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2023年中考数学三轮冲刺卷（三）
时间：120分钟，满分：130分
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下列各式中正确的是
A． B． C． D．
2．（3分）据不完全统计，2021年河北省中考报名人数已经超过了886000人，数据886000用科学记数法可以表示为
A． B． C． D．
3．（3分）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
4．（3分）农科院为了解某种小麦的长势，从2000株随机抽取50株，对苗高进行了测量，结果如图所示，则苗高为的株树为
A．800 B．560 C．480 D．160
5．（3分）如图，直线，相交于点，如果，那么是
A． B． C． D．
6．（3分）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为
A． B． C． D．
7．（3分）一件商品按成本价提高再按8折售出，售价为240元，设这件商品的成本价为元，根据题意，列出方程正确的是
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，是直角三角形，是斜边，将绕逆时针旋转后，能够与重合，如果，那么的长等于
A．9 B．12 C．15 D．18
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分） ．
10．（3分）因式分解： ．
11．（3分）计算的结果是 ．
12．（3分）中，，点在射线上，且，连接，若，则 ．
13．（3分）如图，弦、相交于点，且，，则的度数是 ．
14．（3分）如图，在平行四边形中，，，是锐角，于点，是的中点，连接，．若，则的长为 ．
15．（3分）星期六下午，小张和小王同时从学校沿相同的路线去书店买书，小王出发4分钟后发现忘记带钱包，立即调头按原速原路回学校拿钱包，小王拿到钱包后，以比原速提高的速度按原路赶去书店，结果还是比小张晚4分钟到书店（小王拿钱包的时间忽略不计）．在整个过程中，小张保持匀速运动，小王提速前后也分别保持匀速运动，如图所示是小张与小王之间的距离（米与小王出发的时间（分钟）之间的函数图象，则学校到书店的距离为 米．
16．（3分）如图，在矩形中，，，是射线上一动点，把沿直线翻折，顶点的对应点为，当线段与相交时，设交点为，连接，交于点，连接，若，则的值为 ．
三．解答题（共11小题，满分82分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）解分式方程：．
19．（6分）填写如表，并观察下面两个代数式的值的变化情况：
1 2 3 4 5 6 7
（1）当时，随着值的逐渐变大，两个代数式的值如何变化？
（2）估计一下，哪个代数式的值先超过200？
20．（6分）小明和小红玩扑克牌游戏，每次各出一张牌（打出的牌不收回），谁的牌数字大谁赢，同样大就平．现已知小明手中有2、5、8，小红手中有3、5、7．
（1）如果小明、小红将手中的牌任出一张，一局定胜负，请用画树状图或列表的方法，说明谁的获胜机会比较大？
（2）如果小明按2、5、8的顺序出牌三次，小红则按随机顺序出牌三次，三局两胜定胜负，那么小红获胜的概率是 （直接写出结果）．
21．（6分）如图，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
22．（8分）“99公益日”是一年一度的全民公益活动日，学校组织学生参加慈善捐款活动，为了解学生捐款情况，随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制了统计图1和图2．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为 ，图1中的值为 ．
（2）求统计的这组学生的捐款数据的平均数、众数和中位数．
（3）根据统计的这组学生所捐款的情况，若该校共有1000名学生，估计该校共筹得善款多少元？
23．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，且点坐标为，一次函数交轴于点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）直接写出使反比例函数大于一次函数的的取值范围．
24．（8分）如图1，是的直径，弦于点，是上一点，，的延长线交于点．
（1）求证：．
（2）若是的中点，当与的一边平行时，求的值．
（3）如图2，点是的中点，，连接，，．当时，求的值．
