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2023年中考数学三轮冲刺卷（二）
时间：120分钟，满分：150分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如果把收入100元记作元，那么支出120元记作
A．元 B．元 C．元 D．元
2．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
3．（3分）据不完全统计，2021年河北省中考报名人数已经超过了886000人，数据886000用科学记数法可以表示为
A． B． C． D．
4．（3分）以下各组长度的线段为边，能构成三角形的是
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、
5．（3分）正在热映的春节档电影电影《满江红》中所使用的印信道具是中国悠久的金石文化的代表之一，它的表面均由正方形和等边三角形组成，可以看成图②所示的几何体，该几何体的主视图是
A． B． C． D．
6．（3分）去年初冬流感爆发，某学校医务室统计，有一名学生患了流感经过2轮传染后共有100名学生患了流感，那么每轮传染中平均一个患者传染的人数为
A．8 B．9 C．10 D．11
7．（3分）如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若，则的大小为
A． B． C． D．
8．（3分）对于，给出如下定义：若点是边上一定点，且以为圆心的半圆满足：①所有点均在的内部或边上；②半径最大，则称此半圆为边上的点关于的最大内半圆．若点是边上一动点不与、重合），则在所有的点关于的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为边关于的内半圆．已知，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在直线上运动不3与0重合），将关于的内半圆半径记为，当：时，点的坐标的取值范围是
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点，则的面积是
A． B． C． D．
10．（3分）要使展开式中项的系数与常数项相等，都等于10，则的值等于
A． B．6 C．8 D．
二．填空题（共8小题，满分30分）
11．（3分）下列调查中，调查方式选择正确的是 ①为了了解一批灯泡的使用寿命，选择抽样调查．②为了了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查．③为了了解某1000枚炮弹的杀伤半径，选择全面调查．④为了了解一批袋装食品是否有防腐剂，选择全面调查．
12．（3分）已知分式，为常数）满足表格中的信息：
的取值 0.4
分式的值 无意义 0 3
则的值是 ．
13．（4分）某商场将商品按进货价提高后标价，若按标价的八折销售可获利40元，设该商品的进货价为元，根据题意列方程为 ．
14．（4分）如图，在中，，，于点，于点，则以下三个结论：①；②；③中，正确的有 ．
15．（4分）如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为，门宽为．这个矩形花圃的最大面积是 ．
16．（4分）要测小山顶上一铁塔顶点离地面高度，在塔的正西一点处测得仰角，再沿着正西方向走了120米到了处，在处测得仰角，求的高 米．
17．（4分）如图，点为反比例函数上一点，连接，交反比例函数于点，点是轴上一点，且，则的面积为 ．
18．（4分）如图，正方形边长为4，点是对角线上一点且．延长线段至点，．过点作，点在直线上且．则的值是 ．
三．解答题（共8小题，满分90分）
19．（12分）（1）化简：；
（2）解不等式组．
20．（10分）某校260名学生参加植树活动，要求每人植棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，棵；棵；棵；棵．将各类的人数绘制成扇形图（如图和条形图（如图，经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误．
回答下列问题：
（1）写出条形图中存在的错误，并说明理由；
（2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数；
（3）求这20名学生每人植树量的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵．
21．（10分）如图，，平分．
（1）尺规作图：在直线上取一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的图形中，连接．求证：四边形是菱形．
22．（10分）把一副普通扑克牌中的4张：黑3，红4，梅5，方6，洗匀后正面朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是 ．
（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张，请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于9的概率．
23．（10分）如图，是等腰三角形的外接圆，，延长到点，使，连接交于点，连接与交于点．
（1）判断是否平分，并说明理由；
（2）若，，求的长．
24．（12分）为了满足开展“阳光体育”大课间活动的需求，某学校计划购买一批篮球．根据学校的规模，需购买、两种不同型号的篮球共300个．已知购买3个型篮球和2个型篮球共需340元，购买2个型篮球和1个型篮球共需要210元．
（1）求购买一个型篮球、一个型篮球各需多少元？
（2）若该校计划投入资金元用于购买这两种篮球，设购进的型篮球为个，求关于的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若购买型篮球的数量不超过型篮球数量的2倍，则该校至少需要投入资金多少元？
25．（13分）如图①，在正方形中，点，分别为，边上的点，，将绕点顺时针旋转得到．
【操作证明】
（1）求证：；
【类比探究】
（2）如图②，在等边中，，分别为边上的点，，判断，．三条线段的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图③，在等腰中，点，在边上，，，，，若是等腰的腰，请直接写出线段的长．
