河南省2023届高三下学期5月热身卷理科数学试题（四）（老高考）（含解析）

河南省2023届高三下学期5月热身卷理科数学试题（四）
（老高考）
一、单选题
1．设复数满足关系式，那么等于
A． B． C． D．
2．已知，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
4．我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河南初赛)，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数满足 成等差数列且成等比数列，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．9
5．我们处在一个有声世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小可由如下公式计算：（其中是人耳能听到声音的最低声波强度），则70dB的声音的声波强度是60dB的声音的声波强度的（ ）倍
A．倍 B．倍 C．10倍 D．倍
6．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中提出了已知三角形的三边求面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”以上文字用公式表示就是，其中a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，S是△ABC的面积，在△ABC中，若，，，则△ABC的内切圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在正方体中，M，N分别为AC，的中点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．平面
B．
C．直线MN与平面ABCD所成的角为60°
D．异面直线MN与所成的角为45°
8．在平面中，已知点H到，的距离之比为，记点H的轨迹为曲线C，直线与C分别相交于M，N，且直线与坐标轴分别相交于点P，Q，已知定点，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数图象的一个对称中心是，点在的图象上，下列说法错误的是（ ）
A． B．直线是图象的一条对称轴
C．在上单调递减 D．是奇函数
10．在给出的①；②；③三个不等式中，正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．已知椭圆，离心率为，过的直线分别与相切于，两点，则直线方程为（ ）
A．或 B．
C． D．或
12．已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标系原点）的斜率为，则
A．至少存在两个点使得 B．对于任意点都有
C．对于任意点都有 D．存在点使得
二、填空题
13．___________.
14．已知双曲线的一个焦点到直线的距离为，则的离心率为__________.
15．折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸．课堂上，老师给每位同学发了一张长为12cm，宽为10cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠．若折痕（线段）将纸片分为面积比为1：3的两部分，则折痕长度的取值范围是______cm．
16．在正四棱锥中，，则平面截四棱锥外接球的截面面积是__________.
三、解答题
17．已知数列的前n项和Sn＝n2＋2n．
(1)求{an}通项公式；
(2)设bn＝，的前n项和为Tn，求Tn
18．被赞誉为“波士顿比利”的美国知名跑者比尔·罗杰斯曾经说过：“跑步是全世界最棒的运动.”坚持跑步可以增强体质、提高免疫力、改善精神状态.某数学兴趣小组从某地大学生中随机抽取200人，调查他们是否喜欢跑步，得到的数据如下表所示.
喜欢跑步 不喜欢跑步 总计
男生 50 120
女生 30
总计 200
(1)分别估计该地男、女大学生喜欢跑步的概率；
(2)能否有的把握认为该地大学生是否喜欢跑步与性别有关？
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为菱形，，，，，，点F在平面ABCD内的射影恰为BC的中点G．
(1)求证：平面平面BED；
(2)求直线BD与平面ABFE所成的角的正弦值．
20．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．
21．已知函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)是否存在实数a，使对恒成立，若存在，求出a的值或取值范围；若不存在，请说明理由.
22．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．
(1)求的解析式；
(2)若函数，求在区间上的所有最大值点．
23．已知a，b都是正数，求证：
(1)；
(2)．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【详解】试题分析：设，，
所以
，解得，，所以，故选D.
考点：复数的代数运算
2．B
【分析】解不等式，得到或，从而得到，，判断出正确答案.
【详解】，解得：或，
所以或，
因为，所以，故A错误，B正确，
显然，所以C错误，
而，所以D错误．
故选：B
3．C
【分析】应用向量数量积的运算律可得，结合已知及向量模长的坐标计算即可求结果.
【详解】由题设，，而，，
所以，则.