25．（10分）为响应教育部立德树人和“五育”并举的号召，学校举行班级篮球循环赛，比赛计分规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得一1分．
（1）小明班级篮球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么他们胜了几场，平了几场？
（2）第二轮从第一轮球队中选拔8个得分高的球队，仍然采取单循环赛，但每一场必须决出胜负．如果一个球队获胜场，得分是分，求与的函数关系式；
（3）为了文明比赛，学校规定，给无犯规的球队加4分；如果有犯规，按每3次扣1分计入该队的总分，循环赛结束得分在9分（含9分）以上的球队进入复赛．小明班级篮球队预计犯规次数是获胜次数的2倍，按这个计划实施，他们想进入复赛最少要胜多少场？
26．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线是常数）经过点．点在抛物线上，且点的横坐标为．以点为中心，构造正方形，，且轴．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）若点是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点作轴的平行线交抛物线于另一点，连结．当时，求点的坐标；
（3）若，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，或者随的增大而减小时，求的取值范围；
（4）当抛物线与正方形的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出的值．
27．（10分）如图，在钝角中，为钝角，，为边上的高线，平分交于点，且是与的比例中项．
（1）求证：；
（2）求的值；
（3）直接写出的值．
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2023年中考数学三轮冲刺卷（三）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下列各式中正确的是
A． B． C． D．
解：，选项错误；
，选项错误；
，选项正确；
，选项错误．
故选：．
2．（3分）据不完全统计，2021年河北省中考报名人数已经超过了886000人，数据886000用科学记数法可以表示为
A． B． C． D．
解：．
故选：．
3．（3分）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
解：、错误，；
、错误，；
、错误，；
、正确．
故选：．
4．（3分）农科院为了解某种小麦的长势，从2000株随机抽取50株，对苗高进行了测量，结果如图所示，则苗高为的株树为
A．800 B．560 C．480 D．160
解：苗高为的株树为：（株，
故选：．
5．（3分）如图，直线，相交于点，如果，那么是
A． B． C． D．
解：，，
，
与互为邻补角，
，
．
故选：．
6．（3分）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为
A． B． C． D．
解：设正六边形边长为，过作于，过作于，如图所示：
正六边形的内角为，
在中，，，，
则，
，
在中，，
则，
则灰色部分面积为，
白色区域面积为，
所以正六边形面积为两部分面积之和为，
飞镖落在白色区域的概率，
故选：．
7．（3分）一件商品按成本价提高再按8折售出，售价为240元，设这件商品的成本价为元，根据题意，列出方程正确的是
A． B．
C． D．
解：设这件商品的成本价为元，成本价提高后的标价为，再打8折的售价表示为，又因售价为240元，
列方程为：．
故选：．
8．（3分）如图，是直角三角形，是斜边，将绕逆时针旋转后，能够与重合，如果，那么的长等于
A．9 B．12 C．15 D．18
解：根据旋转的性质知：，．
再根据勾股定理得：
故选：．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分） ．
解：，
，
，
．
故填．
10．（3分）因式分解： ．
解：．
故答案为：．
11．（3分）计算的结果是 1 ．
解：原式
．
故答案为：1．
12．（3分）中，，点在射线上，且，连接，若，则 ，， ．
解：①如图1中，当在线段上时，作于，于．
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
．
②如图2中，当在的延长线上时，作于，于．
同法可证，
，
，
，
．
③如图3中，当是钝角时，在的延长线上时，作于，于．
同法可证，
，设，
，
，
，
，
故答案为：，，．
13．（3分）如图，弦、相交于点，且，，则的度数是 ．
解：如图，连接，，
，，
