河南省2023届高三下学期5月热身卷理科数学试题（三）（老高考）（含解析）

河南省2023届高三下学期5月热身卷理科数学试题（三）
（老高考）
一、单选题
1．已知集合，，（为虚数单位），则
A． B． C． D．
2．对任意集合A，下列各式①，②，③，④，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．平行四边形中，交于，则等于（ ）
A． B．3 C． D．6
4．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩单位：分，已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为，则x、y的值分别为
A．7、8 B．5、7
C．8、5 D．7、7
5．放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设其初始质量为，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为，若锶89的质量从衰减至，，所经过的时间分别为，，，则（ ）．
A． B． C． D．
6．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC上的动点，F为棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点E，使得直线与直线EF相交
B．当E为棱BC的中点时，则平面
C．点A到平面DEF的距离的最大值为
D．存在点E，使得直线与直线EF所成角为
8．设分别是双曲线的左 右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数的图象关于点中心对称，其最小正周期为T，且，则（ ）
A． B． C．1 D．
10．函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则
A．1 B． C． D．2
12．设函数满足，，且当时，，又函数，则函数零点的个数为
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知为第四象限角，且，则_________．
14．已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，从下面两个条件中任选一个，则双曲线C的渐近线方程为______．
①与双曲线有共同焦点，且过；②过作垂直于x轴的直线交双曲线P，Q两点，且．
15．已知，，，且，，，其中是自然对数的底数，则实数，，的大小关系是____________.（用“<”连接）
16．如图，在四面体中，，，两两垂直，，以为球心，为半径作球，则该球的球面与四面体各面交线的长度和为___．
三、解答题
17．记为数列的前n项和．已知，．
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
18．2023年春节期间，科幻电影《流浪地球2》上映，获得较好的评价，也取得了很好的票房成绩.某平台为了解观众对该影片的评价情况（评价结果仅有“好评”“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取400人进行调查，数据如下表所示（单位：人）：
好评 差评 合计
男性 80 200
女性 90
合计 400
(1)把列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？
(2)若将频率视为概率，从抽取的400人中所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量表示被抽到的女性观众的人数，求的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．在四棱锥中，，，，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
20．已知.
(1)证明：当时，在上单调递增；
(2)当时，关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
21．已知函数.
(1)当时，求的图象在处的切线方程;
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.
22．已知函数
(1)求的最小值及对应的的集合；
(2)求在上的单调递减区间；
23．（1）已知，，求的取值范围；
（2）已知x，y，z都是正数，求证：．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【详解】，则，所以，由于，因此，故选择C.
2．B
【分析】由集合间的关系可判断①④，由集合的性质可判断②③.
【详解】空集表示无任何元素的集合，所以，①错误；
由交集性质知：，②正确；
由并集性质知，，③正确；
是自然数集，是实数集，所以，④错误.
综上：只有②③正确.
故选：B
3．C
【分析】用表示向量，根据数量积的运算律，即可求得答案.
【详解】由题意知平行四边形中，，
得，
故选：C
4．D
【分析】根据中位数和平均数的公式分别进行计算即可．
【详解】组数据的中位数为17，，
乙组数据的平均数为，
，
得，
则，
故选D．
【点睛】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数和平均数的公式是解决本题的关键．中位数即最中间的数据，平均数即将所有数据加到一起，除以数据个数.
5．A
【分析】根据题意列出方程组，指数式化为对数式，结合对数运算法则，求出，结合，得到.
【详解】由题可得，则，即．
因为，所以．
故选：A
6．D
【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式可得，根据三角形面积公式可求，再由余弦定理即可求解.
【详解】因为，
所以，
整理得，
因为，所以．
又，所以．
因为的面积为，，
所以，解得，，
所以，则．
故选:D.
7．C
【分析】利用线面平行判断选项A，利用线线不垂直则线面一定不垂直判断选项B，建立空间坐标系，利用坐标法，利用点到平面的距离公式判断选项C，利用异面直线夹角公式求解判断选项D.
