7.5正态分布 导学案（含答案）

7.5正态分布导学案
教学目标：
1.了解服从正态分布的随机变量；了解正态曲线和正态分布的概念，能借助正态曲线理解正态曲线的特点及曲线表示的意义
2.了解变量落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小，会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间内的概率
3.了解正态分布的均值、方差及其含义；
教学重难点：
重点：认识分布曲线的特点及曲线所表示的意义.了解3σ原则.
难点：会求随机变量在特殊区间内的概率.
教学过程：
自主探究
连续型随机变量：随机变量，不是离散的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续性随机变量.
正态密度函数和正态密度曲线：
定义：我们称f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布(normal dis-tribution)，记为X～N(μ，σ2)．
特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．
3.正态分布的作用：在概率和统计中占有重要地位,它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.很多随机变量都服从或近似服从正态分布.例如,某些物理量的测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量；自动流水线生产的各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容)；某地每年7月的平均气温、平均湿度、降水量等.
4.正态曲线的特点：
由X的密度函数及图像可以发现，正态曲线有以下特点：
（1）对 x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方，与x轴不相交.
（2）曲线与x轴之间的面积为1.
（3）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
（4）曲线在x＝μ处达到峰值(最高点).
（5）当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
（6）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.
（7）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.
参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的
离散程度。
5.正态分布的期望和方差
6.3σ原则
定义：假设X～N(μ，σ2)，可以证明：对给定的k∈N*，P(μ－kσ≤X≤μ＋kσ) 是一个只与k有关的定值.特别地，
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
意义：尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况几乎不可能发生.（极小概率事件）通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.
尝试应用：
1.设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝e－，则这个正态总体的均值与标准差分别是(　　)
A.10与8　　　　　　　　 B.10与2
C.8与10 D.2与10
答案：B
2.下列函数是正态分布密度函数的是(　　)
A.f(x)=,μ,σ(σ>0)都是实数
B.f(x)=
C.f(x)=
D.f(x)=
解析:对照正态分布密度函数:f(x)=(x∈R),注意指数中的σ和系数的分母中的σ要一致,以及指数部分是一个负数.
答案:B
探究一、正态曲线
例1、（多选）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线，，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲类水果的平均质量
B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数
答案：AC
解析：由题图可知甲图像关于直线对称，乙图像关于直线对称.
所以，，，故A正确，C正确；
因为甲图像比乙图像更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误；
因为乙图像的最高点为，即，
故，故D错误.
跟踪训练：1.已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝__________，方差σ2=__________.
答案： 20 2
解析：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，
所以μ＝20，＝，解得σ＝，
因此总体的均值μ＝20，方差σ2＝()2＝2.
探究二、利用正态分布求概率
例2.据统计，某脐橙的果实横径(单位：mm)服从正态分布N(80，52)，则果实横径在[75，90]内的概率为(　　)
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.
A.0.682 7 B.0.841 3
C.0.818 6 D.0.954 5
答案：C
解析：由题得σ＝5，则P(80－5≤X≤80＋5)≈0.682 7，所以P(75≤X≤85)≈0.682 7；P(80－10≤X≤80＋10)≈0.954 5，所以P(70≤X≤90)≈0.954 5.所以P(85≤X≤90)≈＝0.135 9，所以果实横径在[75，90]内的概率为0.682 7＋0.135 9＝0.818 6.
跟踪训练：
1．重庆某中学为测试高三学生的数学水平，组织学生参加了2021年12月考，共有1600名学生参加，其测试成绩（满分150分）服从正态分布，成绩125分及以上者为优秀.已知115分及以上的人数为40人，请你通过以上信息，推断数学成绩优秀的人数为（ ）
附：，，.
A．8 B．13 C．16 D．32
答案：A
解析：，
，
，，
，.
2.设随机变量，，，则下列结论正确的为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：由，根据正态分布曲线的对称性可得，
所以
又，所以且
所以
三、拓展提高
例3.某厂生产的“T”形零件的外直径(单位：cm)ξ～N(10，0.22)，某天从该厂生产的“T”形零件中随机取出两个，测得它们的外直径分别为9.52 cm和9.98 cm，试分析该厂这一天的生产状况是否正常.
