新题征展[下学期]
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新题征展（59）
韩 文 美
（注：本文发表于《中学数学》2004年第11期）
题目1：已知一个数列的各项是1或3，首项为1，且在第个1和第个1之间有个3，即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，…。记数列的前项的和为。
（1）试问第2005个1为该数列的第几项？
（2）求；
（3）求；
（4）是否存在正整数，使得？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由。
解：
将第个1与第个1前的3记为第组，
即（1，3）为第1组，共1+1=2项；
（1，3，3，3）为第2组，共1+（2×2-1）=4项；
……
为第组，共项；
……
故前组共有项数为：。
（1）第2005个1所在的项为前2004组所在全部项的后1项，
即为2004（2004+1）+1=4018021（项）；
（2）因44×45=1980，45×46=2070，故第2005项在第45组内，从而
；
（3）由（2）可知，前2005项中共有45个1，其余1960个数均为3，于
是；
（4）前组所在全部项的和为：
易得，，，
，且自第652项到第702项均为3，而2005-1901=104不能被3整除，故不存在，使。
题目2：如图，A、B为函数图像上两点，且AB∥x轴，点M（1，m）（m>3）是△ABC边AC的中点。
（1）设点B的横坐标为t，△ABC的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（2）求函数的最大值，并求出相应的点C的坐标。
解：
（1）设B，A，，M是△ABC边AC的中点，则
∴；
（2）∵，M（1，m）是△ABC边AC的中点
∴
∴
当时，
当且仅当，即时，S的最大值是。
此时点C的坐标是。
当m>9时，在区间（0，1]上是增函数，证明如下：
设
∵，，，又
∴
又
∴
∴
∴在（0，1）上为增函数，
故时，，此时。
题目3：已知抛物线C的方程为，F为焦点，直线：与C交于A、B两点，P为AB的中点，直线过P、F点。
（1）求直线的斜率关于的解析式，并指出定义域；
（2）求函数的反函数；
（3）求与的夹角的取值范围；
（4）解不等式：。
解：
（1）由得：
∴
∴
又
∴，
又
∴；
（2）由可得：；
（3）∵
又
∴
∴；
（4）∵
∴原不等式为
①当时，，∴；
②当时，，那么：
时，；
时，。
题目4：如图1，正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点。
（1）求二面角B1—MN—B的正切值；
（2）证明：PB⊥平面MNB1；
（3）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离。
解：
（1）如图2，连接BD交MN于F，则BF⊥MN，连接B1F
∵B1B⊥平面ABCD
∴B1F⊥MN
则∠B1FB为二面角B1—MN—B的平面角
在Rt△B1FB中，设B1B=1，则
∴；
（2）过点P作PE⊥AA1于E，则PE∥DA，连接BE
又DA⊥平面ABB1A1
∴PE⊥平面ABB1A1
又BE⊥B1M
∴PB⊥MB1
又MN∥AC，BD⊥AC
∴BD⊥MN
又PD⊥平面ABCD
∴PB⊥MN
所以PB⊥平面MNB1；
（3），符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一：
题目5：已知函数。
（1）证明函数的图象关于点（a，-1）成中心对称图形；
（2）当，时，求证：，；
（3）我们利用函数构造一个数列，方法如下：对于给定的定义域中的，令，，…，，…，在上述构造数列的过程中，如果（i＝2，3，4，…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果不在定义域中，构造数列的过程停止。
①如果可以用上述方法构造出一个常数列，求实数a的取值范围；
②如果取定义域中任一值作为，都可以用上述方法构造出一个无穷数列，求实数a的值。
解：
（1）设点P（，）是函数图象上一点，则
点P关于（a，-1）的对称点，
∵，
∴，即点在函数的图象上
∴函数的图象关于点（a，-1）成中心对称图形；
（2）∵
又，，
∴
∴
∴；
（3）①根据题意，只需x≠a时，有实解，即有实解，即有不等于a的解
∴
由得：a≤-3或a≥1
由
综上a≤-3或a≥1；
②根据题意，应满足时无实解