，
．
，
，，
．
故答案为：．
14．（3分）如图，在平行四边形中，，，是锐角，于点，是的中点，连接，．若，则的长为 ．
解：如图，延长交的延长线于，连接，设，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
整理得：，
解得或（舍弃），
，
，
故答案为：．
15．（3分）星期六下午，小张和小王同时从学校沿相同的路线去书店买书，小王出发4分钟后发现忘记带钱包，立即调头按原速原路回学校拿钱包，小王拿到钱包后，以比原速提高的速度按原路赶去书店，结果还是比小张晚4分钟到书店（小王拿钱包的时间忽略不计）．在整个过程中，小张保持匀速运动，小王提速前后也分别保持匀速运动，如图所示是小张与小王之间的距离（米与小王出发的时间（分钟）之间的函数图象，则学校到书店的距离为 840 米．
解：由题意可知：最后一段图象是小张到达书店后等待小王前往书店的图象，
则小王后来的速度为：（米分钟），
小王原来的速度为：（米分钟），
根据第一段图象可知：（米分钟），
小张的速度为：（米分钟），
设学校到书店的距离为米，
由题意得：，
解得：，
答：学校到书店的距离为840米，
故答案为：840．
16．（3分）如图，在矩形中，，，是射线上一动点，把沿直线翻折，顶点的对应点为，当线段与相交时，设交点为，连接，交于点，连接，若，则的值为 或 ．
解：由题意得：，
，，，，，
，
，
，
，
，
四边形为菱形．
，
，
，
．
，
，
．
，
，
．
，
．
，
，
，
设，则，
，
解得：或9，
或16．
或20，
或，
故答案为：或．
三．解答题（共11小题，满分82分）
17．（5分）计算：．
解：原式
．
18．（5分）解分式方程：．
解：整理得，，
方程两边同乘以，
得，
即，
移项，合并同类项得，，
解得，
检验：当时，，
是原分式方程的解．
19．（6分）填写如表，并观察下面两个代数式的值的变化情况：
1 2 3 4 5 6 7
14
（1）当时，随着值的逐渐变大，两个代数式的值如何变化？
（2）估计一下，哪个代数式的值先超过200？
解：（1）
1 2 3 4 5 6 7
14 20 26 32 38 44 50
3 9 19 33 51 73 99
把的值分别代入及，由表格内代数式的值的变化可得：
当时，随着的增大，两代数值分别随增大而增大．
（2）当时，，，
代数式先超过200．
20．（6分）小明和小红玩扑克牌游戏，每次各出一张牌（打出的牌不收回），谁的牌数字大谁赢，同样大就平．现已知小明手中有2、5、8，小红手中有3、5、7．
（1）如果小明、小红将手中的牌任出一张，一局定胜负，请用画树状图或列表的方法，说明谁的获胜机会比较大？
（2）如果小明按2、5、8的顺序出牌三次，小红则按随机顺序出牌三次，三局两胜定胜负，那么小红获胜的概率是 （直接写出结果）．
解：（1）画树状图得：
每人随机取一张牌共有9种情况，小红获胜的情况有4种，小明获胜的情况有4种，概率都是，
小明、小红获胜机会一样；
（2）据题意，小明出牌顺序为2、5、8时，
小红随机出牌的情况有6种情况：，5，，，3，，，7，，，3，，，7，，，5，，
小红获胜的情况有，7，，，7，两种，
小红获胜的概率为．
故答案为：．
21．（6分）如图，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
（1）证明：四边形是矩形，
，，
由折叠得：，，，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：如图，过点作于，
，，
在中，由勾股定理得：，
设，
由（1）知：，
，
，
由折叠得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
．
22．（8分）“99公益日”是一年一度的全民公益活动日，学校组织学生参加慈善捐款活动，为了解学生捐款情况，随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制了统计图1和图2．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为 50 ，图1中的值为 ．
（2）求统计的这组学生的捐款数据的平均数、众数和中位数．
（3）根据统计的这组学生所捐款的情况，若该校共有1000名学生，估计该校共筹得善款多少元？
解：（1）由条形图可知，捐款金额为10元的有5人，
由扇形图可知，捐款金额为10元的占，
则本次接受调查的学生人数为：（人，
，
，
故答案为：50；24；
（2）捐款金额为40元的人数为：（人，
（元，
捐款金额为40元的人数最多，
这组学生的捐款数据的众数是40元，
中位数为：（元；
（3）50名学生的捐款总数为：（元，
则该校1000名学生估计共筹得善款为：（元，
