甘肃省张掖市高台县2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 甘肃省张掖市高台县2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-07 05:37:08 | ||
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文档简介
高台县2022-2023学年高二下学期期中考试
数 学 试 卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列导数运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.已知为原点，，，则的边上的中线长为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
3.已知向量分别是直线，的方向向量，若，则（ ）
A.8 B.20 C. D.
4.函数的图象在处的切线在轴上的截距是（ ）
A.1 B. C. D.0
5.已知直线与曲线相切，则实数a的值为（ ）
A. B. C.0 D.2
6.设正方体的棱长为1，则点到的距离为（ ）
A B. C. D.
7.已知点为函数的图象上一点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
9.函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论中错误的有（ ）
A.是的极小值点 B.
C.函数在上有极大值 D.函数有三个极值点
10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（ ）
A.若两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B.若直线的方向向量，平面的法向量是，则
C.若两个不同平面，的法向量分别为，，则
D.若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
11.如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则下列结论中正确的（ ）
A.平面 B.
C.是平面的一个法向量 D.点到平面的距离为
12.已知函数，则下列结论中错误的有（ ）
A.一定有极大值 B.当时，有极小值
C.当时，可能无零点 D.若在区间上单调递增，则
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.曲线在x＝1处的切线方程为__________．
14.若函数在上是单调增函数，则的取值范围是________．
15.在空间直角坐标系中，点，，，若点在平面内，则，，，应满足的关系为_________．
16.已知函数．若恒成立，则的取值范围是的 ．
三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．）
17.函数过点．
（1）求函数的单调区间
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
18.已知函数．
（1）若在处取得极值，求a的值；
（2）若有两个零点，求a的取值范围．
19.如图，平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，．
（1）证明：AB垂直平面PDE；
（2）求直线与平面DCE所成角的正弦值．
20.如图，正方体的棱长为2，点为的中点．
（1）求点到平面的距离为；
（2）求到平面的距离．
21.如图，已知三角形是等腰三角形，，，C，D分别为，的中点，将沿CD折到△PCD的位置如图2，且，取线段PB的中点为E．
（1）求证：平面PAD；
（2）求二面角的正弦值．
22.已知，．
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
高台县2022-2023学年高二下学期期中考试
数 学 试 卷 答案解析
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列导数运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】；；；．
故选：D．
2.已知为原点，，，则的边上的中线长为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【详解】线段的中点坐标为，
则的边上的中线长为．
故选：B
3.已知向量分别是直线，的方向向量，若，则（ ）
A.8 B.20 C. D.
【答案】A
【详解】向量，，，分别是直线，的方向向量，
若，则存在实数使得，
所以，，，解得，，，
所以．
故选：．
4.函数的图象在处的切线在轴上的截距是（ ）
A.1 B. C. D.0
【答案】C
【详解】由题意可得：，，
则，
即切点坐标为，切线斜率，
故切线方程为，则，
令，则，解得，
故函数的图象在处的切线在轴上的截距是．
故选：C．
5.已知直线与曲线相切，则实数a的值为（ ）
A. B. C.0 D.2
【答案】A
【详解】设切点为，易知，则，解之得，
故选：A
6.设正方体的棱长为1，则点到的距离为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【详解】方法一：如图，
到的距离即为正三角形的高，又因为正方体的棱长为1，则正三角形的边长为，易得到的距离即为．
方法二：分别以为方向为轴正向建立空间直角坐标系，
则，易得直线的单位方向向
量为，所以到的距离为．
故答案为：．
7.已知点为函数的图象上一点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】设直线平行于直线，则直线的斜率为2，
当直线与函数的图象相切，点为切点时，点
到直线的距离的最小，设切点坐标为，
因为，则，解得，
又在函数的图象上，则，
则切点坐标为，到直线的距离为，
则点到直线的距离的最小值为．
故选：A．
8.若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】设该切线的切点为，则切线的斜率为，
所以切线方程为，
又切线过点，则，整理得．
要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解，
即函数图象与直线在R上有3个交点，
设，则，
令，令或，
所以函数在上单调递增，在和上单调递减，
且极小值、极大值分别为，如图，
由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点，
即过点的切线有3条．所以实数a的取值范围为．
故选：B．
多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9.函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论中错误的有（ ）
A.是的极小值点 B.
