河南省2023届高三下学期5月热身卷理科数学试题（五）（老高考）（含解析）

河南省2023届高三下学期5月热身卷理科数学试题（五）
（老高考）
一、单选题
1．已知为虚数单位，复数，且，则
A． B．或 C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．设向量，夹角的余弦值为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
4．某科研团队通过电催化结合生物合成的方式，将二氧化碳和水高效合成高纯度乙酸，并进一步利用微生物合成葡萄糖和脂肪酸（油脂），该工作的突破，为人工和半人工合成“粮食”提供了新技术．在对照实验过程中，科研人员将收集到的实验组与对照组的实验数据进行记录如图，由于不小心被化学物质腐蚀了两个数据，已知被腐蚀前对照组的数据总值比实验组大35，被腐蚀后实验组的中位数增加了1，则对照组与实验组被腐蚀数据分别是（ ）
A．17；14 B．15；14
C．17；15 D．16；13
5．某流行病调查中心的疾控人员针对该地区某类只在人与人之间相互传染的疾病，通过现场调查与传染源传播途径有关的蛛丝马迹，根据传播链及相关数据，建立了与传染源相关确诊病例人数与传染源感染后至隔离前时长t（单位：天）的模型：．已知甲传染源感染后至隔离前时长为5天，与之相关确诊病例人数为8；乙传染源感染后至隔离前时长为8天，与之相关确诊病例人数为20．打某传染源感染后至隔离前时长为11天，则与之相关确诊病例人数约为（ ）
A．40 B．45 C．60 D．50
6．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，点D，E分别是边BC，BA的中点，且AD，CE交于点O，则四边形BDOE的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．0 B． C． D．
8．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，当与圆相切时，的中点到的准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示半径为4m的水轮其圆心O距离水面2m．已知水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，水轮上的点P(起始点为A)到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系，则有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．已知中，内角，，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则
A．1 B． C． D．2
12．已知定义在上的函数满足，，在区间内单调且，则（ ）
A． B．5055
C． D．1011
二、填空题
13．已知，，则_______________________．
14．已知双曲线的一个焦点到直线的距离为，则的离心率为__________.
15．已知，，，且，，，其中是自然对数的底数，则实数，，的大小关系是____________.（用“<”连接）
16．在三棱锥中，平面ABC，是边长为2的正三角形，，Q为三棱锥外接球球面上一动点，则点Q到平面PAB的距离的最大值为______
三、解答题
17．已知正项数列的前项和为，且，(且).
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
18．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”刘洋用2米长的吸管成功喝到了芒果汁．这是中国航天员首次在问天实验舱内进行授课，并通过网络向全国进行直播，这场直播极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣，为领悟航天精神，感受中国梦想，某校高一年级组织了一次“寻梦天宫”航天知识竞赛活动，为了解男生和女生对航天知识的掌握情况，该校随机抽取了100名男生和100名女生的竞赛成绩（满分100分）作为样本数据，并将数据分成6组：［40，50），［50，60），［60，70），［70，80），［80，90），［90，100］，整理得到如下频率分布直方图．
(1)估计该校男生和女生竞赛成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)若竞赛成绩为70分或70分以上的学生称为“太空达人”，完善2×2列联表，并判断：是否有95%的把握认为是否获得“太空达人”称号与性别有关？
非“太空达人” “太空达人” 总计
男生
女生
总计
附：，其中．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
19．在四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值.
20．已知函数，.
(1)求函数的最小值；
(2)设数列的通项公式为，证明：.
21．已知函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)若函数有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
22．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．
(1)求的解析式；
(2)若函数，求在区间上的所有最大值点．
23．（1）已知，求证：>．
（2）已知，求证：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【详解】，
所以，，故选C．
2．C
【分析】解一元二次不等式化简集合B，再利用并集、交集、补集的运算结合集合的包含关系判断各选项作答.
【详解】，而，显然 ，
因此，，AB都错误；
因为且，或，
所以 ，C正确，D错误.
故选：C
3．B
【分析】根据向量的数量积公式及向量的数量积的运算律即可求解.
【详解】因为向量，夹角的余弦值为，且，，
所以.
所以．
故选：B.
4．D
【分析】设对照组的腐蚀数据的个位数为，实验组的腐蚀数据的个位数为，由题意可得，再由中位数的定义可求得即可求出答案.
【详解】设对照组的腐蚀数据的个位数为，实验组的腐蚀数据的个位数为，
被腐蚀后的对照组的数据总值为：，
被腐蚀后的实验组的数据总值为：
，
被腐蚀后的实验组的数据的中位数为，
被腐蚀前对照组的数据总值比实验组大35，即，
即，
被腐蚀前的实验组的数据的中位数为，
被腐蚀后实验组的中位数增加了1，即，解得：，
.
