（苏教版）2023届高三下学期5月冲刺训练——数学试题（二）（含解析）

（苏教版）2023届高三下学期5月冲刺训练——数学试题（二）
一、单选题
1．设集合，且，则（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
2．若（为虚数单位），则（ ）
A． B．5 C．3 D．1
3．某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2012年到2020年共9年“年货节”期间的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额看成年份序号（2012年作为第1年）的函数．运用Excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法中正确的个数为（ ）
①销售额与年份序号呈正相关关系；
②销售额与年份序号线性相关不显著；
③三次函数回归曲线的效果好于回归直线的拟合效果；
④根据三次函数回归曲线可以预测2021年“年货节”期间的销售额约为8454亿元．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知数列的前项和为，且．若，则（ ）
A．116 B．232 C．58 D．87
5．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被m除得的余数相同，则称和对模m同余，记为.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，，则的值可以是（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
6．函数的图象如图所示，则以下结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．在上的零点之和为
D．最大值点到相邻的最小值点的距离为
7．已知A，B，C为椭圆上不同的三点，则△ABC的面积最大为（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（ ）
A．该平台女性主播占比的估计值为0.4
B．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7
C．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名
D．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.6
10．我国春秋时期便有了风筝，人们用折纸做成了风筝并称为“纸鸢”，我们把如图1的“纸鸢”抽象成如图2的四棱锥，如果于点，，，下列说法正确的是（ ）
A．是等腰直角三角形 B．平面平面
C．平面 D．到，，，距离均相等
11．已知数列和满足，，，．则下列结论不正确的是 （ ）
A．数列为等比数列
B．数列为等差数列
C．
D．
12．已知实数，满足方程.则下列选项正确的是（ ）
A．的最大值是
B．的最大值是
C．过点作的切线，则切线方程为
D．过点作的切线，则切线方程为
三、填空题
13．若函数是R上的奇函数，且周期为3，当时，，则______.
14．用0到4这5个数字．可组成没有重复数字的四位偶数的个数是______（用数字作答）．
15．若曲线上恰有四个不同的点到直线及点的距离都相等，则实数a的一个值可以是______．
四、双空题
16．若函数在上具有单调性，且为的一个零点，则在上单调递__________（填增或减），函数的零点个数为__________．
五、解答题
17．为了回馈顾客，某商场通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，每位顾客从一只装有4个标有面值的球的袋子中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励金额.
(1)若袋子所装的4个球中有2个所标面值为50元，2个所标面值为10元，求顾客所获得奖励金额的概率分布和数学期望；
(2)现有标有面值10元，20元，40元，50元小球（除所标面值外其他属性都相同）若干.
①若袋中的4个球有且仅有两种面值，且两种面值的和为60，袋中的4个球有多少种装法；
②若商场奖励总额的预算是60000元，为了使顾客得到的奖励近可能符合商场的预算且每位顾客所获得的奖励金额相对均衡，请从①的装法中选择一个最合适的，并说明理由.
18．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
在中，内角，，所对应的边分别为，，，且满足________．
(1)求；
(2)若，，为边上的一点，且，求．
19．如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC.
20．设同时满足条件：①；②，是常数）的无穷数列叫做数列，已知数列的前项和满足为常数，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列为等比数列，求的值；并证明数列为数列．
21．设椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l：与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与y轴交点，求（O为坐标原点）面积的最大值．
22．若对实数，函数，满足且，则称为“平滑函数”，为该函数的“平滑点”.已知，.
(1)若1是平滑函数的“平滑点”，
（ⅰ）求实数，的值；
（ⅱ）若过点可作三条不同的直线与函数的图象相切，求实数的取值范围；
(2)对任意，判断是否存在，使得函数存在正的“平滑点”，并说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】直接根据条件得关于的方程求解即可.
【详解】集合，且.
则，解得.
故选：B.
2．A
【分析】求出的代数形式，然后求模即可.
【详解】，
.
故选：A.