故选：C
4．C
【分析】由中位数和平均数的定义可得的值，再由等差数列和等比数列中项的性质求得，利用基本不等式求出的最小值．
【详解】甲班学生成绩的中位数是80+x＝81，得x＝1；
由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）＝598+y，
乙班学生的平均分是86，且总分为86×7＝602，所以598+y＝602，解得 y＝4，
若正实数满足 成等差数列且成等比数列，
则，所以或（舍去），即有a+b＝4，a＞0，b＞0，
则，
当且仅当，即时，最小值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了等差中项、等比中项的应用，考查了茎叶图，考查了平均数、中位数的求解，考查了基本不等式.
5．C
【分析】由题设中的定义，将音量值代入，计算出声音强度与声音强度的值，即得．
【详解】由，可得，
所以，
同理得，
所以，
所以70 dB的声音的声波强度是60 dB的声音的声波强度的10倍.
故选：C.
6．C
【分析】由内心性质得（l为△ABC周长），即可求出内切圆半径为r，即可求内切圆的面积.
【详解】因为，，，
所以．
△ABC的周长，
设△ABC的内切圆半径为r，
由，解得．
所以△ABC的内切圆的面积为．
故选：C．
7．C
【分析】取棱中点，利用线面平行的判定推理判断A；利用线面垂直的性质推理判断B；求出线面角、线线角判断CD作答.
【详解】在正方体中，取棱中点，连接，
因为M，N分别为AC，的中点，则，
因此四边形为平行四边形，则平面，
平面，所以平面，A正确；
因为平面，则，所以，B正确；
显然平面，则是与平面所成的角，又，
有，由于，所以直线MN与平面ABCD所成的角为，C错误；
因为，，则是异面直线MN与所成的角，显然，D正确.
故选：C
8．D
【分析】设，由题意求出点H的轨迹，画出图象，求出到直线的距离，由垂径定理求出，即可求出，再求出，即可得出答案.
【详解】设，因为点H到，的距离之比为，
所以，化简得：，
故点H的轨迹为，
到直线的距离为：，
到直线的距离为：，
所以，
所以，
，
所以.
故选：D.
9．B
【分析】由可得，由对称中心可求得，从而知函数的解析式，再根据余弦函数的图象与性质，逐一分析选项即可.
【详解】因为点在的图象上， 所以.又，所以.
因为图象的一个对称中心是，所以，，
则，.又，所以，则，A正确.
，则直线不是图象的一条对称轴，B不正确.
当时，，单调递减，C正确.
，是奇函数，D正确.
故选：B.
10．D
【分析】①构造，利用导数研究单调性比较大小即可；②构造，利用导数研究单调性比较大小即可；③将两个正数同时6次方即可分析.
【详解】①令，则，，
所以，在上，即递减，而，
所以，即，故，正确；
②令，则，
又，在上，则递增，
所以在上，，
即，则递减，
所以，正确；
③由，
所以正确.
故选：D.
11．A
【分析】首先证明椭圆上一点处的切线方程为：，即可得到点是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦的方程为，再根据离心率分类讨论分别求出椭圆方程，即可得到切点弦方程．
【详解】首先证明椭圆上一点处的切线方程为：，
①当切线斜率存在时, 设过点的切线方程为，
联立方程，得，
，即，
，
又，
把代入中，得，
，
化简得.
②当切线斜率不存在时，过的切线方程为，满足上式.
综上，椭圆上一点的切线方程为：.
再证明若点是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，
切点分别为，，则切点弦的方程为．
这是因为在，两点处，椭圆的切线方程为和．
两切线都过点，所以得到了和，
由这两个“同构方程”得到了直线的方程；
因为椭圆，离心率为，
若焦点在轴，则，，所以，
所以，解得，所以椭圆，
所以过作椭圆的两条切线方程，
切点弦方程为；
若焦点在轴，则，，所以，
所以，解得，所以椭圆，
所以过作椭圆的两条切线方程，
切点弦方程为，即；
综上可得直线方程为或.
