2022—2023 学年度下学期期中考试
高二数学试题答案
一 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
C B B A A B A D
二 选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9 10 11 12
AC AD ACD ABD
三 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
18 28
13. 14. 300 15. 16.-7
35 729
四 解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. （10 分）
解：（1） f (x) 3ax2 b，由题意得： f (1) 3a b 0， f (1) a b 1 1，
解得： a 1,b 3，
2
此时 f (x) 3x 3 3 x 1 x 1 ，
当 1 x 1时， f (x) 0，当 x 1或 x 1时， f (x) 0，
故 x 1为极值点，满足题意，
所以 a 1,b 3 .
（2）由（1）可知：当 1 x 1时， f (x) 0，当 x 1或 x 1时， f (x) 0，
故 f (x)的单调递增区间为 , 1 , 1, ，单调递减区间为 1,1
18．（12 分）
解：（1）设事件 Ai “第 i次取到的是钢笔盲盒”， i 1, 2．
1
1 1
∵ P A C 4 C 11 41 ， P A2 A1 31 ，C7 7 C6 2
P A A P A P A A 4 1 2∴ 1 2 1 2 1 ，7 2 7
即第1次、第 2 2次取到的都是钢笔盲盒的概率为 7．
（2）设事件 Bi “第 i次取到的是圆珠笔盲盒”， i 1, 2．
P B C
1 3 C1 1 C1 1
∵ 1
3
1 ， P B B 2 ， P B A 3 ，C7 7 2 1 C1 2 1 16 3 C6 2
∴由全概率公式，可知第 2次取到的是圆珠笔盲盒的概率为
P B2 P B1 P B2 B1 P A P B A 3 1 4 1 31 2 1 ．7 3 7 2 7
19．（12 分）
解：（1）因为a 2 3sin x,cos2 x ，b cos x,6 ，
所以函数 f x a b
2 3 sin x cos x 6cos2 x 3 sin 2x 3cos 2x 3
2 3 sin 2x
2
3
3
∴当 sin 2x
2
1时， f (x)max 2 3 3 3
（2）∵ ABC为锐角三角形， 0 B .
2
2B 2 5 又 f (B) 0
3 3
s i n 2B 2 3
2 4
2B B
3 2 3 3 3
3sin A 2sinC 0 3a 2c
2 2 2 2 9 2
cos B a c b 1 a a 7 即 4 12ac 2 2 3a 2
a 2,c 3
2
1 3 3 3
S ABC 2 3 2 2 2
20．（12 分）
解： 从采购的产品中有放回地随机抽取 个，记 等品的数量为 ，
由已知取 个产品为 等品的概率为 ，
依题意， ，
则 ，
即恰好有 个 等品的概率为
由已知 个产品中， 等品的有 个，非 等品的有 个，
依题意， ，
， ，
， ，
则 的分布列为：
21．（12 分）
解：（1）若选择条件①： a2 a1 2且 2an a1 Sn，则 2an 1 a1 Sn 1，
两式相减 2an 1 2an Sn 1 Sn an 1 ， an 1 2an，
an 为公比 q 2 n的等比数列， a2 a1 2， 2a1 a1 2，解得 a1 2， an 2 ；
3
a S 2n 1若选择条件②： n 为等比数列，且满足 n k，
a2 S2 S1 8 k 4 k 4 ， a3 S3 S2 16 k 8 k 8，
q a 3 2 n 2 n，a
a n
a2q 2 .
2
a 2n b 1 1 12 1 1 （ ） n ， n ，log2 a2n 1 log2 a2n 3 2n 1 2n 3 4 2n 1 2n 3
T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n
4 5 3 7 5 9
7 11 2 n 3 2 n 1
2 n 1 2 n 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 3 2n 1 2n 3 3 4 2n 1 2n 3
∵ n 1 1 N * 0 T 1 1 1 1 1，∴ ，∴ n 2n 1 2n 3 3 4 2n 1 2n 3 3
T 2 2 2 1 1由 n
2
恒成立得， ，解得 1或
3 3 3 3
, 1 1故 的取值范围为 ,
.
