河南省2023届高三下学期5月热身卷理科数学试题（二）（老高考）（含解析）

河南省2023届高三下学期5月热身卷理科数学试题（二）
（老高考）
一、单选题
1．已知集合，，且（为虚数单位），则
A． B． C．或 D．
2．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．12 B．4 C．3 D．1
4．某科研团队通过电催化结合生物合成的方式，将二氧化碳和水高效合成高纯度乙酸，并进一步利用微生物合成葡萄糖和脂肪酸（油脂），该工作的突破，为人工和半人工合成“粮食”提供了新技术．在对照实验过程中，科研人员将收集到的实验组与对照组的实验数据进行记录如图，由于不小心被化学物质腐蚀了两个数据，已知被腐蚀前对照组的数据总值比实验组大35，被腐蚀后实验组的中位数增加了1，则对照组与实验组被腐蚀数据分别是（ ）
A．17；14 B．15；14
C．17；15 D．16；13
5．在倡导“节能环保”“低碳生活”的今天，新能源逐渐被人们所接受，进而青睐，新能源汽车作为新能源中的重要支柱产业之一取得了长足的发展．为预测某省未来新能源汽车的保有量，采用阻滞型模型进行估计．其中y为第t年底新能源汽车的保有量，r为年增长率，M为饱和量，为初始值（单位：万辆）．若该省2021年底的新能源汽车拥有量为20万辆，以此作为初始值，若以后每年的增长率为0.12，饱和量为1300万辆，那么2031年底该省新能源汽车的保有量为（精确到1万辆）（参考数据：，）（ ）
A．62万 B．63万 C．64万 D．65万
6．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．若D是BC边的中点，且，则面积的最大值为（ ）
A．16 B．
C． D．
7．如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．0 B． C． D．
8．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，当与圆相切时，的中点到的准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．记函数的最小正周期为．若，且的图象的一条对称轴为，关于该函数有下列四个说法：
①；
②；
③在上单调递增；
④为了得到的图象，只需将的图象向右平移个单位长度．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．若定义域为的函数及其导函数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知椭圆，离心率为，过的直线分别与相切于，两点，则直线方程为（ ）
A．或 B．
C． D．或
12．已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标系原点）的斜率为，则
A．至少存在两个点使得 B．对于任意点都有
C．对于任意点都有 D．存在点使得
二、填空题
13．已知，，则_______________________．
14．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________.
15．折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸．课堂上，老师给每位同学发了一张长为12cm，宽为10cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠．若折痕（线段）将纸片分为面积比为1：3的两部分，则折痕长度的取值范围是______cm．
16．在三棱锥中，平面ABC，是边长为2的正三角形，，Q为三棱锥外接球球面上一动点，则点Q到平面PAB的距离的最大值为______
三、解答题
17．已知数列的前项和为，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，试判断是否为等差数列，并说明理由．
18．现在常常可以看到人们在走路、吃饭或乘车时低着头玩手机，长期下来，就很容易使颈椎损伤，患上颈椎病.某学习小组调查研究“长期使用智能手机对颈椎病的影响”，随机选取了100名手机用户得到部分统计数据如下表，约定日使用手机时间超过4小时为“频繁使用手机”.已知“频繁使用手机”的人数比“非频繁使用手机”的人数少24人.
非频繁使用手机 频繁使用手机 合计
颈椎病人数 8
非颈椎病人数 16
合计 100
(1)求表中p，q的值，并补全表中所缺数据；
(2)根据2×2列联表，判断是否有99.9%的把握认为“频繁使用手机”对颈椎病有影响.
附：，其中.
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．在四棱锥Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，，QC=3.
(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；
(2)若点P为四棱锥Q－ABCD的侧面QCD内（包含边界）的一点，且四棱锥P－ABCD的体积为，求BP与平面ABCD所成角的正弦值的最小值.
20．已知函数为的导函数．
(1)求不等式的解集；
(2)设函数，若在上存在最大值，求实数a的取值范围．
21．已知函数，其中且．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围．
22．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．
(1)求的解析式；
(2)若函数，求在区间上的所有最大值点．
23．已知x，y，z为正数，证明：
(1)若，则；
(2)若，则．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【详解】由 有 或 ，所以集合 ，由 有 ，所以 ，集合 ，则 ,选D.