26．（13分）抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．
（1）若，，判断的形状，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，当时，的取值范围是，求的值；
（3）若为等边三角形，求的值（用含的代数式表示）．
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2023年中考数学三轮冲刺卷（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如果把收入100元记作元，那么支出120元记作
A．元 B．元 C．元 D．元
解：“正”和“负”相对，所以，如果把收入100元记作元，那么支出120元记作元．
故选：．
2．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
解：、是轴对称图形，故本选项不合题意；
、是轴对称图形，故本选项不合题意；
、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
3．（3分）据不完全统计，2021年河北省中考报名人数已经超过了886000人，数据886000用科学记数法可以表示为
A． B． C． D．
解：．
故选：．
4．（3分）以下各组长度的线段为边，能构成三角形的是
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、
解：根据三角形的三边关系，得
、，不能组成三角形，不符合题意；
、，不能够组成三角形，不符合题意；
、，不能够组成三角形，不符合题意；
、，能够组成三角形，符合题意；
故选：．
5．（3分）正在热映的春节档电影电影《满江红》中所使用的印信道具是中国悠久的金石文化的代表之一，它的表面均由正方形和等边三角形组成，可以看成图②所示的几何体，该几何体的主视图是
A． B． C． D．
解：从正面看，可得图形如下：
故选：．
6．（3分）去年初冬流感爆发，某学校医务室统计，有一名学生患了流感经过2轮传染后共有100名学生患了流感，那么每轮传染中平均一个患者传染的人数为
A．8 B．9 C．10 D．11
解：设每轮传染中平均一个患者传染的人数为人，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故选：．
7．（3分）如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若，则的大小为
A． B． C． D．
解：如图：
矩形的对边平行，
，
根据三角形外角性质，可得，
，
故选：．
8．（3分）对于，给出如下定义：若点是边上一定点，且以为圆心的半圆满足：①所有点均在的内部或边上；②半径最大，则称此半圆为边上的点关于的最大内半圆．若点是边上一动点不与、重合），则在所有的点关于的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为边关于的内半圆．已知，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在直线上运动不3与0重合），将关于的内半圆半径记为，当：时，点的坐标的取值范围是
A． B．
C． D．
解：当时，
当时，设与切于点，过作的切线，交于，作于，连接，如图：
在直线上，
，
，
，
当时，，
，
根据对称性知此时，
当时，如图：
，
点在上，
由图可知，此时，
当时，，只需；
当时，作于，
，，
，
时，，
，
由得，
，
解得
当时，，，
，此等式不成立，即的半径总小于1，
，
综上所述：或，
故选：．
9．（3分）如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点，则的面积是
A． B． C． D．
解：四边形是平行四边形，
，，，
为中点，
，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
．
故选：．
10．（3分）要使展开式中项的系数与常数项相等，都等于10，则的值等于
A． B．6 C．8 D．
解：
，
展开式中项的系数与常数项相等，都等于10，
，，
解得，．
故选：．
二．填空题（共8小题，满分30分）
11．（3分）下列调查中，调查方式选择正确的是 ①② ①为了了解一批灯泡的使用寿命，选择抽样调查．②为了了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查．③为了了解某1000枚炮弹的杀伤半径，选择全面调查．④为了了解一批袋装食品是否有防腐剂，选择全面调查．
解：①了解1000个灯泡的使用寿命，③了解生产的一批炮弹的杀伤半径，④了解一批袋装食品是否含有防腐剂，都是具有破坏性的调查，无法进行普查，故不适于全面调查．②了解某公园全年的游客流量，工作量大，时间长，故需要用抽样调查．
故答案为：①②．
12．（3分）已知分式，为常数）满足表格中的信息：
的取值 0.4
分式的值 无意义 0 3
则的值是 4 ．
解：由表格可知：当时，且当时，，
解得，，
分式为，
当时，，
解得，
经检验，是分式的解，
故答案为：4．
13．（4分）某商场将商品按进货价提高后标价，若按标价的八折销售可获利40元，设该商品的进货价为元，根据题意列方程为 ．
解：设该商品的进货价为元，则商品的标价为元，八折后售价为元，
可列方程为，
故答案为：．
14．（4分）如图，在中，，，于点，于点，则以下三个结论：①；②；③中，正确的有 ①② ．
解：于，于，
，
在和中，
，
，
，，故①正确，
，
，
，
，故②正确，
在和中，只有一个角，一条边相等无法证明全等．故③错误，
故答案为：①②．
15．（4分）如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为，门宽为．这个矩形花圃的最大面积是 338 ．
解：设花圃的长为，面积为，
则关于的函数表达式为：
，
．
当时，面积最大为．
故答案为：338．
16．（4分）要测小山顶上一铁塔顶点离地面高度，在塔的正西一点处测得仰角，再沿着正西方向走了120米到了处，在处测得仰角，求的高 米．
解：根据题意可得：设，易得：在中，有，
在中，有，
故，
则的高为米．
17．（4分）如图，点为反比例函数上一点，连接，交反比例函数于点，点是轴上一点，且，则的面积为 4 ．