3
22. （12 分）
解：(1) f (x) lnx 1 ax(x 0) ，
f (x)在 (0, )递减，
f (x) 0在 (0, )上恒成立，
a lnx 1 在 (0, )上恒成立，
x
g(x) lnx 1 g (x) lnx令 ， 2 ，x x
x (0,1)时， g (x) 0， g(x)递增，
x (1, )时， g (x) 0， g(x)递减，
4
g(x)max g 1 1，
a 1；
1
(2) 1由题意得 f (1) a 1 ， a ，
2 2
f (x) xlnx 1 x2 1， f (x) lnx 1
1
x，
4 2
f (x) 1 1 (x 0)，令 f (x) 0x ，解得：
x 2，
2
令 f (x) 0，解得： x 2，
故 f (x)在 (0,2)递增， f (x)在 (2, )递减，
f 2 ln 2 0 f ' 1 1又 ， 0， f ' e2 1 3 e2 0，
e 2e 2
1
故 f (x)
2
分别在 , 2 和 2,e 有零点 x1，x xe 2，（不妨设 1 x2 )，
0 x x1时， f (x) 0， f (x)递减，
x1 x x2 时， f (x) 0， f (x)递增，
x x2时， f (x) 0 ， f (x)递减，
1
故 f (x)
2
在 , 2 和 2,e 有 2个极值点x1，x2， e
f (1
1 1 1
而 )
3
ln 2 0， f '
2 4 e
0， x ，
e 1 2
f 4 ln4 1 0 2， f ' e 0， 4 x2 e2，
1 ln x1 ln 2 ， 2ln 2 ln x2 2 ，
3ln 2 ln x2 ln x1 3 ，
故原命题成立．
52022—2023 学年度下学期期中考试
高二数学试题
一 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
a a
1 2 3．已知等比数列 an 中， 2， a4 8，则 aa a 3 1 2
A．16 B．2 C．4 D．1
2．有 7件产品，其中 4件正品，3件次品，现不放回从中取 2件产品，每次一件，则在第
一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为
4 2 1 1
A． B． C． D．
7 3 3 6
3 4 4 3 2．若 (2x 1) a4x a3x a2x a1x a0 ，则 a0 a2 a4
A．40 B．41 C． 40 D． 41
4．2022年 10月 31日 15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，成功将中国空间站
建设完毕，中国空间站将于 2023年正式进入运营阶段.现空间站要安排甲、乙等 6名航天员
到 3个不同的实验舱开展实验，3舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方案共有
A．450种 B．720种 C．90种 D．360种
7
5 1 ．关于 2x 的二项展开式,下列说法正确的是
x
A．二项式系数和为 128 B．各项系数和为-7
C．第三项和第四项的二项式系数相等 D． x 1项的系数为-240
6．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对
推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才
智 .如南宋数学家杨辉在《详解九章算法 .商功》一书中记载的三角垛、
方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关 .如图是一个三角垛，最顶
层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层
小球的个数为
A．464 B．465 C． 466 D． 495
7．已知 B n， p ，且 E(3 2) 9.2,D(3 2) 12.96，则下列说法不正确的有
高二数学 第 1页（共 8页）
A．n 4, p 0.6 B． n 6, p 0.4
C． P ( 1) 1 0.66 D．P( 2) P( 0) P( 1)
f x a x 2 x ln x8．已知函数 ，若不等式 f x 0有且仅有 1个整数解，则实数 a的
x
取值范围为
ln 2 , ln3 ln 3 , 1 ln 2 , ln 2 ln 3 ln 2 A． B． C． D． , 4 18 18 4 18 2 18 4
二 选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分.