2．B
【分析】解出集合，将集合进行运算即可得出结论.
【详解】，，
而，则
，故A错误，B正确；
，故C错误；
，故D错误；
故选：B.
3．D
【分析】由已知及夹角，再应用向量的数量积公式即可求得.
【详解】由已知,
所以
故选:D.
4．D
【分析】设对照组的腐蚀数据的个位数为，实验组的腐蚀数据的个位数为，由题意可得，再由中位数的定义可求得即可求出答案.
【详解】设对照组的腐蚀数据的个位数为，实验组的腐蚀数据的个位数为，
被腐蚀后的对照组的数据总值为：，
被腐蚀后的实验组的数据总值为：
，
被腐蚀后的实验组的数据的中位数为，
被腐蚀前对照组的数据总值比实验组大35，即，
即，
被腐蚀前的实验组的数据的中位数为，
被腐蚀后实验组的中位数增加了1，即，解得：，
.
故对照组与实验组被腐蚀数据分别是16,13.
故选：D.
5．C
【分析】把已知数据代入阻滞型模型，求出对应的值即可．
【详解】根据题中所给阻滞型模型，代入有关数据，注意以2021年的为初始值，
则2031年底该省新能源汽车的保有量为，
因为，所以，
所以
故选：C
6．B
【分析】首先根据题意利用余弦定理得到，根据是边BC的中点得到，从而得到，再利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，由正弦定理得，
所以，，
因为，所以.
因为是边BC的中点，所以，.
因为，所以，
所以，当且仅当时，等号成立.
所以，即面积最大为．
故选：B
7．C
【分析】取的中点，连接，，根据，得到为异面直线与所成的角求解.
【详解】解：如图，
取的中点，
连接，.则，所以或其补角即为异面直线与所成的角，
直三棱柱中，因为平面平面，且平面平面，，
所以平面，平面，所以，
依据题意，不妨设，则，，，
所以，
故选：C
8．D
【分析】根据题意，设直线的方程为，由直线与圆相切可得，再联立直线与抛物线方程，结合焦半径公式即可得到结果.
【详解】由题意知，设直线的方程为.
因为直线与圆相切，
所以圆心到的距离，解得，
所以直线的方程为，联立，得，则，
所以的中点到的准线的距离为
.
故选:D
9．B
【分析】利用周期公式求出的范围可判断①；由为一条对称轴得，结合的范围可求得，从而得出的解析式，求值可判断②；利用正弦函数的单调性可判断③；利用三角函数图象平移的规律可判断④.
【详解】由且，故，故①错误；
因为为一条对称轴，故，．由于，故，则，所以，故②正确；
当时，，则在上单调递增，故③正确；
将的图象向右平移个单位长度得的图象，而，故④错误．
所以，正确的有②③，共2个．
故选：B．
10．A
【分析】根据条件构造函数，再利用导数判断函数的单调性，即可代入数值，比较大小.
【详解】设，则，
因为，所以，即单调递增，
所以，即，
化简为.
故选：A
11．A
【分析】首先证明椭圆上一点处的切线方程为：，即可得到点是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦的方程为，再根据离心率分类讨论分别求出椭圆方程，即可得到切点弦方程．
【详解】首先证明椭圆上一点处的切线方程为：，
①当切线斜率存在时, 设过点的切线方程为，
联立方程，得，
，即，
，
又，
把代入中，得，
，
化简得.
②当切线斜率不存在时，过的切线方程为，满足上式.
综上，椭圆上一点的切线方程为：.
再证明若点是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，
切点分别为，，则切点弦的方程为．
这是因为在，两点处，椭圆的切线方程为和．
两切线都过点，所以得到了和，
由这两个“同构方程”得到了直线的方程；
因为椭圆，离心率为，
若焦点在轴，则，，所以，
所以，解得，所以椭圆，
所以过作椭圆的两条切线方程，
切点弦方程为；
若焦点在轴，则，，所以，
所以，解得，所以椭圆，
所以过作椭圆的两条切线方程，
切点弦方程为，即；
综上可得直线方程为或.