3．B
【分析】由散点图分布趋势知①正确；由相关系数知②错误；根据两模型相关系数大小关系可知③正确；将代入三次函数方程即可求得的预估值，知④错误．
【详解】根据图象可知，散点从左下到右上分布，销售额与年份序号呈正相关关系，①正确；
相关系数，靠近，销售额与年份序号线性相关显著，②错误；
根据三次函数回归曲线的相关指数，相关指数越大，拟合效果越好，所以三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果，③正确；
由三次函数，当时，亿元，④错误．
故选：B．
4．A
【分析】根据等差数列的性质和前项和公式求解.
【详解】∵，∴，∴为等差数列，
∴ ，
∵，∴，
∴，
故选:A．
5．A
【分析】利用二项式定理化简为，展开可得到被10除余9，由此可得答案.
【详解】
,
所以被10除余9，
2019,2020,2021,2022除以10余9的是2019，
故选：A.
6．D
【分析】根据函数的图象求出所以选项A正确；恒成立，所以选项B正确；求出所以选项C正确；求出最大值点到相邻得最小值点的距离为所以选项D错误.
【详解】，
，
所以选项A正确；
恒成立，所以选项B正确；
，则，则
时时，时，，
所以选项C正确；
最大值点到相邻得最小值点的距离为所以选项D错误.
故选：D.
7．D
【分析】分情况，当中一条边垂直于轴与不垂直两种情况讨论，再分别设方程，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理与弦长公式，根据题意列出三角形的面积公式，再构造函数求导分析最大值即可.
【详解】①当中一条边垂直于轴时，不妨设，直线方程为，易得当面积最大时，为椭圆右顶点.
此时，，故，设，则恒成立，此时的最大值为.
②当中不存在垂直于轴的边时，根据题意，当面积最大时，不妨设，此时过的切线与平行，设为，此时必有.
联立，则，设，则.
故，
联立，则，判别式可得，即，因为，，
故到距离，
.
设，由题意，，则，则当时，取最大值，此时.
综上△ABC的面积最大为.
故选：D
【点睛】本题主要考查了椭圆中的三角形面积最值问题，需要根据题意分情况讨论，联立直线与椭圆的方程，得出韦达定理，求得弦长，再根据面积表达式的形式，考虑构造函数求导分析最大值求解.属于难题.
8．C
【分析】实数，满足，通过讨论，得到其图象是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图象分析可得的取值就是图象上一点到直线距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案.
【详解】因为实数，满足，
所以当时，，其图象是位于第一象限，焦点在轴上的椭圆的一部分（含点），
当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，
当时，其图象是位于第二象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，
当时，其图象不存在，
作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下：
任意一点到直线的距离
所以，结合图象可得的范围就是图象上一点到直线距离范围的2倍，
双曲线，其中一条渐近线与直线平行
通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值，小于两平行线与之间的距离的倍，
设与其图像在第一象限相切于点，
由
因为或（舍去）
所以直线与直线的距离为
此时，
所以的取值范围是．
故选：C．
9．AC
【分析】A选项，结合图1和图2求出三个年龄段中女性人数；B选项，在A选项基础上，求出相应的概率；C选项，求出三个年龄段主播的比例，从而得到中年主播应抽取的人数；D选项，设出事件，利用条件概率公式求出答案.
【详解】A选项，由图1可以看出选取300人中其他人群人数为，
青年人人数为，中年人人数为，
由图2可以看出青年人中女性人数为，中年人中女性人数为，
其他人群中，女性人数为，
故该平台女性主播占比的估计值为，A正确；
B选项，中年人中男性人数为，
故从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为，B错误；
C选项，三个年龄段人数比例为青年主播，中年主播和其他人群主播比例为，
故用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取名，C正确；
D选项，从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，设幸运主播是青年人为事件，随机选取一位做为幸运主播，设幸运主播是女性主播为事件，
则，，，D错误.
故选：AC
10．AB
【分析】依题意可得且，即可判断A，由，，即可证明平面，即可判断B，过点作于点，由面面垂直的性质得到平面，再利用反例说明C、D.
【详解】因为且，所以与均为等腰直角三角形，且，
所以，且，则，所以是等腰直角三角形，故A正确；
因为，，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，故B正确；
过点作于点，因为平面平面，平面，
所以平面，
若，则不为点，此时平面不成立，故C错误；
设点到，，，的距离分别为、、、，
若到，，，距离均相等，则，
则，故点为与的角平分线的交点，当时不在的平分线上，故D错误.
