形? B等腰直角三角形 C等边三角形 D等腰三角形
3在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的
A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件
4在△ABC中，求证：
参考答案：1A，2A?3C
4
五、小结 正弦定理，两种应用
六、课后作业：
1在△ABC中，已知，求证：2b2＝a2＋c2
证明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B）?
cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B?
2cos2B＝cos2A＋cos2C
∴2sin2B＝sin2A＋sin2C?
由正弦定理可得2b2＝a2＋c2
第 5页（共5页）课 题：正弦定理、余弦定理（2）
教学目的：
1．掌握正弦定理、余弦定理；
2．使学生能初步运用它们解斜三角形，并会解决斜三角形的计算问题
教学重点：正弦定理、余弦定理的运用
教学难点：正弦定理、余弦定理的灵活运用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，
即 == =2R（R为△ABC外接圆半径）
2正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题：
1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:
⑴若A为锐角时:
⑵若A为直角或钝角时:
3．在Rt△ABC中(若C=90)有： 在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？
二、讲解新课：
1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
即
[问题] 对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？
[推导] 如图在中，、、的长分别为、、
∵
∴
即
同理可证 ，
2．余弦定理可以解决的问题
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
三、讲解范例：
例1在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C
解：∵ ＝0725， ∴ A≈44°
∵ ＝08071， ∴ C≈36°,
∴ B＝180°－(A＋C)≈100°
(∵sinC＝ ≈05954,∴ C ≈ 36°或144°(舍))
例2在ΔABC中，已知a＝2730，b＝3696，C＝82°28′，解这个三角形
解：由 ，得 c≈4297
∵ ≈07767， ∴ A≈39°2′,
∴ B＝180°－(A＋C)＝58°30′
(∵sinA＝ ≈06299，∴ A=39°或141°(舍))
例 3 ΔABC三个顶点坐标为(6，5)、(－2，8)、(4，1)，求A
解法一：∵ |AB| ＝
|BC| ＝
|AC| ＝
=
∴ A≈84°
解法二：∵ ＝(–8，3)，＝(–2，–4)
∴ cosA＝=,∴ A≈84°
例4 设=(x1, y1) =(x2, y2) 与的夹角为 （0≤≤），
求证：x1x2+ y1y2=||||cos
证明：如图，设, 起点在原点，终点为A，B
则A=(x1, y1) B=(x2, y2) =
在△ABC中，由余弦定理
||2=||2+||22|||| cos
∵||2=||2=|(x2-x1, y2-y1)|2=(x2-x1)2+( y2-y1)2
||2=x12+y12 ，||2= x22+y22
∴(x2-x1)2+( y2-y1)2= x12+y12+ x22+y222|||| cos
∴x1x2+ y1y2=||||cos 即有 = x1x2+ y1y2=||||cos
四、课堂练习：
1在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为( )
A直角三角形 B锐角三角形 C等腰三角形?D等边三角形
2在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为 ；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为
3在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为
4在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A=
参考答案： 1C 2钝角三角形，直角三角形，锐角三角形?
3等腰三角形 4120°?
五、小结 余弦定理及其应用
六、课后作业：
1在△ABC中，证明下列各式：
（1）（a2－b2－c2）tanA＋（a2－b2＋c2）tanB＝0
(2)
证明：(1)左边＝（a2－b2－c2）
故原命题得证
故原命题得证?
2在△ABC中，已知sinB·sinC＝cos2，试判断此三角形的类型?
解：∵sinB·sinC＝cos2, ∴sinB·sinC＝
∴2sinB·sinC＝1＋cos［180°－（B＋C）］
将cos（B＋C）＝cosBcosC－sinBsinC代入上式得?
cosBcosC＋sinBsinC＝1, ∴cos（B－C）＝1?
又0＜B，C＜π，∴－π＜B－C＜π?∴B－C＝0 ∴B＝C
故此三角形是等腰三角形
3在△ABC中，bcosA＝acosB试判断三角形的形状
解法一：利用余弦定理将角化为边
∵bcosA＝acosB?,∴b·
∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2?,∴a2＝b2?,∴a＝b，故此三角形是等腰三角形?
解法二：利用正弦定理将边转化为角?∵bcosA＝acosB?
又b＝2ＲsinB，a＝2ＲsinA?，∴2ＲsinBcosA＝2ＲsinAcosB?