故选：A
12．C
【分析】利用排除法，对给出的四个选项分别进行分析可得出正确的结论．
【详解】设点的坐标为，则．
对于D，当时，一方面，另一方面容易证成立，
所以，因为与中两个等号成立条件不一样，所以恒成立，所以，因此D不成立．
对于B，当时，，所以，所以B不成立．
对于A，至少存在两个点使得，也就是至少存在两解，
即至少存在两解，恒成立，
所以至多存在一解，所以A不成立．
综合以上分析可得选项C正确．
故选C．
【点睛】本题难度较大，考查内容较多，解题时要抓住的几何特征，通过对曲线上点的坐标的分析，得到的大小关系，进而得到的取值范围．同时在解题中还应注意不等式放缩、导数与单调性的运用，逐步达到解题的目的．
13．
【分析】结合二倍角公式，同角三角函数的基本关系式求得的值.
【详解】因为，所以，由可得，整理可得，
．
故答案为：
14．
【分析】求出抛物线的焦点，根据可求的值，从而可求渐近线方程.
【详解】∵抛物线的焦点是（2，0），∴，，∴，
∴．所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为: .
15．
【分析】求出长方形纸片的面积，不妨设折痕将纸片分成两部分的面积分别为，，则，分三种情况，表达出折痕的平方，根据得到自变量的取值范围，结合函数的单调性，求出折痕长度的取值范围.
【详解】由题意得长方形纸片的面积为，不妨设折痕将纸片分成两部分的面积分别为，，且，则，．
如图，其中，
当折痕MN为图（1）所示的三角形一边时，
设，，则，解得，
则，
令，，则，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，，，故，
故．
当折痕MN为图（2）所示的梯形一边时，
设，，则，解得，
则，，
根据二次函数的性质可知，，则．
当折痕MN为图（3）所示的梯形一边时，
设，，则，解得，
则，，
根据二次函数的性质可知，，则．
综上所述，折痕长度的取值范围为．
故答案为：
16．
【分析】根据给定条件求出三棱锥外接球半径及球心O到平面PAB的距离即可推理计算作答.
【详解】令三棱锥外接球球心为O，正所在平面截球面所得小圆圆心为，连接，如图，
则平面ABC，而正边长为2，即有，
因平面ABC，则三棱锥外接球球心为O在过线段PA中点，且垂直于线段PA的平面内，
显然过线段PA中点垂直于线段PA的平面与平面ABC平行，则，
于是得球O的半径，
取PB中点，AB中点D，连接，
因是直角三角形，则是平面PAB截球O所得截面小圆圆心，因此，平面PAB，
而，，则平面ABC，必有，，于是得四边形是平行四边形，，
由球面的性质知，点Q是经过点的球面直径端点且球心在点与Q之间时，点Q到平面PAB的距离最大，
此最大距离为，
所以点Q到平面PAB的距离的最大值为.
【点睛】关键点睛：涉及几何体的外接球问题，根据给定条件结合球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.
17．(1)
(2)不能是等差数列，理由见解析
【分析】（1）当，可得答案；
（2）利用等差中项判断可得答案.
【详解】（1）当时，，
当，，
当时，，综上.
（2）依题意有，，，
，知不能是等差数列．
18．(1)，，补全表中所缺数据见解析.
(2)有的把握认为频繁使用手机对颈椎病有影响。
【分析】（1）频繁使用手机的人数比非频繁使用手机的人数少24人，且样本容量为100，可计算出频繁使用手机的人数和非频繁使用手机的人数，则可求表中p，q的值，可补全表中所缺数据；
（2）根据2×2列联表计算，与临界值比较后下结论.