即时无实解
由于不是方程的解
∴对于任意，无解
∴a＝-1。
韩 文 美
（注：本文发表于《中学数学》2004年第11期）
题目1：已知一个数列的各项是1或3，首项为1，且在第个1和第个1之间有个3，即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，…。记数列的前项的和为。
（1）试问第2005个1为该数列的第几项？
（2）求；
（3）求；
（4）是否存在正整数，使得？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由。
解：
将第个1与第个1前的3记为第组，
即（1，3）为第1组，共1+1=2项；
（1，3，3，3）为第2组，共1+（2×2-1）=4项；
……
为第组，共项；
……
故前组共有项数为：。
（1）第2005个1所在的项为前2004组所在全部项的后1项，
即为2004（2004+1）+1=4018021（项）；
（2）因44×45=1980，45×46=2070，故第2005项在第45组内，从而
；
（3）由（2）可知，前2005项中共有45个1，其余1960个数均为3，于
是；
（4）前组所在全部项的和为：
易得，，，
，且自第652项到第702项均为3，而2005-1901=104不能被3整除，故不存在，使。
题目2：如图，A、B为函数图像上两点，且AB∥x轴，点M（1，m）（m>3）是△ABC边AC的中点。
（1）设点B的横坐标为t，△ABC的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（2）求函数的最大值，并求出相应的点C的坐标。
解：
（1）设B，A，，M是△ABC边AC的中点，则
∴；
（2）∵，M（1，m）是△ABC边AC的中点
∴
∴
当时，
当且仅当，即时，S的最大值是。
此时点C的坐标是。
当m>9时，在区间（0，1]上是增函数，证明如下：
设
∵，，，又
∴
又
∴
∴
∴在（0，1）上为增函数，
故时，，此时。
题目3：已知抛物线C的方程为，F为焦点，直线：与C交于A、B两点，P为AB的中点，直线过P、F点。
（1）求直线的斜率关于的解析式，并指出定义域；
（2）求函数的反函数；
（3）求与的夹角的取值范围；
（4）解不等式：。
解：
（1）由得：
∴
∴
又
∴，
又
∴；
（2）由可得：；
（3）∵
又
∴
∴；
（4）∵
∴原不等式为
①当时，，∴；
②当时，，那么：
时，；
时，。
题目4：如图1，正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点。
（1）求二面角B1—MN—B的正切值；
（2）证明：PB⊥平面MNB1；
（3）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离。
解：
（1）如图2，连接BD交MN于F，则BF⊥MN，连接B1F
∵B1B⊥平面ABCD
∴B1F⊥MN
则∠B1FB为二面角B1—MN—B的平面角
在Rt△B1FB中，设B1B=1，则
∴；
（2）过点P作PE⊥AA1于E，则PE∥DA，连接BE
又DA⊥平面ABB1A1
∴PE⊥平面ABB1A1
又BE⊥B1M
∴PB⊥MB1
又MN∥AC，BD⊥AC
∴BD⊥MN
又PD⊥平面ABCD
∴PB⊥MN
所以PB⊥平面MNB1；
（3），符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一：
题目5：已知函数。
（1）证明函数的图象关于点（a，-1）成中心对称图形；
（2）当，时，求证：，；
（3）我们利用函数构造一个数列，方法如下：对于给定的定义域中的，令，，…，，…，在上述构造数列的过程中，如果（i＝2，3，4，…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果不在定义域中，构造数列的过程停止。
①如果可以用上述方法构造出一个常数列，求实数a的取值范围；
②如果取定义域中任一值作为，都可以用上述方法构造出一个无穷数列，求实数a的值。
解：
（1）设点P（，）是函数图象上一点，则
点P关于（a，-1）的对称点，
∵，
∴，即点在函数的图象上
∴函数的图象关于点（a，-1）成中心对称图形；
（2）∵
又，，
∴
∴
∴；
（3）①根据题意，只需x≠a时，有实解，即有实解，即有不等于a的解
∴
由得：a≤-3或a≥1
由
综上a≤-3或a≥1；
②根据题意，应满足时无实解
即时无实解
由于不是方程的解
∴对于任意，无解
∴a＝-1。