故选：A
12．C
【分析】利用排除法，对给出的四个选项分别进行分析可得出正确的结论．
【详解】设点的坐标为，则．
对于D，当时，一方面，另一方面容易证成立，
所以，因为与中两个等号成立条件不一样，所以恒成立，所以，因此D不成立．
对于B，当时，，所以，所以B不成立．
对于A，至少存在两个点使得，也就是至少存在两解，
即至少存在两解，恒成立，
所以至多存在一解，所以A不成立．
综合以上分析可得选项C正确．
故选C．
【点睛】本题难度较大，考查内容较多，解题时要抓住的几何特征，通过对曲线上点的坐标的分析，得到的大小关系，进而得到的取值范围．同时在解题中还应注意不等式放缩、导数与单调性的运用，逐步达到解题的目的．
13．
【分析】将原式化切为弦，通分，然后利用两角和正弦公式以及二倍角公式，即可求解.
【详解】
.
故答案为：.
14．/
【分析】求出双曲线焦点，根据条件求出，计算可得双曲线C的离心率.
【详解】由已知得，双曲线的焦点在轴上，且焦点坐标为，不妨取，它到直线的距离为，解得，所以双曲线C的离心率为.
故答案为：
15．
【分析】求出长方形纸片的面积，不妨设折痕将纸片分成两部分的面积分别为，，则，分三种情况，表达出折痕的平方，根据得到自变量的取值范围，结合函数的单调性，求出折痕长度的取值范围.
【详解】由题意得长方形纸片的面积为，不妨设折痕将纸片分成两部分的面积分别为，，且，则，．
如图，其中，
当折痕MN为图（1）所示的三角形一边时，
设，，则，解得，
则，
令，，则，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，，，故，
故．
当折痕MN为图（2）所示的梯形一边时，
设，，则，解得，
则，，
根据二次函数的性质可知，，则．
当折痕MN为图（3）所示的梯形一边时，
设，，则，解得，
则，，
根据二次函数的性质可知，，则．
综上所述，折痕长度的取值范围为．
故答案为：
16．
【分析】先作出辅助线，求出外接球半径，求出球心到截面的距离，从而得到截面圆的半径，求出截面的面积.
【详解】如图，作平面，垂足为，则是正方形外接圆的圆心，从而正四棱锥外接球的球心在上，
取棱的中点，连接，作，垂足为.
由题中数据可得，
设四棱锥外接球的半径为，
则，
即，
解得.
由题意易证，
则，
故.
故所求截面圆的面积是.
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）由与的关系即可求解；
（2）利用裂项相消法即可求和.
【详解】（1）当时，，
当时，由，符合上式．
所以的通项公式为.
（2），
，
．
18．(1)
(2)有99%的把握认为该地大学生是否喜欢跑步与性别有关
【分析】(1)由表格可得男女生中喜欢跑步的人数，继而可求对应概率；
(2)由数据计算卡方，参照卡方表即可判定结果.
【详解】（1）由题意可得样本中女大学生有200-120=80人，则女大学生喜欢跑步的频率是，
故该地女大学生喜欢跑步的概率是.
由题意可知样本中喜欢跑步的男大学生有人，则男大学生喜欢跑步的频率是，
故该地男大学生喜欢跑步的概率是.
（2）由题意可得.
查表可得，
由于8.333>6.635，所以有99%的把握认为该地大学生是否喜欢跑步与性别有关.
19．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）设AC与BD交于点O，连接OG，OE，证明四边形EFGO为平行四边形则有，再利用线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角的正弦值即可.
【详解】（1）如图，设AC与BD交于点O，连接OG，OE．
因为O，G分别为BD，BC的中点，所以，．
因为，，所以四边形EFGO为平行四边形，
所以，
又FG⊥平面ABCD，
所以OE⊥平面ABCD．
因为平面ABCD，所以OE⊥AC，
又四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．
因为，平面BED，
所以AC⊥平面BED，
又平面ACE，故平面ACE⊥平面BED．
（2）因为FG⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以FG⊥BC，
所以，所以．
如图，以点O为坐标原点，以直线AC为x轴，直线BD为y轴，直线OE为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面ABFE的法向量为，
则即
令，可得．
设直线BD与平面ABFE所成的角为，
所以，
故直线BD与平面ABFE所成的角的正弦值为．
20．(1)详见解析；
(2).