解：正态变量几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，所以可通过判断取出的产品的外直径是否落在这一区间内来分析生产状况是否正常.因为ξ～N(10，0.22)，所以μ＋ 3σ＝10＋3×0.2＝10.6，μ－3σ＝10－3×0.2＝9.4，因为9.52在[9.4，10.6]内，9.98在[9.4，10.6]内，所以该厂这一天的生产状况是正常的.
跟踪训练： 1.据调查统计，某校男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(174，9).若该校有男生3 000人，则估计该校男生身高在[174，180]范围内的人数为　　　　.
答案：1 432
解析：因为身高X～N(174，9)，所以μ＝174，σ＝3.
所以μ－2σ＝174－2×3＝168，μ＋2σ＝174＋2×3＝180，
所以身高在[168，180]范围内的概率约为0.954 5.
因为μ＝174，
所以身高在[168，174]和[174，180]范围内的概率相等，均约为0.477 25.
故该校男生身高在[174，180]范围内的人数约为3 000×0.477 25≈1 432.
四、达标检测
1.已知随机变量X服从正态分布N(a，4)，且P(X>1)＝0.5，则实数a的值为(　　)
A.1　　　　　　　　　　　 B.
C.2 D.4
解析：选A.因为随机变量X服从正态分布N(a，4)，所以曲线关于x＝a对称，所以P(X>a)＝0.5.由P(X>1)＝0.5，可知a＝1.
2.已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)≈0.682 7，则P(X>4)＝(　　)
A.0.158 8 B.0.158 65
C.0.158 6 D.0.158 5
解析：选B.由于X服从正态分布N(3，1)，故正态分布曲线的对称轴为直线x＝3.
所以P(X>4)＝P(X<2)，
故P(X>4)＝≈
＝0.158 65.
3.若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5.设ξ～N(1，σ2)，且P(ξ>3)≈0.158 65，则σ＝　　　　.
解析：因为P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，所以P(ξ>μ＋σ)≈×(1－0.682 7)＝0.158 65.因为ξ～N(1，σ2)，P(ξ>1＋σ)≈0.158 65，所以1＋σ＝3，即σ＝2.
答案：2
4.已知某地农民工年均收入X服从正态分布，其正态密度函数的图象如图所示.
(1)写出此地农民工年均收入的正态密度函数的表达式；
(2)求此地农民工年均收入在[8 000，8 500]元的人数所占的百分比.
解：设此地农民工年均收入为X～N(μ，σ2)，
结合题图可知，μ＝8 000，σ＝500.
(1)此地农民工年均收入的正态密度函数的表达式为f(x)＝e－＝e－，x∈(－∞，＋∞).
(2)因为P(7 500≤X≤8 500)＝P(8 000－500≤X≤8 000＋500)≈0.682 7.
所以P(8 000≤X≤8 500)＝P(7 500≤X≤8 500)≈0.341 4＝34.14%.
即此地农民工年均收入在[8 000，8 500]元的人数所占的百分比为34.14%.
5．学校准备筹建数学建模学习中心，为了了解学生数学建模（应用）能力，专门对高二报名的100名学生进行了数学建模闭卷测试，得分在45~95之间，分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40.
(1)请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)根据样本数据，可认为参与建模测试的学生分数近似服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，近似为样本方差.
①求；
②学校为鼓励学生积极参与数学建模活动，决定对本次测试中90.8分以上的同学进行表彰.若某班正好有6人参与了这次测试，求这个班至少有1人获得表彰的概率.
参考数据：若，则，，，，，.
12．(1)，；
(2)①；②.
【详解】(1)由频率分布直方图可知组距，第三组频数为40，总共有100人，
则第三组频率，根据频率之和为1，
可知第4组的频率为，
所以，
(2)①，，
②记“6人中至少1人获得表彰”为事件，
则，
所以
课堂小结：
通过本节课的学习，你有什么收获？