∴sinAcosB－cosAsinB＝0?∴sin（A－B）＝0?
∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π?，∴A－B＝0 即A＝B?
故此三角形是等腰三角形?
第 2页（共5页）课 题：正弦定理、余弦定理（3）
教学目的：
1进一步熟悉正、余弦定理内容；?
2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；?
3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；?
4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式?
教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向
教学难点:三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求?
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学方法：启发引导式?
1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；?
2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用
教学过程：
一、复习引入：
正弦定理：
余弦定理：
，
二、讲授新课：
1正余弦定理的边角互换功能?
对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决?
例1已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，求的值
解：∵(这是角的关系)，
∴ (这是边的关系)于是，由合比定理得
例2已知△ABC中，三边a、b、c所对的角分别是A、B、C，且a＋c＝2b求证：sinA＋sinC＝2sinB
证明：∵a、b、c成等差数列，
∴a＋c＝2b(这是边的关系)①?
又②
③
将②、③代入①，得整理得sinA＋sinC＝2sinB(这是角的关系)
2正、余弦定理的巧用?
某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：
例3求sin220°＋cos280°＋sin20°cos80°的值
解：原式＝sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cos150°
∵20°＋10°＋150°＝180°，?
∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角?
设这三个内角所对的边依次是a、b、c，由余弦定理得：a2＋b2－2abcos150°＝c2（※）?
而由正弦定理知：a＝2Ｒsin20°，b＝2Ｒsin10°，c＝2Ｒsin150°，代入(※)式得：
sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cos150°＝sin2150°＝
∴原式＝
例4在△ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长()
分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系其中利用正弦二倍角展开后出现了cosα，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的?
解：设三角形的三边长分别为ｘ，ｘ＋1，ｘ＋2，其中ｘ∈Ｎ*，又设最小角为α，则?
,①
又由余弦定理可得ｘ2＝（ｘ＋1）2＋（ｘ＋2）2－2（ｘ＋1）（ｘ＋2）cosα?
将①代入②整理得：ｘ2－3ｘ－4＝0?
解之得ｘ1＝4，ｘ2＝－1(舍)?
所以此三角形三边长为4，5，6?
评述： 此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的方程
例5已知三角形的一个角为60°，面积为10cｍ2，周长为20cｍ，求此三角形的各边长
分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60°角的余弦，其二可用面积公式Ｓ△ABC＝absinC表示面积，其三是周长条件应用?
解：设三角形的三边长分别为a、b、c，B＝60°，则依题意得
由①式得：b2＝［20－（a＋c）］2＝400＋a2＋c2＋2ac－40（a＋c） ④?
将②代入④得400＋3ac－40（a＋c）＝0?
再将③代入得a＋c＝13?
由 ∴b1＝7，b2＝7?
所以，此三角形三边长分别为5cｍ，7cｍ，8cｍ?
评述： (1)在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用?
(2)由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意要求学生体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力?
三、课堂练习：
1在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是( )
A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形
2在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则此三角形为( )
A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形
3在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，则secA=
4△ABC中，，则三角形为
5在△ABC中，角A、B均为锐角且cosA＞sinB，则△ABC是
6已知△ABC中，，试判断△ABC的形状
7在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状
参考答案：1D 2A 3 8 4等腰三角形?5钝角三角形
6等边三角形 7等腰三角形或直角三角形?
四、小结 熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断
五、课后作业：?
1在△ABC中，已知，求证：a2，b2，c2成等差数列
证明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B）?
cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B?2cos2B＝cos2A＋cos2C
∴2sin2B＝sin2A＋sin2C?
由正弦定理可得2b2＝a2＋c2, 即a2，b2，c2成等差数列?
2在△ABC中，A＝30°，cosB＝2sinB－sinC
(1)求证：△ABC为等腰三角形；(提示B＝C＝75°)?
(2)设D为△ABC外接圆的直径BE与AC的交点，且AB＝2，求AD∶DC的值
答案：（1）略 （2）1∶
六、板书设计（略）
七、课后记：
①
②
③
第 1页（共4页）课 题：正弦定理、余弦定理（4）
教学目的：
1进一步熟悉正、余弦定理内容；?
2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；?
3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；?
4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式?
教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向
教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系?
授课类型：新授课
课时安排：2课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学方法：启发引导式?
1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；?