答：估计该校共筹得善款33400元．
23．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，且点坐标为，一次函数交轴于点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）直接写出使反比例函数大于一次函数的的取值范围．
解：（1）把代入得，解得，
一次函数解析式为；
把代入得，
反比例函数解析式为；
（2）当时，，则直线与轴的交点坐标为，
的面积；
（3）或．
24．（8分）如图1，是的直径，弦于点，是上一点，，的延长线交于点．
（1）求证：．
（2）若是的中点，当与的一边平行时，求的值．
（3）如图2，点是的中点，，连接，，．当时，求的值．
解：（1）四边形为的内接四边形，
，，
，，
，，
△△；
（2）①当时，
是的中点，
，
则△△，
，，
△△，
，
设，，
，
解得，
；
②当时，
，
，
，
，
，
；
（3）延长至点，使，连，过作，连，
，，，
△△，
，
为中点，，
，
△为等边三角形，
，
，
，
，，
由（1）得，，
在△中，．
25．（10分）为响应教育部立德树人和“五育”并举的号召，学校举行班级篮球循环赛，比赛计分规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得一1分．
（1）小明班级篮球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么他们胜了几场，平了几场？
（2）第二轮从第一轮球队中选拔8个得分高的球队，仍然采取单循环赛，但每一场必须决出胜负．如果一个球队获胜场，得分是分，求与的函数关系式；
（3）为了文明比赛，学校规定，给无犯规的球队加4分；如果有犯规，按每3次扣1分计入该队的总分，循环赛结束得分在9分（含9分）以上的球队进入复赛．小明班级篮球队预计犯规次数是获胜次数的2倍，按这个计划实施，他们想进入复赛最少要胜多少场？
解：（1）设小明的班级获胜场，平了场，
，
解得：，
故胜了6场平了1场；
（2），
故函数关系式为：；
（3）设他们胜了场，则负了场，犯规次，
，
，
则至少要赢5场，
若赢5场，则犯规（次，
则扣分（分，
可得分：（分，
故最少要赢5场才能晋级．
26．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线是常数）经过点．点在抛物线上，且点的横坐标为．以点为中心，构造正方形，，且轴．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）若点是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点作轴的平行线交抛物线于另一点，连结．当时，求点的坐标；
（3）若，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，或者随的增大而减小时，求的取值范围；
（4）当抛物线与正方形的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出的值．
解：（1）把代入，得到，
该抛物线的解析式为；
（2）如图1中，
，
抛物线的顶点为，对称轴为直线，
，
，故对称轴对称，，
点的横坐标为，
；
（3）如图2中，
点的横坐标为，，，
，
正方形的边在轴上，
当点与重合时，
由，
解得或，
，
观察图象可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标随的增大而增大．
如图3中，当落在抛物线的对称轴上时，，观察图象可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标随的增大而减小．
综上所述，满足条件的的值为或；
（4）如图中，当点时，满足条件，
此时直线的解析式为，
由，解得，或，
点在第四象限，
，，
．
如图中，当点，满足条件，
此时直线是解析式为，
由，解得，
，，
．
解法二：过点作于点，设抛物线交于点．
设，则．，，
由，得到，
．
如图中，当正方形的边长为时，满足条件，此时，
综上所述，满足条件的的值为或或．
27．（10分）如图，在钝角中，为钝角，，为边上的高线，平分交于点，且是与的比例中项．
（1）求证：；
（2）求的值；
（3）直接写出的值．
（1）证明：是与的比例中项，
，
又，
，
，
平分，
，
，
为边上的高线，
，
，
，
，
即，
；
（2）解：，，
，
由（1）可知，，
；
（3）解：，，
设，则，
，
由（1）可知，，
，
，，
，
，
是与的比例中项，
，
，
即，
，
即，
，
，
在中，．
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