C.函数在上有极大值 D.函数有三个极值点
【答案】ACD
【详解】当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以有，因此选项B正确；
当时，，单调递增，
所以在上没有极大值，因此选项C不正确；
当时，，单调递增，
因此不是的极值点，只有当和时函数有极值点，
所以选项A不正确，选项D不正确，
故选：ACD
10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（ ）
A.若两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B.若直线的方向向量，平面的法向量是，则
C.若两个不同平面，的法向量分别为，，则
D.若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
【答案】ACD
【详解】因为两条不重合直线，的方向向量分别是，，
所以，所以共线，又直线，不重合，
所以，故A正确；
因为直线的方向向量，平面的法向量是
且，所以，故B不正确；
两个不同平面，的法向量分别为，，
则有，所以，故C正确；
平面经过三点，，，
所以
又向量是平面的法向量，
所以
则，故D正确，
故选：ACD．
11.如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则下列结论中正确的（ ）
A.平面 B.
C.是平面的一个法向量 D.点到平面的距离为
【答案】ACD
【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
对于A，由于分别是的中点，所以，平面，平面，故平面，故A正确，
对于B，，故，故与不垂直，进而可得与不垂直，故B错误，
对于C，由，所以，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，所以平面的一个法向量，故C正确，
对于D，
点到平面的距离为，故D正确，
故选：ACD
12.已知函数，则下列结论中错误的有（ ）
A.一定有极大值 B.当时，有极小值
C.当时，可能无零点 D.若在区间上单调递增，则
【答案】ABC
【详解】由题意可得：，
若，则恒成立，即在定义域上单调递增，无极值，故A错误；
若，令，易得：在上单调递增，在上单调递减，即有极大值，故B错误；
若，由上知在定义域上单调递增，当时，，当时，，故使得，故C错误；
若在区间上单调递增，则由上可知
①时，恒成立，满足题意；
②时，则，即，
综上可得，故D正确．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.曲线在x＝1处的切线方程为__________．
【答案】
14.若函数在上是单调增函数，则的取值范围是________．
【答案】
【详解】由得，
由于在上是单调增函数，故在上恒成立，故，
故答案为：
15.在空间直角坐标系中，点，，，若点在平面内，则，，，应满足的关系为_________．
【答案】
【详解】点，，，
所以：，，
设平面的法向量为，
则：，令得：
在平面内，所以
即：
故答案为：
16.已知函数．若恒成立，则的取值范围是的 ．
【答案】．
【详解】的定义域为，
所以．
令，则，解得，
当变化时，，的变化情况如右：
单调递减 极小值为 单调递增
恒成立等价于即可．
令，则，
令，则，
令，
由（1）知，在上单调递减，在上单调递增；
，
所以在上单调递增，
所以在上单调递增，且，
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，取到最小值为，即，
所以的取值范围为．
三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．）
17.函数过点．
（1）求函数的单调区间
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
【详解】（1）点在函数的图象上，
∴，解得，
∴，∴，
当或时，，当时，．
所以的增区间为，，减区间为．－－－－5分
（2）由（1）可得：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．－－－7分
∴，又，，
∴．－－－－10分
18.已知函数．
（1）若在处取得极值，求a的值；
（2）若有两个零点，求a的取值范围．
【详解】（1）解：由函数，可得函数的定义域为，
且，
因为函数在处取得极值，所以，解得，－－－3分
当时，可得，
当时，，单调递减
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，符合题意．－－－－－－5分
（2）解：由，其中，
当时，可得，单调递减，函数至多有一个零点，不符合题意；－－6分
当时，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
当时，函数极小值，也是最小值，最小值为，－－－9分
当时，，且，
要使得函数有两个零点，则满足，即，
解得，所以实数的取值范围是．－－－12分
19.如图，平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，．
（1）证明：AB垂直平面PDE；
（2）求直线与平面DCE所成角的正弦值．
【详解】（1）略．－－－－5分
（2）以为坐标原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，．
，，
因为，所以
又，平面，，
所以平面，
所以为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
∴直线与平面所成角的正弦值为．－－－－－12分
20.如图，正方体的棱长为2，点为的中点．
（1）求点到平面的距离为；
（2）求到平面的距离．
【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴如图建立空间直角坐标系，
则， －－－－2分
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
令，
所以平面所的法向量为，又