【详解】在正方体中，，平面，
平面，所以平面，又平面，
所以与不相交，故A错误；
因为正方体的棱长为2，又E为棱BC的中点，所以，，
在中，，所以，即不成立，
即平面不成立，故B错误；
以D为坐标原点，DA，DC，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
所以，设，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，得，
所以点A到平面的距离，
所以当时，点A到平面的距离取到最大值，所以，故C正确；
连接，则，所以异面直线与直线EF所成角为直线与直线EF所成角，
若存在点，使得直线与直线EF所成角为，
则，所以，
所以，又，
得，解得，不符合题意，
故不存在点，使得直线与直线EF所成角，故D错误.
故选：C
8．C
【分析】由双曲线的方程可得两焦点的坐标及渐近钱的方程，由题意求出 的方程，与渐近线联立求出P的坐标，进而求出的值，由点到直线的距离公式，求的值，由由求出a，c的关系，进而求出离心率．
【详解】由双曲线的方程可得双曲线渐近线方程：，右焦点，
到渐近线的距离，
由渐近线的对称性，设渐近线为，①
则直线方程为∶ ②，
由①②可得， 则，
左焦点，所以 ，
由，有，得，
即 ， ，则的离心率为
故选∶C·
9．D
【分析】利用降幂公式得，再根据其对称性得到，则得到函数解析式，再解出，利用其周期性得到，则可得到值.
【详解】根据题意，，因为的图象关于点中心对称，
分析可得，则，
所以，
则，解得，
又因为最小正周期为，且，所以，则，
所以当时，的值为．
故选：D．
10．B
【分析】由函数有两个零点排除选项A，C；再借助导数探讨函数的单调性与极值情况即可判断作答．
【详解】由得，或，选项A，C不满足，即可排除A，C
由求导得，
当或时，，
当时，，
于是得在和上都单调递增，在上单调递减，
所以在处取极大值，在处取极小值，D不满足，B满足．
故选：B
11．B
【详解】因为，所以，从而，则椭圆方程为．依题意可得直线方程为，联立可得
设坐标分别为，则
因为，所以，从而有 ①
再由可得，根据椭圆第二定义可得，即 ②
由①②可得，所以，则，解得．因为，所以，故选B
12．A
【解析】函数零点的个数即为函数与的图象的交点个数，由题意可以作出函数与的图象，则答案易得.
【详解】因为，所以函数是偶函数，图象关于轴对称.
因为，所以函数的图象关于直线对称.
当时，，于是可以作出函数的图象.
再作出的图象，结合,
可知函数与的图象有个交点，
所以函数有个交点.故选A.
【点睛】本题考查函数的零点.函数的零点即相应方程的根，也是函数图象与轴交点的横坐标.函数的零点即为函数与图象的交点的横坐标.若函数的图象同时关于直线和对称，则该函数为周期函数且为一个周期.
13．
【分析】利用同角三角函数关系式及三角恒等变换公式直接计算即可.
【详解】因为为第四象限角，且，所以．
又，，
所以，
故答案为：.
14．
【分析】若选择①，由共同焦点可解得焦点为，再由待定系数法即可求解；若选择②，根据通径公式与面积公式联立解方程组即可得出，，从而得出结论.
【详解】若选择①：
双曲线（，）的焦点在轴上，
故双曲线的焦点也在轴上，，故焦点为，
因为双曲线与双曲线有共同焦点，
所以，即双曲线，
代入双曲线可得，即，；
故双曲线C的渐近线方程为，即；
若选择②：
由题意得，为通径，（I），
（II），两式联立化简得，
所以，又因为，联立化简得，；
故双曲线C的渐近线方程为，即；
故答案为：.
15．
【分析】构造函数，，，，，分别利用导数研究函数在上的单调性和在上的单调性，即可比较大小.
【详解】设，，则 ，，
由题意知，，，，
因为在上恒成立，所以在上单调递增，
所以，即，
因为 在上恒成立，所以在上单调递减，
所以.
故答案为：
16．
【分析】先求出到平面的距离，判断球体与各个面的相交情况，再计算求解即可.
【详解】因为，所以是边长为的等边三角形，
所以边长为的等边三角形的高为：，所以，
设到平面的距离为，，所以，
所以，解得，则，
所以以为球心，为半径的球与平面，平面，平面的交线为个半径
为的圆的弧线，与面的交线为一个圆，且圆的半径为，
所以交线总长度为：.