故对照组与实验组被腐蚀数据分别是16,13.
故选：D.
5．D
【分析】由已知可得，，联立求得，采用整体运算求解得答案．
【详解】依题意得， ，，
，
．
故打某传染源感染后至隔离前时长为11天，则与之相关确诊病例人数约为50人．
故选：D．
6．C
【分析】利用余弦定理求出，连接BO，利用重心性质得到，从而求出四边形BDOE的面积为，得到答案.
【详解】如图，连接BO，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
因为点D，E分别是边BC，BA的中点，且AD，CE交于点O，
所以O为的重心，则，则，
又因为，所以，同理，，
设四边形BDOE的面积为，
则，
其中，故.
即四边形BDOE的面积为.
故选：C
7．C
【分析】取的中点，连接，，根据，得到为异面直线与所成的角求解.
【详解】解：如图，
取的中点，
连接，.则，所以或其补角即为异面直线与所成的角，
直三棱柱中，因为平面平面，且平面平面，，
所以平面，平面，所以，
依据题意，不妨设，则，，，
所以，
故选：C
8．D
【分析】根据题意，设直线的方程为，由直线与圆相切可得，再联立直线与抛物线方程，结合焦半径公式即可得到结果.
【详解】由题意知，设直线的方程为.
因为直线与圆相切，
所以圆心到的距离，解得，
所以直线的方程为，联立，得，则，
所以的中点到的准线的距离为
.
故选:D
9．C
【分析】确定A的值，根据函数的周期可计算，利用点代入解析式中结合函数的单调性质可求得，即可确定答案.
【详解】由题意可知，最高点到水面距离为5，故A=5，
由水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，
则周期 ,则，
由题意知,代入解析式中，，
由于，故或，
根据图象可知A处于函数的单调减区间上，故，
所以，，，
故选：C
10．D
【分析】通过特值检验，结合三角形内角和定理构造函数，确定函数的单调性，利用正余弦定理可得结果.
【详解】对于选项A，不妨取，满足，
但，故A错误；
对于选项B，由，得，
即，
构造函数，则，
故在上单调递减.
因为，所以，故，
可得.
因为在上单调递增，所以，即.
因为在上单调递减，所以，即.
可得，故B错误；
对于选项C，因为，，即，
可得，故C错误；
对于选项D，因为，即，
由正弦定理，
可得，
即，故D正确.
故选：D
11．B
【详解】因为，所以，从而，则椭圆方程为．依题意可得直线方程为，联立可得
设坐标分别为，则
因为，所以，从而有 ①
再由可得，根据椭圆第二定义可得，即 ②
由①②可得，所以，则，解得．因为，所以，故选B
12．A
【分析】由题意可通过换元法将已知条件函数的奇偶性和对称性推导出函数的周期性，再由在区间内单调且，可得根据函数周期性即可解得的值.
【详解】由题知在内单调，且时，有，由此可知，
当 时. ，得 ,
且 在 内单调，可得
，令, 则 .又，
故 . 令. 则 的周期为 4 .
当 趋于0时，有 . 故 ，
有 ，
，
根据的周期性可知 ，
，
由，
故
.
故选：A.
【点睛】关键点睛：由奇函数性质，以及对称性性质推出函数周期是解题的必要步骤，再由在区间内单调且，用特值法得出的值为难点，本题考查的是函数的性质的综合应用，属于较难题.
13．
【分析】结合二倍角公式，同角三角函数的基本关系式求得的值.
【详解】因为，所以，由可得，整理可得，
．
故答案为：
14．/
【分析】求出双曲线焦点，根据条件求出，计算可得双曲线C的离心率.
【详解】由已知得，双曲线的焦点在轴上，且焦点坐标为，不妨取，它到直线的距离为，解得，所以双曲线C的离心率为.
故答案为：
15．
【分析】构造函数，，，，，分别利用导数研究函数在上的单调性和在上的单调性，即可比较大小.
【详解】设，，则 ，，
由题意知，，，，
因为在上恒成立，所以在上单调递增，
所以，即，
因为 在上恒成立，所以在上单调递减，
所以.
故答案为：
16．
【分析】根据给定条件求出三棱锥外接球半径及球心O到平面PAB的距离即可推理计算作答.