解：设点的坐标为，点的坐标为，
点是轴上一点，且，
点的坐标是．
设过点，，的直线为，
则，解得，
又点在直线上，
，
解得或（舍去）．
，
故答案为：4．
18．（4分）如图，正方形边长为4，点是对角线上一点且．延长线段至点，．过点作，点在直线上且．则的值是 2或 ．
解：分两种情况：
连接交延长与直线交于点，过点作于，过点作于，与交于点，
①如图1，
四边形是正方形，且，
，，，
，，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
设，则，
，
（负值舍），
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
；
②如图2，
由①知：，，
，
，
综上，的值是2或．
故答案为：2或．
三．解答题（共8小题，满分90分）
19．（12分）（1）化简：；
（2）解不等式组．
解：（1）
；
（2），
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
故原不等式组的解集是．
20．（10分）某校260名学生参加植树活动，要求每人植棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，棵；棵；棵；棵．将各类的人数绘制成扇形图（如图和条形图（如图，经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误．
回答下列问题：
（1）写出条形图中存在的错误，并说明理由；
（2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数；
（3）求这20名学生每人植树量的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵．
解：（1）错误，理由为：（人．
（2）众数为5棵，中位数为5棵
（3）（棵．
估计260名学生共植树（棵．
21．（10分）如图，，平分．
（1）尺规作图：在直线上取一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的图形中，连接．求证：四边形是菱形．
（1）解：如图，点为所作；
（2）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形．
22．（10分）把一副普通扑克牌中的4张：黑3，红4，梅5，方6，洗匀后正面朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是 ．
（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张，请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于9的概率．
解：（1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽取的两张牌牌面数字之和大于9的结果有4个，
抽取的两张牌牌面数字之和大于9的概率为．
23．（10分）如图，是等腰三角形的外接圆，，延长到点，使，连接交于点，连接与交于点．
（1）判断是否平分，并说明理由；
（2）若，，求的长．
解：（1）平分．（1分）
理由：，
．
，
，
．（4分）
，，
，
即平分．（6分）
（2）由（1）知．
．（8分）
，
，．
．（10分）
24．（12分）为了满足开展“阳光体育”大课间活动的需求，某学校计划购买一批篮球．根据学校的规模，需购买、两种不同型号的篮球共300个．已知购买3个型篮球和2个型篮球共需340元，购买2个型篮球和1个型篮球共需要210元．
（1）求购买一个型篮球、一个型篮球各需多少元？
（2）若该校计划投入资金元用于购买这两种篮球，设购进的型篮球为个，求关于的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若购买型篮球的数量不超过型篮球数量的2倍，则该校至少需要投入资金多少元？
解：（1）设购买一个型篮球需要元，购买一个型篮球需要元，
由题意，得：，
解得：，
答：购买一个型篮球需要80元，购买一个型篮球需要50元；
（2）设购进的型篮球为个，则设购进的型篮球为个，
由题意，得：，
关于的函数关系式为；
（3）购买型篮球的数量不超过型篮球数量的2倍，
，
解得：，
，，
随的增大而增大，
当时，有最小值，（元，
该校至少需要投入资金18000元．
25．（13分）如图①，在正方形中，点，分别为，边上的点，，将绕点顺时针旋转得到．
【操作证明】
（1）求证：；
【类比探究】
（2）如图②，在等边中，，分别为边上的点，，判断，．三条线段的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图③，在等腰中，点，在边上，，，，，若是等腰的腰，请直接写出线段的长．
（1）证明：由图象的旋转知，，，
，
四边形是正方形，
，
，
在和中，
，
，
，
即，
即；
（2）解：结论：．
理由：将围绕点旋转到的位置，连接，
由（1）知，，则，，
，
，，
，
，，
在中，，则，
过点作交的延长线于点，
在中，，则，，
，
，
．
（3）解：①当时，则，则，
在等腰中，，则，
将围绕点旋转到所在的位置（点对应点，连接，
由（2）同理可得：，
，
，故，
，
设，则，则，
过点作交的延长线于点，则，
，
，
，
；
②当时，
对应①中的，
故；
综上所述，或．
26．（13分）抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．
（1）若，，判断的形状，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，当时，的取值范围是，求的值；
（3）若为等边三角形，求的值（用含的代数式表示）．
解：（1），，
，
令，则，
解得或，
，，
令，则，
，
，
，
，，，
，
是直角三角形；
（2），
当时，函数有最小值，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围是，
，即，
当时，，
此时，解得或，
此时不成立；
当时，，
此时，解得（舍或，
综上所述：的值为；
（3），
，，
令，则，
解得或，
，，，，
，，
为等边三角形，
，
解得或．
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