故选：AB
11．BCD
【分析】对A，条件两等式相减，根据定义判断等比数列；
对B，条件两等式相加，根据定义判断等差数列；
对C，由B的结论求出通项，再求第6项；
对D，由AB的结论求出通项公式，再两式相加.
【详解】对A，，
即，，
故数列为首项为1，公比为3的等比数列，A对；
对BC，，
即，即，
故数列为首项为，公比为2的等比数列，
故，故，
故数列不为等差数列，，BC错；
对D，由A得，又，两式相加得，
即，D错.
故选：BCD
12．AD
【分析】将整理为，方程表示以为圆心，半径为的圆，设，即，由圆心到直线的距离等于半径时直线与圆相切，求得直线斜率的最值，可判断AB；先判断在圆上，再利用圆心与该点确定直线方程的斜率，利用两直线垂直时斜率之积为，可求出切线的斜率，即可求出切线方程, 可判断CD.
【详解】对于AB，设，即，由圆心到直线的距离等于半径时直线与圆相切，即，解得，即，，即的最大值是，故A正确，B错误；
对于CD，显然点在圆上，过与圆心的直线斜率为，由切线性质知，切线斜率，所以切线方程为，整理得，故C错误，D正确.
故选：AD
【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆的综合问题，常见类型及解题策略
（1）处理直线与圆的弦长问题时用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
（2）圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
13．
【分析】根据奇偶性和周期性，得到，，从而求出答案.
【详解】函数是R上的奇函数，则，
则，
又因为的周期为3，所以，
故，
所以，
，
故.
故答案为：
14．60
【分析】本题备选数字有0，所以要对0是否在个位进行讨论：当个位为0时，直接排剩余三位即可；当个位不为0时(个位为2或4)，再用间接法：先直接排剩余三位，再排除首位为0的可能．
【详解】当个位为0时，；
当个位不为0时，；
可组成没有重复数字的四位偶数的个数是60．
故答案为：60．
15．（填写区间内的任一实数均可）
【分析】先求到直线和点的距离相等的点的轨迹方程，再由其与曲线有四个交点求出的范围，由此可得结论.
【详解】到直线及点的距离都相等的点的轨迹
为以为准线以为焦点的抛物线，
设其方程为，则，
所以．
由，得或．
由已知曲线与曲线有四个交点，
因为与关于轴对称，
抛物线关于轴对称，
所以曲线与射线有两个位于轴上方的交点，
由得，
所以有两个正根，
所以，且
故满足题意的实数a的取值范围是．
故答案为：（填写区间内的任一实数均可）
16． 增 9
【分析】根据函数在上具有单调性，限定周期的范围，得出的范围，再由函数的零点得出关于的等式，结合这两个条件求出的值，再数形结合得出结果.
【详解】因为在上具有单调性，
所以，即，．
又因为，
所以，即，
只有，符合要求，此时．
当时，，
所以在上单调递增．
因为的最大值为1，而，，
作出函数与的图象，由图可知，这两个函数的图像共有9个交点，所以函数的零点个数为9．
故答案为：增；9.
17．(1)见解析，60元
(2)①6；②选择装法为，理由见解析
【分析】（1）根据古典概型求出概率，列出分布列，求出期望即可；
（2）根据期望分析可能方案为，(20,20,40,40)，计算两个方案的期望与方差，即可比较得出结论.
【详解】（1）设顾客所获得奖励金额为，则的可能取值为20，60，100，
，，
所以的分布列为：
20 60 100
（元）.
（2）①两种面值的和为60可以装10元与50元，也可装20元与40元面值的小球，
每类都有3种装法：其中一种面值1,2,3个小球，另一种面值小球对应个数3,2,1个小球，
故由分类加法原理知，袋中小球不同的装法共有种.
②选择装法为，理由如下，
根据商场的预算,每名顾客的平均奖励额为60000÷1000=60(元),故先寻找数学期望为60元的可能方案.
当小球标有的面值为10元和50元时,若选择(10,10,10,50)的方案,60元是面值之和的最大值，数学期望不可能为60；
当选择(50,50,50,10)的方案,60元是面值之和的最小值，数字期望也不可能是60元.
因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.
