第十六章 二次根式 单元自测题（含解析）2022－2023学年人教版八年级数学下册

人教版八年级数学下册第十六章 二次根式 单元自测题
一、单选题
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．若二次根式 有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜3 B．x≠3 C．x≤3 D．x≥3
3．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（　　）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
4．计算的结果是（　　）
A． B． C．10 D．20
5．下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．下列各组数中互为相反数的一组是（　　）
A．﹣3与 B．﹣3与 C．﹣3与 D．|﹣3|与3
7．使代数式 有意义的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥3 B．x＞3且x≠4 C．x≥3且x≠4 D．x＞3
8．已知为实数，且，则的值为（　　）
A．3 B． C．1 D．
9．估算 的值应在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
10．x取什么值时，有意义 （　　）
A．x＞ B．x= C．x≥ D．x≥-
二、填空题
11．使 有意义的 的取值范围是　 　.
12．计算：（3 +2 ）（3 ﹣2 ）=　 　．
13．已知，则x的取值范围是　 　．
14．观察下列等式：
① ；
②
③
…
参照上面等式计算方法计算：
　 　.
三、计算题
15．计算：．
16．化简：
（1）
（2）
四、解答题
17．已知 ， 两数在数轴上的表示如图所示，化简： .
18．如果二次根式 与 能够合并，能否由此确定a=1？若能，请说明理由；不能，请举一个反例说明．
19．已知x= ﹣1，y= +1，求代数式x2+xy+y2的值．
五、综合题
20．阅读下列材料，然后解答下列问题：
在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一） ；
（二） ；
（三） ．
以上这种化简的方法叫分母有理化．
（1）请用不同的方法化简：
①参照（二）式化简＝　 　．
②参照（三）式化简＝　 　
（2）化简：．
21．阅读下列学习材料并解决问题
定义：如果一个数 的平方等于 记为 这个数 叫做虚数单位.它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似.例如计算：
.
（1）问题：填空： 　 　， 　 　.
（2）计算： ； ；
（3）试一试：请利用以前学习的有关知识将 化简成 的形式（即分母不含 的形式）.
22．解答题．
（1）已知 ， 的整数部分为 ，小数部分为 ，求 的值．
（2）已知 ， ，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】A． 是最简二次根式，故此选项符合题意；
B． ，故此选项不符合题意；
C． ，故此选项不符合题意；
D． ，故此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
2．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可知：x﹣3≥0，
∴x≥3
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开放式非负”可得关于x的不等式，解不等式即可求解.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：A、 与 被开方数不同，故不是同类二次根式，故A选项错误；
B、 与 被开方数不同，故不是同类二次根式，故B选项错误；
C、 与 被开方数相同，是同类二次根式，故C选项正确；
D、 与 被开方数不同，故不是同类二次根式，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】将几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数完全相同，我们就说这几个二次根式是同类二次根式，根据定义即可一一判断得出答案.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：
故答案为：D．
【分析】根据积的乘方及二次根式的性质进行计算即可.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误，不符合题意；
B、，故此选项错误，不符合题意；
C、，故此选项错误，不符合题意；
D、，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】二次根式加减的实质就是合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，二次根号部分不变，但不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A选项；由于二次根号具有括号的作用，故先计算被开方数中的加法，据此可判断B选项；二次根式的乘法，根指数不变，把被开方数相乘，据此可判断C选项；二次根式的除法，根指数不变，把被开方数相除，据此可判断D选项.
6．【答案】A
【解析】【解答】① ＝3，和﹣3互为相反数，故A符合题意；② ＝﹣3，不是﹣3的相反数，故B不符合题意；③﹣3和﹣ 互为倒数，不互为相反数，故C不符合题意；④|﹣3|和3相等，故D不符合题意．
综上可知只有A符合题意．
故答案为：A．
【分析】对每个选项进行计算，得出的结果直接用于选项符合题意性的判断．
7．【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意，得x-3≥0且x-4≠0，
解得x≥3且x≠4．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，分式有意义，分母不为0
8．【答案】D
【解析】【分析】因为，，由于；所以， ，即， 两数分别等于0，所以，所以.
选D
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴的值应在4和5之间.
故答案为：B
【分析】先将各个二次根式化成最简二次根式，再合并，利用估算无理数的大小可知，即可求解.
10．【答案】D
【解析】【分析】当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
【解答】依题意得4+5x≥0，
解得x≥ ．
故选D．
【点评】此题主要考查了当代数式是二次根式时，被开方数为非负数这一知识点．
11．【答案】
【解析】【解答】解：根据题意，得
，
∴ ；
故答案为： .
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
12．【答案】6
【解析】【解答】解：原式=（3 ）2-（2 ）2
=18-12
=6．
故答案为6
【分析】观察式子的特点。可利用平方差公式计算。
13．【答案】x≤2023
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：x≤2023．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后求解即可。
14．【答案】
【解析】【解答】 ，
=
=
= .
故答案为： .
【分析】利用分母有理化将每一个式子进行化简，然后利用二次根式的加减计算即可.
15．【答案】解：原式
．
【解析】【分析】利用二次根式的混合运算求解即可。
16．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
【解析】【分析】（1）利用绝对值的性质，化简绝对值，同时将二次根式化成最简二次根式，然后合并即可.
（2）进行分母有理化，分子分母同时乘以，再进行计算，可求出结果.
17．【答案】解：根据题意得，
【解析】【分析】根据数轴上a、b的位置，分别判断出a+2，b-2，a+b的正负性，再根据二次根式的性质化简解题即可。
18．【答案】解：二次根式 与-3 能够合并，不能由此确定a=1．当 是最简二次根式，∴3a－1=2，∴a=1；当 不是最简二次根式，∴3a－1=8，∴a=3．还有其他情况．故不能确定a=1
【解析】【分析】由于二次根式可能是最简二次根式，也可能不是最简二次根式，因此不能确定a=1.
19．【答案】解：∵x= ﹣1，y= +1，
∴x+y=2 ，xy=4，
∴x2+xy+y2
=（x+y）2﹣xy
=20﹣4
=16
【解析】【分析】由x= ﹣1，y= +1，得出x+y=2 ，xy=4，进一步把代数式x2+xy+y2分解因式代入求得答案即可．
20．【答案】（1）；
（2）解：原式．
【解析】【解答】解：（1）①；
②；
【分析】（1）根据题干中的计算方法求解即可；
（2）利用（1）的计算方法化简，再计算即可。
21．【答案】（1）-i；1
（2）解：①（2+i）（2-i）
=4-i2
=4+1
=5；
②（2+i）2
=4+4i+i2
=4+4i-1
=3+4i；
（3）解：
【解析】【解答】（1）i3=i2 i=-i，
i4=i2×i2=（-1）×（-1）=1；
故答案为：-i，1；
【分析】问题（1）i3=i2·i，i4=i2×i2，然后结合i2=-1进行计算；
（2）①由平方差公式可得 (2+i)(2-i)=4-i2，据此计算；
②由完全平方公式可得(2+i)2=4+4i+i2，据此计算；
（3）给分式的分子、分母同时乘以(3+i)，可得原式=，然后化为a+bi的形式即可.
22．【答案】（1）解： ，
，
，
的整数部分是 ，小数部分是 ，
， ，
（2）解： ， ，
，
．
【解析】【分析】（1）估算x的整数部分的值，即可得出a、b的值，进而求出 的值即可．（2）先由a－b、b－c的值得出a－c的值，再将 转化为 即 ，整体代入求值即可．