【分析】（1）求出导函数，分类讨论的取值，判断导函数的符号，即得；
（2）由题可得在上恒成立，构造函数，通过函数的导数，利用二次函数的性质，说明极值点一正一负，再利用导函数，结合函数的单调性，转化求解的范围即可.
（1）
因为的定义域为，且
.
当时，则，所以在上单调递减，
当时，令，得.
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）
不等式在上恒成立等价于在上恒成立，
令，则，
对于函数，，所以其必有两个零点，
又两个零点之积为，所以两个零点一正一负，
设其中一个零点，则，即.
此时在上单调递减，在上单调递增，
故，即.
设函数，则，
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，所以.
由在上单调递减，得，
故的取值范围为.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
21．(1)单调递减区间是，单调递增区间是；
(2)存在，.
【分析】（1）由题可得，构造，进而判断导函数的正负，求出单调区间；
（2）由题可得恒成立，通过分类讨论，构造函数，利用导数研究函数的单调性，最值，进而可得.
【详解】（1）因为，
所以，
即.
当时，，
令，则，
所以在单调递增，因为，
所以，当时，，；当时，，，
所以的单调递减区间是，单调递增区间是.
（2）法一：设，则，
①当时，，，即，
故不符合题意.
②当时，
当时，.·
令，即，
取，则，即，.
故不符合题意.
③当时，令，，则，
故在单调递增.
因为，，
所以存在唯一的使得，
所以，时，，；时，，，
故在单调递减，在单调递增.
所以的最小值为，
因为，即，两边取对数得，
所以.
令，则，
所以在单调递增，在单调递减，
故，当且仅当时，等号成立，
故当且仅当时，在恒成立，
综上，存在a符合题意，.
法二：设，则，
设，易知在单调递增，
①当时，因为，，
所以存在唯一，使得，即，.
所以当，，即，单调递减；
当，，即，单调递增.
故，即，符合题意.
②当时，，，
所以存在唯一，使得，
所以当，，即，单调递减，
故，即，故不符合题意.
③当时，，，
所以存在唯一，使得，
所以当，，即.
所以在单调递增，故，即，
故不符合题意.
④当时，，不符合题意.
⑤当时，，不符合题意.
综上，存在a符合题意，.
法三：①当时，，故在上单调递增.
因为在单调递增，且，，
故存在唯一，使得，即，
即，故，
所以任意，都有.
故不符合题意.
②当时，，
对于函数，.
所以时，；时，.
所以在单调递减，在单调递增，
故，所以，
故，故符合题意.
③当且时，对于函数，
因为在单调递增，且，，
所以存在，使得，即，
所以.
令，则，
故在单调递增，在单调递减.
故，当且仅当时，“=”成立.
所以当时，，即，，
故不符合题意.
综上，存在a符合题意，.
法四：设，，易知在单调递增.又当时，，所以的值域为；
当时，的值域为.
所以的值域为.
故对于上任意一个值，都有唯一的一个正数，使得.
因为，即.
设，，所以要使，只需.
当时，因为，即，所以不符合题意.
当时，当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增.
所以.
设，，
则，当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减.
所以，所以，，当且仅当时，等号成立.
又因为，所以，所以.
综上，存在a符合题意，.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
22．(1);
(2)与.
【分析】（1）先求出平移后的解析式，再求出伸缩变换后的解析式；
（2）结合函数特点，分与两种情况下进行求解.
（1）
的图象向右平移个单位长度，得到,
再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数
（2）
，
当时，，所以，
因为，所以，
故当，即时，取得最大值，最大值为2；
当时，，所以，
因为，所以，
故当，即时，取得最大值，最大值为2；
两者取到的最大值相同均为2，
综上：求在区间上的所有最大值点有与.
23．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）不等式两边同乘以2，应用基本不等式证明即可；
（2）由，应用作差法比较大小即可.
（1）
由a、b都是正数，则，，，
所以，即，当且仅当时取等号.
（2）
由，
所以，
又a，b都是正数，故，即.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页