当小球标有的面值为20元和40元时,同理可排除(20,20,20,40),(40,40,40,20)的方案,
可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2
以下对两个方案进行分析:
对于方案1，即方案(10,10,50,50)，由（1）知元,
.
对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为元，的可能取值为40,60,80.
则 ，，.
所以的分布列为：
40 60 80
所以（元）.
.
∵两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差要比方案1的小，
应该选择方案2，即袋中标有面值20元和40元的球各两个.
18．(1)
(2)
【分析】（1）选①：由条件和正弦定理得，根据得出，根据二倍角公式得出，进而得出，再结合的范围即可求出；选②：由二倍角公式及同角三角函数的平方关系得出，解出，再结合的范围即可求出；
（2）首先在中，由余弦定理求出和，在中，由正弦定理得出，由得出代入，结合二倍角公式即可得出答案．
【详解】（1）选择①：
在中，由正弦定理，得．
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为，
所以，
所以，所以．
选择②：
因为，
所以，
所以，
所以，即，
解得或（舍去），
因为，所以．
（2）在中，由余弦定理，
得，解得，
，
在中，由正弦定理得：，
得，
因为，
所以，
所．
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）建系，利用空间向量证明线性垂直；
（2）利用空间向量证明线面垂直.
【详解】（1）由题意知AD⊥BC，如图，以O为坐标原点，
以过O点且平行于BC的直线为x轴，OD，OP所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz.
则，
可得，
∵
∴，即AP⊥BC.
（2）由（1）可得，
∵M是AP上一点，且AM＝3，
∴，
可得，
设平面BMC的法向量为，则，
令b＝1，则，即，
显然，故∥，
∴AM⊥平面BMC.
20．(1)
(2)，证明见解析
【分析】(1)根据关系，结合条件求数列的通项公式；
(2)根据等比数列性质求的值；根据数列的定义证明结论.
【详解】（1）当时，，．
当时，，
整理得，又，
所以，
即数列是以为首项、为公比的等比数列，
；
（2）由（1）知，，，
所以，，，
由数列是等比数列，则，
故，解得，
再将代入式，得．
因为，所以数列为等比数列，故满足要求；
由于，满足条件①；
又由于，故存在满足条件②．
故数列为数列．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的离心率和通径求出，即可得出答案；
（2）设，MN的中点为，联立方程，利用韦达定理求得，，从而可求得线段MN的垂直平分线方程，再将点代入可得的关系，再结合可得的范围，再结合弦长公式及三角形的面积公式化简整理即可得出答案.
【详解】（1）设，
由离心率知，，所以，
易知，过F且与x轴垂直的直线方程为，
代入椭圆方程中，得，解得，
由题意，得，得，
由，，解得，
所以椭圆C的方程为；
（2）由，消去y得①，
由，得②，
设，MN的中点为，
由韦达定理，得，，
则，，
∴线段MN的垂直平分线方程为：，
将P点的坐标代入上式中，得，
化简得：，代入②式中，有，得，
，
设原点O到直线MN的距离为d，则，
∴
，
当时，有最大值，
此时，由知，，
∴面积的最大值为．
【点睛】方法点睛：对于直线与椭圆相交的有关三角形的面积的最值问题，一般是联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式，写出面积的表达式，转化为二次函数问题，或利用导数，或利用基本不等式寻求最值.
22．(1)（ⅰ），；（ⅱ）
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）（ⅰ）求导列出a.b的方程求解即可, （ⅱ）转化为方程：有3个不同根，构造函数结合图像求解即可；（2）消参得成立，转化为是否恒成立，构造函数证明即可
【详解】（1）（ⅰ）由，，
则，，
由题意，1是平滑函数的“平滑点”，
可知，且，解得：，.
（ⅱ）由题意，，过点作的切线，
切点满足方程：，
故题意等价于方程：有3个不同根，
设，
则，
令，即；令，即或，
所以函数在单调递增，在和上单调递减，
且，，如图所示，
所以.
（2）题意等价于：，是否，使得有解，
消去a有：，，其中由，可得，
故题意进一步化简，是否，使得成立，
，是否恒成立，
设，，
故时，单调递减；，单调递增，
故得证，
即，，使得存在的“平滑点”．
【点睛】方法点睛：定义函数问题，主要根据定义理解函数性质特征，结合函数求导求解即可.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页