所以点到平面的距离．－－－－7分
（2）由（1）可得平面的法向量为，
∵，∴，
，
，
∴平面，
所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离，
由，
所以到平面的距离为．－－－12分
21.如图，已知三角形是等腰三角形，，，C，D分别为，的中点，将沿CD折到△PCD的位置如图2，且，取线段PB的中点为E．
（1）求证：平面PAD；
（2）求二面角的正弦值．
【详解】（1）证明：取PA中点F，连接DF，EF，
∵E为PB的中点，则，，∴，，
又∵C，D分别为，的中点，∴，，
∴，，
∴四边形CDEF为平行四边形，∴．
∵平面PAD，平面PAD，
∴平面PAD；－－－5分
（2）由题知，，，
∴，则，
∵在中，，C，D分别为，的中点，
∴，∴，，
∴AD，CD，PD两两互相垂直．－－－7分
如图所示，以D为坐标原点，分别以AD，CD，PD所在直线为x轴、y轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，
注：从此处运用坐标法证得（1）得7分．
设平面ECA，平面ECB的法向量分别为，，
则，取，可得；
，取，得．
∴．
设二面角的平面角为，则．－－－－－12分
22.已知，．
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【详解】（1）解：因为，则，令可得．－－－2分
①当时，对任意的，，此时函数的减区间为；
②当时，由可得，由可得，
此时函数的减区间为，增区间为．－－－－－－5分
综上所述，当时，函数的减区间为；
当时，函数的减区间为，增区间为．－－－－－－6分
（2）解：对一切实数，不等式恒成立，即，
可得，即，－－－－－－8分
令，其中，
则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，－－－－－－10分
所以，，则，解得．－－－－－－12分
数 学 试 卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列导数运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.已知为原点，，，则的边上的中线长为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
3.已知向量分别是直线，的方向向量，若，则（ ）
A.8 B.20 C. D.
4.函数的图象在处的切线在轴上的截距是（ ）
A.1 B. C. D.0
5.已知直线与曲线相切，则实数a的值为（ ）
A. B. C.0 D.2
6.设正方体的棱长为1，则点到的距离为（ ）
A B. C. D.
7.已知点为函数的图象上一点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
9.函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论中错误的有（ ）
A.是的极小值点 B.
C.函数在上有极大值 D.函数有三个极值点
10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（ ）
A.若两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B.若直线的方向向量，平面的法向量是，则
C.若两个不同平面，的法向量分别为，，则
D.若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
11.如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则下列结论中正确的（ ）
A.平面 B.
C.是平面的一个法向量 D.点到平面的距离为
12.已知函数，则下列结论中错误的有（ ）
A.一定有极大值 B.当时，有极小值
C.当时，可能无零点 D.若在区间上单调递增，则
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.曲线在x＝1处的切线方程为__________．
14.若函数在上是单调增函数，则的取值范围是________．
15.在空间直角坐标系中，点，，，若点在平面内，则，，，应满足的关系为_________．
16.已知函数．若恒成立，则的取值范围是的 ．
三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．）
17.函数过点．
（1）求函数的单调区间
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
18.已知函数．
（1）若在处取得极值，求a的值；
（2）若有两个零点，求a的取值范围．
19.如图，平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，．
（1）证明：AB垂直平面PDE；
（2）求直线与平面DCE所成角的正弦值．
20.如图，正方体的棱长为2，点为的中点．
（1）求点到平面的距离为；
（2）求到平面的距离．
21.如图，已知三角形是等腰三角形，，，C，D分别为，的中点，将沿CD折到△PCD的位置如图2，且，取线段PB的中点为E．
（1）求证：平面PAD；
（2）求二面角的正弦值．
22.已知，．
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
高台县2022-2023学年高二下学期期中考试
数 学 试 卷 答案解析
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列导数运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】；；；．
故选：D．
2.已知为原点，，，则的边上的中线长为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【详解】线段的中点坐标为，
则的边上的中线长为．
故选：B
3.已知向量分别是直线，的方向向量，若，则（ ）
A.8 B.20 C. D.