2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用
教学过程：
一、复习引入：
正弦定理：
余弦定理：
，
二、讲解范例：
例1在任一△ABC中求证：
证：左边=
==0=右边
例2 在△ABC中，已知，，B=45 求A、C及c
解一：由正弦定理得：
∵B=45<90 即b
当A=60时C=75
当A=120时C=15
解二：设c=x由余弦定理
将已知条件代入，整理：
解之：
当时
从而A=60 ，C=75
当时同理可求得：A=120 ，C=15
例3 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程的两个根，且
2cos(A+B)=1
求（1）角C的度数 （2）AB的长度 （3）△ABC的面积
解：（1）cosC=cos[(A+B)]=cos(A+B)= ∴C=120
（2）由题设：
∴AB2=AC2+BC22AC BC osC
即AB=
（3）S△ABC=
例4 如图，在四边形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 求BC的长
解：在△ABD中，设BD=x
则
即
整理得：
解之： （舍去）
由余弦定理：
∴
例5 △ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1求最大角 ;
2求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积
解：1设三边 且
∵C为钝角 ∴解得
∵ ∴或3 但时不能构成三角形应舍去
当时
2设夹C角的两边为
S
当时S最大=
例6 在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长
分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为ｘ后，建立关于ｘ的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程?
解：设BC边为ｘ，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝，
在△ADB中，cosADB＝
在△ADC中，cosADC＝
又∠ADB＋∠ADC＝180°
∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC?
∴
解得，ｘ＝2?, 所以，BC边长为2
评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型?
另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：
由三角形内角平分线性质可得，设BD＝5ｋ，DC＝3ｋ，则由互补角∠ADC、∠ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出sinA
三、课堂练习：
1半径为1的圆内接三角形的面积为0．25，求此三角形三边长的乘积?
解：设△ABC三边为a，b，c则Ｓ△ABC＝
∴
又，其中R为三角形外接圆半径
∴, ∴abc＝4RS△ABC＝4×1×0．25＝1
所以三角形三边长的乘积为1?
评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：
，其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式Ｓ△ABC＝发生联系，对abc进行整体求解
2在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求
AB?
解：在△ADC中，
cosC＝
又0＜C＜180°，∴sinC＝
在△ABC中，
∴AB＝
评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用
3在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，求cosC的值?
解：∵cosA＝＜＝cos45°，0＜A＜π
∴45°＜A＜90°, ∴sinA＝
∵sinB＝＜＝sin30°，0＜B＜π
∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180°
若B＞150°，则B＋A＞180°与题意不符?
∴0°＜B＜30° cosB＝
∴cos（A＋B）＝cosA·cosB－sinA·sinB＝
又C＝180°－（A＋B）?
∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－
评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较?
四、小结 通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力
五、课后作业：
六、板书设计（略）
七、课后记及备用资料：
1正、余弦定理的综合运用?
余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得：
sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA
这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，下面举例说明之?
［例1］在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC，求B的度数
解：由定理得sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB，?
∴－2sinAsinCcosB＝sinAsinC
∵sinAsinC≠0 ?∴cosΒ＝－ ∴B＝150°
［例2］求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值
解：原式＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°
在sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA中，令B＝10°，C＝50°，
则A＝120°
sin2120°＝sin210°＋sin250°－2sin10°sin50°cos120°
＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°＝（）2＝
［例3］在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，试判定△ABC的形状?
解：在原等式两边同乘以sinA得：2cosBsinAsinC＝sin2A，
由定理得sin2A＋sin2C－sin2Β＝sin2A，
∴sin2C＝sin2B?∴B＝C
故△ABC是等腰三角形?
2一题多证?
［例4］在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形?
证法一：欲证△ABC为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a＝
∴2bcosC＝，即2cosC·sinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC
∴sinBcosC－cosBsinC＝0
即sin（B－C）＝0，?∴B－C＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）?
∵B、C是三角形的内角，?∴B＝C，即三角形为等腰三角形?
证法二：根据射影定理，有a＝bcosC＋ccosB，
又∵a＝2bcosC?∴2bcosC＝bcosC＋ccosB?∴bcosC＝ccosB，即
又∵∴即tanB＝tanC
∵B、C在△ABC中，?∴B＝C?∴△ABC为等腰三角形?
证法三：∵cosC＝∴
化简后得b2＝c2?∴b＝c ∴△ABC是等腰三角形?
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