【详解】令三棱锥外接球球心为O，正所在平面截球面所得小圆圆心为，连接，如图，
则平面ABC，而正边长为2，即有，
因平面ABC，则三棱锥外接球球心为O在过线段PA中点，且垂直于线段PA的平面内，
显然过线段PA中点垂直于线段PA的平面与平面ABC平行，则，
于是得球O的半径，
取PB中点，AB中点D，连接，
因是直角三角形，则是平面PAB截球O所得截面小圆圆心，因此，平面PAB，
而，，则平面ABC，必有，，于是得四边形是平行四边形，，
由球面的性质知，点Q是经过点的球面直径端点且球心在点与Q之间时，点Q到平面PAB的距离最大，
此最大距离为，
所以点Q到平面PAB的距离的最大值为.
【点睛】关键点睛：涉及几何体的外接球问题，根据给定条件结合球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由及题意可得数列为等差数列，从而求出，从而可求出答案；
（2）利用裂项相消法即可求出答案．
【详解】（1）∵，
∴，
又，
∴，
∴数列是以为首项，1为公差的等差数列，
∴，∴，
当时，，
当时，，满足上式，
∴数列的通项公式为；
（2）由（1）可知，，
，
∴当时，．
18．(1)男生竞赛成绩的平均数为72.5，女生竞赛成绩的平均数为69；
(2)列联表见解析，有95%的把握认为是否获得“太空达人”称号与性别有关．
【分析】（1）根据平均数的求法求得平均数.
（2）完善2×2列联表，计算的值，由此作出判断.
【详解】（1）男生竞赛成绩的平均数为：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.1=72.5，
女生竞赛成绩的平均数为：45×0.1+55×0.2+65×0.25+75×0.2+85×0.15+95×0.1=69．
（2）完善2×2列联表如下：
非“太空达人” “太空达人” 总计
男生 40 60 100
女生 55 45 100
总计 95 105 200
所以的观测值．
所以有95%的把握认为是否获得“太空达人”称号与性别有关．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证，由线线垂直证线面垂直即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可.
【详解】（1）证明：在等腰梯形中，，，，
过点C作于E，则，可知，
由余弦定理知，
则，所以.
又，，，平面，
所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）解：因为平面，，所以C为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标系.
则，，，，
，，.
设平面的法向量为，
则，令，则，即.
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
20．(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1）构造函数，,求导，得到函数的单调性，从而求出函数的最小值；
（2）在第一问的基础上，得到时，，令，得，从而利用放缩法证明出不等式.
【详解】（1）令，,
，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
在处取得极小值，也是最小值，
∵，
∴的最小值为1；
（2）证明：由（1）知时，，即，
令，得，
∴.
【点睛】构造函数来证明不等式，常常用到构造函数，利用放缩法来进行证明，常见的构造函数有，，，，等，本题解决第二问，需要用到第一问的结论：时，，即，再令，得，再求和即可.
21．(1)0
(2)
【分析】（1）二次求导，得到在上是增函数，从而求出最小值，；（2）由于，问题转化为求在区间有一根时，实数a的取值范围，结合第一问分与两种情况进行讨论，得到不合题意，
满足要求，得到实数a的取值范围.
【详解】（1）当时，
令，，
，
因为在上单调递增，
所以，
又因为时，，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以在上是增函数，且，
所以在上是增函数，
所以；
（2）由于，问题转化为求在区间有一根时，实数a的取值范围，
当，即时，
由（1）可知，
即在区间无零点，不满足题意，
当，即时，
令，
令，
①当时，，
所以在上为增函数，
，
所以存在唯一一个实数，使．
②当时，，
．
由①②知，当时，单调递减，
当时，单调递增，
因为，
所以存在唯一实数，使，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
因为，
所以存在唯一实数，使，
即在区间有唯一零点，
综上所得，函数两个不同的零点时，实数a的取值范围是．
【点睛】对于导函数研究函数的零点问题，通常要多次求导，分析出原函数的单调性和极值情况，还要注意到特殊点到函数值或导数值，这是解题的突破口.
22．(1);
(2)与.
【分析】（1）先求出平移后的解析式，再求出伸缩变换后的解析式；
（2）结合函数特点，分与两种情况下进行求解.
（1）
的图象向右平移个单位长度，得到,
再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数
（2）
，
当时，，所以，
因为，所以，
故当，即时，取得最大值，最大值为2；
当时，，所以，
因为，所以，
故当，即时，取得最大值，最大值为2；
两者取到的最大值相同均为2，
综上：求在区间上的所有最大值点有与.
23．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）由条件可得，，然后可得，然后可证明；
（2）由条件可得，，，然后利用基本不等式证明即可.
【详解】（1）∵，∴
∵，∴，又∵，∴，
∴，又，∴>
（2）因为
所以，同理
所以
(当且仅当时等号成立)
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页