【答案】A
【详解】向量，，，分别是直线，的方向向量，
若，则存在实数使得，
所以，，，解得，，，
所以．
故选：．
4.函数的图象在处的切线在轴上的截距是（ ）
A.1 B. C. D.0
【答案】C
【详解】由题意可得：，，
则，
即切点坐标为，切线斜率，
故切线方程为，则，
令，则，解得，
故函数的图象在处的切线在轴上的截距是．
故选：C．
5.已知直线与曲线相切，则实数a的值为（ ）
A. B. C.0 D.2
【答案】A
【详解】设切点为，易知，则，解之得，
故选：A
6.设正方体的棱长为1，则点到的距离为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【详解】方法一：如图，
到的距离即为正三角形的高，又因为正方体的棱长为1，则正三角形的边长为，易得到的距离即为．
方法二：分别以为方向为轴正向建立空间直角坐标系，
则，易得直线的单位方向向
量为，所以到的距离为．
故答案为：．
7.已知点为函数的图象上一点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】设直线平行于直线，则直线的斜率为2，
当直线与函数的图象相切，点为切点时，点
到直线的距离的最小，设切点坐标为，
因为，则，解得，
又在函数的图象上，则，
则切点坐标为，到直线的距离为，
则点到直线的距离的最小值为．
故选：A．
8.若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】设该切线的切点为，则切线的斜率为，
所以切线方程为，
又切线过点，则，整理得．
要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解，
即函数图象与直线在R上有3个交点，
设，则，
令，令或，
所以函数在上单调递增，在和上单调递减，
且极小值、极大值分别为，如图，
由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点，
即过点的切线有3条．所以实数a的取值范围为．
故选：B．
多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9.函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论中错误的有（ ）
A.是的极小值点 B.
C.函数在上有极大值 D.函数有三个极值点
【答案】ACD
【详解】当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以有，因此选项B正确；
当时，，单调递增，
所以在上没有极大值，因此选项C不正确；
当时，，单调递增，
因此不是的极值点，只有当和时函数有极值点，
所以选项A不正确，选项D不正确，
故选：ACD
10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（ ）
A.若两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B.若直线的方向向量，平面的法向量是，则
C.若两个不同平面，的法向量分别为，，则
D.若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
【答案】ACD
【详解】因为两条不重合直线，的方向向量分别是，，
所以，所以共线，又直线，不重合，
所以，故A正确；
因为直线的方向向量，平面的法向量是
且，所以，故B不正确；
两个不同平面，的法向量分别为，，
则有，所以，故C正确；
平面经过三点，，，
所以
又向量是平面的法向量，
所以
则，故D正确，
故选：ACD．
11.如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则下列结论中正确的（ ）
A.平面 B.