故答案为：.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列是等比数列；
（2）由（1）可求得，再得，由分组求和法计算既可.
【详解】（1）由已知得．，即，
所以，
所以是首项为，公比为3的等比数列．
（2）由（1）得，所以．
则，
则数列的前n项和
．
18．(1)列联表见解析，有的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”
(2)分布列见解析，
【分析】（1）完善列联表，计算卡方，与7.879比较后得到结论；
（2）计算出所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为女性的概率，得到，得到的可能取值及对应的概率，得到分布列，求出期望值.
【详解】（1）列联表补充完整如下：
好评 差评 合计
男性 120 80 200
女性 90 110 200
合计 210 190 400
因此有的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”.
（2）从抽取的400人中所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为女性的概率，
且各次抽取之间互相独立，故，
所以，
，
故的分布列为：
0 1 2 3
所以.
或.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过点作于，确定，平面，得到平面，得到面面垂直.
（2）取的中点为，连接，，确定平面ABCD，计算，根据等体积法，计算得到答案.
【详解】（1），，故，故.
过点作于，如图：
则，，故.
又，，故，即，
又，，，平面，故平面.
平面，故.
，，故，故.
，，平面，故平面，
又平面，故平面平面.
（2）平面，平面，故，即，
，，则，.
取的中点为，连接，，则.
又平面，平面，则平面平面ABCD，
平面，平面平面，故平面ABCD，
且，
设点到平面的距离为，
，即，
解得.
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求导，得到导函数大于0恒成立，证明出结论；
（2）变形得到在上恒成立，令，二次求导，求出导函数单调递增，结合，分与两种情况，讨论得到的取值范围.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
因为，所以，又，所以，
所以在上单调递增.
（2）当时，，
即
所以，即在上恒成立.
令，则，
令，
则.
因为，所以，所以，
所以在上单调递增，所以.
①当，即时，在上，，即，所以在上单调递增，
所以对，即在上恒成立，符合题意；
②当，即时，，
又，若，则在上，，即，所以在上单调递减，所以，不合题意；
若，则存在，使得，
所以在上，，即，
所以在上，单调递减，所以对不合题意.
综上所述，关于的不等式在上恒成立，实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
21．(1)
(2).
【分析】（1）根据切线的几何意义得到，根据点斜式可得到方程;
（2）对进行求导，然后分，和且三种情况研究其单调性，判断最值的符号，结合零点存在定理即可
【详解】（1）因为，其定义域为，
因为，所以，所以，所以
又，所以的图象在处的切线方程为，即.
（2）由题意知，且其定义域为，易知，且，
当时，在上恒成立，
所以在上单调递增，不可能有2个不同零点，不合题意;
当时，令，则，
故在上单调递减，
当时，，且，
所以当时，，即，当时，，即，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，且，此时函数仅有一个零点，不合题意.
当且时，，
所以存在唯一的，使得，即，所以，
当时，，即;当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又，所以.
设，则，
当时，;当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
于是，所以(当且仅当时等号成立)，
因为，所以，所以，
又在上单调递增，在上单调递减.
①当时，由，令，显然在上单调递增，
因为，所以，又，
所以，且由可得，
令，则，可得，
所以在上，单调递减，
从而，即.
所以，从而在内必有另一个零点，
故此时有两个零点.符合题意.
②当时，所以，
因为在定义域内是单调递增函数，且当时，，
所以，此时时，时，，
设，可得.
令，
所以在上单调递减，从而，故，
从而，且当时，存在，使得，
也即当有两个零点.
综上，所求实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
22．(1)，
(2)
【分析】（1）根据正弦函数的最值结合整体思想即可得解；
（2）根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得出答案.
【详解】（1）解：当，即时，
，
所以，此时的集合为；
（2）解：令，
则，
又因，
所以在上的单调递减区间为.
23．（1）；（2）答案见解析
【分析】（1）将表示成，再根据不等式的性质求解即可；
（2）利用基本不等式即可得证．
【详解】（1）令
所以，得
所以
因为，
所以，
所以，即
故的取值范围为．
（2）证明：由x，y，z都是正数，
则，，
相加可得，，当且仅当时，取得等号．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页