9. A，B，C，D，E五个人并排站在一起，下列说法正确的是
A. 若 A，B不相邻，有 72种排法 B. 若 A，B不相邻，有 48种排法
C.若 A，B相邻，有 48种排法 D. 若 A，B相邻，有 24种排法
10．如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形
小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，
小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，
最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0,1,2, ,10，用 X
表示小球落入格子的号码，则
A． P X 1 P X 9 5 B． P X 1 P X 1 9
512 1024
C． E X 10 D．D X 5
2
11 n 1 n 1．已知数列 an 满足 a1 2a2 2 an n 2 ，则
A． a1 4 B． an 的前 10项和为 150
C． 1 n an 的前 11项和为-14 D． an 10 的前 16项和为 168
12．定义：设 f x 是 f x 的导函数， f x 是函数 f x 的导数，若方程 f x 0有实数
解 x0，则称点 (x0 , f (x0 ))为函数 y f x 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐
” “ 3 2
5
点 且 拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数 f x ax bx ab 0 的对称中
3
心为 1,1 ，则下列说法中正确的有
高二数学 第 2页（共 8页）
a 1A． ,b 1 B．函数 f x 既有极大值又有极小值
3
C．函数 f x 1有三个零点 D．过 ( 1, )可以作两条直线与 y f x 图像相切
3
三 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 袋中有同样大小的球 7个，其中 4个红球，3个黄球，现从中随机地摸出 4球，则红色
球与黄色球的个数恰好相等的概率为______________.（结果用最简分数表示）
14．橘生淮南则为橘，生于淮北则为枳，出自《晏子使楚》.意思是说，橘树生长在淮河以
南的地方就是橘树，生长在淮河以北的地方就是枳树，现在常用来比喻一旦环境改变，事
物的性质也可能随之改变.某科研院校培育橘树新品种，使得橘树在淮北种植成功，经过科
学统计，单个果品的质量 （单位：g）近似服从正态分布 N 90, 2 ，且 P(86 90) 0.2，
在有 1000个的一批橘果中，估计单个果品质量不低于94g的橘果个数为___________.
15．口袋中放有大小相等的 2个白球和 1个黑球，有放回地每次摸取 1个球，定义数列{an}：
若第 n次摸到白球，an 1；若第 n次摸到黑球，an 1.设 Sn为数列{an}的前 n项和，则 S7 3
的概率为______.
16．著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天
f (xn )
中应用广泛.其定义是：对于函数 f (x)，若数列{xn}满足 xn 1 xn {x }f (x ) ，则称数列 n 为n
牛顿数列，若函数 f (x) x2， an log2 xn，且 a1 1，则 a9 __________.
四 解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（10分）设函数 f (x) ax3 bx 1在 x 1处取得极值-1.
(1)求 a、b的值； (2)求 f (x)的单调区间.
18．（12分）某同学买了 7个盲盒，每个盲盒中都有一支笔，有 4支钢笔和 3支圆珠笔．
（1）依次不放回地从中取出 2个盲盒，求第 1次、第 2次取到的都是钢笔盲盒的概率；
（2）依次不放回地从中取出 2个盲盒，求第 2次取到的是圆珠笔盲盒的概率．
19 2．（12分）已知向量 a 2 3sin x,cos x ，b cos x,6 ，设函数 f x a b .
（1）求函数 f x 的最大值;
高二数学 第 3页（共 8页）
（2）在锐角 ABC中，三个角A， B，C所对的边分别为 a，b， c，若 f B 0,b 7，
3sin A 2sinC 0，求 ABC的面积.
20.（12分）某产品按照产品质量标准分为 1等品、2 等品、3 等品、4等品四个等级．某采
购商从采购的产品中随机抽取 100 个，根据产品的等级分类标准得到下面柱状图：
(1)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取 3 个，求恰好有 1 个 4 等品的概
率；
(2)按分层抽样从这 100 个产品中抽取 10 个．现从这 10 个产品中随机抽取 3个，记这 3 个
产品中 1 等品的数量为 X，求 X 的分布列及数学期望；
21.（12分）已知数列 an 的前 n项和为 Sn，从条件①: a2 a1 2，且 2an a1 Sn、条
件②: an 为等比数列，且满足 S 2n 1n k n N* 这两个条件中选择一个条件作为已
知，解答下列问题.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
（1）求数列 an 的通项公式；
1
（2）设bn n N * ，记 bn 的前 n项和为Tn ，若对任意正整数 n，log2 a2n 1 log2 a2n 3
T 2 2都有 n 恒成立，求实数 的取值范围.3
22．（12分）已知函数 f (x) x ln x
a
x 2 1 ．
2
(1)若 f (x)在 (0, )上单调递减，求 a的取值范围；
(2)若 f (x)在 x 1 1处的切线斜率是 2 ，证明 f (x)有两个极值点 x1，x2，且 3ln 2 ln x2 ln x1 3 ．
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