C.是平面的一个法向量 D.点到平面的距离为
【答案】ACD
【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
对于A，由于分别是的中点，所以，平面，平面，故平面，故A正确，
对于B，，故，故与不垂直，进而可得与不垂直，故B错误，
对于C，由，所以，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，所以平面的一个法向量，故C正确，
对于D，
点到平面的距离为，故D正确，
故选：ACD
12.已知函数，则下列结论中错误的有（ ）
A.一定有极大值 B.当时，有极小值
C.当时，可能无零点 D.若在区间上单调递增，则
【答案】ABC
【详解】由题意可得：，
若，则恒成立，即在定义域上单调递增，无极值，故A错误；
若，令，易得：在上单调递增，在上单调递减，即有极大值，故B错误；
若，由上知在定义域上单调递增，当时，，当时，，故使得，故C错误；
若在区间上单调递增，则由上可知
①时，恒成立，满足题意；
②时，则，即，
综上可得，故D正确．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.曲线在x＝1处的切线方程为__________．
【答案】
14.若函数在上是单调增函数，则的取值范围是________．
【答案】
【详解】由得，
由于在上是单调增函数，故在上恒成立，故，
故答案为：
15.在空间直角坐标系中，点，，，若点在平面内，则，，，应满足的关系为_________．
【答案】
【详解】点，，，
所以：，，
设平面的法向量为，
则：，令得：
在平面内，所以
即：
故答案为：
16.已知函数．若恒成立，则的取值范围是的 ．
【答案】．
【详解】的定义域为，
所以．
令，则，解得，
当变化时，，的变化情况如右：
单调递减 极小值为 单调递增
恒成立等价于即可．
令，则，
令，则，
令，
由（1）知，在上单调递减，在上单调递增；
，
所以在上单调递增，
所以在上单调递增，且，
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，取到最小值为，即，
所以的取值范围为．
三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．）
17.函数过点．
（1）求函数的单调区间
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
【详解】（1）点在函数的图象上，
∴，解得，
∴，∴，
当或时，，当时，．
所以的增区间为，，减区间为．－－－－5分
（2）由（1）可得：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．－－－7分
∴，又，，
∴．－－－－10分
18.已知函数．
（1）若在处取得极值，求a的值；
（2）若有两个零点，求a的取值范围．
【详解】（1）解：由函数，可得函数的定义域为，
且，
因为函数在处取得极值，所以，解得，－－－3分
当时，可得，
当时，，单调递减
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，符合题意．－－－－－－5分
（2）解：由，其中，
当时，可得，单调递减，函数至多有一个零点，不符合题意；－－6分
当时，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
当时，函数极小值，也是最小值，最小值为，－－－9分
当时，，且，
要使得函数有两个零点，则满足，即，
解得，所以实数的取值范围是．－－－12分
19.如图，平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，．
（1）证明：AB垂直平面PDE；
（2）求直线与平面DCE所成角的正弦值．
【详解】（1）略．－－－－5分
（2）以为坐标原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，．
，，
因为，所以
又，平面，，
所以平面，
所以为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
∴直线与平面所成角的正弦值为．－－－－－12分
20.如图，正方体的棱长为2，点为的中点．
（1）求点到平面的距离为；
（2）求到平面的距离．
【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴如图建立空间直角坐标系，
则， －－－－2分
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
令，
所以平面所的法向量为，又
所以点到平面的距离．－－－－7分
（2）由（1）可得平面的法向量为，
∵，∴，
，
，
∴平面，
所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离，
由，
所以到平面的距离为．－－－12分
21.如图，已知三角形是等腰三角形，，，C，D分别为，的中点，将沿CD折到△PCD的位置如图2，且，取线段PB的中点为E．
（1）求证：平面PAD；
（2）求二面角的正弦值．
【详解】（1）证明：取PA中点F，连接DF，EF，
∵E为PB的中点，则，，∴，，
又∵C，D分别为，的中点，∴，，
∴，，
∴四边形CDEF为平行四边形，∴．
∵平面PAD，平面PAD，
∴平面PAD；－－－5分
（2）由题知，，，
∴，则，
∵在中，，C，D分别为，的中点，
∴，∴，，
∴AD，CD，PD两两互相垂直．－－－7分
如图所示，以D为坐标原点，分别以AD，CD，PD所在直线为x轴、y轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，
注：从此处运用坐标法证得（1）得7分．
设平面ECA，平面ECB的法向量分别为，，
则，取，可得；
，取，得．
∴．
设二面角的平面角为，则．－－－－－12分
22.已知，．
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【详解】（1）解：因为，则，令可得．－－－2分
①当时，对任意的，，此时函数的减区间为；
②当时，由可得，由可得，
此时函数的减区间为，增区间为．－－－－－－5分
综上所述，当时，函数的减区间为；
当时，函数的减区间为，增区间为．－－－－－－6分
（2）解：对一切实数，不等式恒成立，即，
可得，即，－－－－－－8分
令，其中，
则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，－－－－－－10分
所以，，则，解得．－－－－－－12分
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