【详解】（1）因为频繁使用手机的人数比非频繁使用手机的人数少24人，而频繁使用手机的人数与非频繁使用手机的人数之和为100，所以频繁使用手机的人数为38，非频繁使用手机的人数为62，
所以，，
补全表中所缺数据如下：
非频繁使用手机 频繁使用手机 合计
颈椎病人数 8 22 30
非颈椎病人数 54 16 70
合计 62 38 100
（2）根据题意计算观测值为 ，
所以有的把握认为频繁使用手机对颈椎病有影响.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点为，连接，，通过等腰三角形三线合一结合勾股定理可证，，再利用面面垂直的判定方法可得平面平面.
（2）建立合适的空间直角坐标系，首先得到点的轨迹是的中位线，点的轨迹是的中位线，从而得到线面角的正弦表达式，利用函数单调性即可求出其最值.
【详解】（1）取的中点为，连接，.
因为，，则，
而，，故.
在正方形中，因为，故，故，
因为，故，故为直角三角形且，
因为，且平面，
故平面，
因为平面，故平面平面.
（2）在平面内，过作，交于，因为，则.
结合（1）中的平面，且平面，
则，故直线两两互相垂直，
故以为坐标原点，所在直线分别为轴建如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，
故，，.
因为，所以，
又因为点为四棱锥的侧面内的一点（包含边界），
所以点的轨迹是的中位线，
设，则，，
设与平面所成角为，
则，，
当时，取得最小值，
所以与平面所成角的正弦值的最小值为.
20．(1)；
(2).
【分析】（1）由题可得，解之即得；
（2）分，，讨论，利用导数研究函数的单调性，可得或不合题意，当时利用导数结合零点存在定理可得在上存在极大值，进而即得.
（1）
因为，其定义域为，
所以,
不等式，可化为,
即，
解得或．
所以不等式的解集为．
（2）
由题可得，
令，则，
①当时，，在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，无最大值，不符合题意，
②当时，在上单调递减，所以，
所以在上单调递减，无最大值，不符合题意．
③当时，由，可得，
∴，在上单调递增，，在上单调递减；
设，则，
令，则；令，则，
所以在上单调递减，在单调递增，
所以，即，
由此可得，当时，，即．
所以当时，．
取，则，且．
又，所以由零点存在性定理，存在，使得，
所以当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上存在最大值，符合题意．
综上，实数a的取值范围为．
【点睛】方法点睛：函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
21．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先求定义域，再求导，分与两种情况，求解函数的单调性；
（2）先进行必要性探究，得到，再进行充分性证明，令，求导后得到其最小值为，故只需证明在上恒成立，构造，求导后得到单调性，求出，即，再结合，证明出结论.
【详解】（1）定义域为，
，
当时，，故恒成立，
此时在上单调递减，
当时，令，解得：，
令，解得：，
故在上单调递减，在上单调递增，
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：由题意得在上恒成立，
即，令，故，
接下来进行充分性证明：
令，则，
令，解得：，
故当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，
，
故只需证明恒成立，
当时，令，故，
即函数在上单调递减，故，即，故，
而由可知，故恒成立，
所以，实数的取值范围是
【点睛】数学问题的转化要注意等价性，也就是充分性与必要性兼备，有时在探求参数的取值范围时，为了寻找解题突破口，从满足题意得自变量范围内选择一个数，代入求得参数的取值范围，从而得到使得问题成立的一个必要条件，这个范围可能恰好就是所求范围，也可能比所求的范围大，需要验证其充分性，这就是所谓的必要性探路和充分性证明，对于特殊值的选取策略一般是某个常数，实际上时切线的横坐标，端点值或极值点等.
22．(1);
(2)与.
【分析】（1）先求出平移后的解析式，再求出伸缩变换后的解析式；
（2）结合函数特点，分与两种情况下进行求解.
（1）
的图象向右平移个单位长度，得到,
再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数
（2）
，
当时，，所以，
因为，所以，
故当，即时，取得最大值，最大值为2；
当时，，所以，
因为，所以，
故当，即时，取得最大值，最大值为2；
两者取到的最大值相同均为2，
综上：求在区间上的所有最大值点有与.
23．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用基本不等式进行证明；
（2）根据柯西不等式可以证明.
【详解】（1）因为，所以，
同理可得，，
所以，故，
当且仅当时等号成立．
（2），
因为，所以，当且仅当时等号成立．
答案第1页，共2页
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