2.2二次函数的图象与性质 同步练习（含答案）北师大版数学九年级下册

北师大版九下2.2二次函数的图象与性质
（共21题）
一、选择题（共13题）
下列判断中唯一正确的是
A．函数 的图象开口向上，函数 的图象开口向下
B．二次函数 ，当 时， 随 的增大而增大
C． 与 图象的顶点、对称轴、开口方向、开口大小完全相同
D．抛物线 与 的图象关于 轴对称
如图，将函数 的图象沿 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点 ， 平移后的对应点分别为点 ，．若曲线段 扫过的面积为 （图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是
A． B．
C． D．
将抛物线 平移，得到抛物线 ，下列平移方式，正确的是
A．先向右平移 个单位，再向上平移 个单位
B．先向右平移 个单位，再向下平移 个单位
C．先向左平移 个单位，再向上平移 个单位
D．先向左平移 个单位，再向下平移 个单位
在同一坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象可能是
A．
B．
C．
D．
抛物线 的顶点坐标是
A． B．
C． D．
将抛物线 向上平移 个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的抛物线解析式是
A． B．
C． D．
把函数 的图象向右平移 个单位，所得到的新函数的表达式是
A． B．
C． D．
将抛物线 向左平移 个单位，再向下平移 个单位得抛物线 ，则
A． ，， B． ，，
C． ，， D． ，，
如图，矩形 中，，， 为对角线 的中点，点 ， 分别从 和 两点同时出发，在边 和 上匀速运动，并且同时到达终点 ，，连接 ， 并延长分别与 ， 交于点 ，．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是
A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小
将如图所示的抛物线向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度后，得到的抛物线解析式是
A． B．
C． D．
已知二次函数 的图象如图所示，那么一次函数 与反比例函数 在同一坐标系内的图象可能是
A． B．
C． D．
抛物线 的顶点坐标是
A． B．
C． D．
如图，是二次函数 图象的一部分，其对称轴是 ，且过点 ，下列说法：① ；② ；③若 ， 是抛物线上两点，则 ；④ ，其中说法正确的
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④
二、填空题（共4题）
已知二次函数 ，那么该二次函数的图象的对称轴是 ．
已知二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，则 （填“”或“”）．
如图，抛物线 与 轴正半轴交于点 ，过点 作 轴交抛物线于点 ，抛物线的对称轴交抛物线于点 、交 轴于点 ，连接 ，，，，则四边形 的面积为 ．
将抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析式化为 的形式是 ．
三、解答题（共4题）
已知抛物线 与抛物线 有相同的顶点且经过点 ．
(1) 求此二次函数的表达式，并求出顶点 的坐标；
(2) 求点 关于对称轴的对称点 的坐标及 的面积．
如图，在 中，，，， 为 边上的动点（与 ， 不重合），交 于点 ，连接 ，设 ， 的面积为 ．
(1) 用含 的代数式表示 的长．
(2) 求 与 的函数表达式，并求当 随 增大而减小时 的取值范围．
如图所示，在边长为 的正方形 中，一直角三角尺 的直角顶点 在对角线 上移动，直角边 经过点 ，另一直角边与射线 交于点 ．
(1) ；
(2) 连接 ，试证明： 为等腰三角形；
(3) 设 ， 的面积为 ．
①求出 关于 函数关系式；
②当点 落在 的何处时， 的面积最大，此时最大值是多少？
在平面直角坐标系中， 为坐标原点，直线 交二次函数 的图象于点 ，，点 在该二次函数的图象上，设过点 （其中 ）且平行于 轴的直线交直线 于点 ，交直线 于点 ，以线段 ， 为邻边作矩形 ．
(1) 若点 的横坐标为 ．
①用含 的代数式表示 的坐标；
②点 能否落在该二次函数的图象上？若能，求出 的值；若不能，请说明理由；
(2) 当 时，若点 恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线 的函数表达式．
答案
一、选择题（共13题）
1. 【答案】D
【解析】A、若当 时，则函数 的图象开口向下，函数 的图象开口向上，故A不正确；
B、若 时，则二次函数 开口向上，当 时， 随 的增大而减小，故B不正确；
C、由于两函数中二次项系数互为相反数，故两抛物线的开口方向相反，故C不正确；
D、因为 和 互为相反数，所以抛物线 与 的开口方向相反，对称轴、顶点坐标都相同，故其图象关于 轴对称；
故选：D．
2. 【答案】D
3. 【答案】D
【解析】 的顶点坐标为 ， 的顶点坐标为 ，
将抛物线 向左平移 个单位，再向下平移 个单位，可得到抛物线 ．
故选D．
4. 【答案】D
5. 【答案】A
6. 【答案】B
【解析】 ，抛物线的顶点坐标为 ，
把点 向上平移 个单位长度，再向右平移 个单位长度得到点的坐标为 ，
所以平移后得到的抛物线解析式为 ．
7. 【答案】B
8. 【答案】D
【解析】 ，
抛物线的顶点坐标为 ，
抛物线 向左平移 个单位，再向下平移 个单位长度得抛物线 ，
，，
平移前抛物线顶点坐标为 ，
平移前抛物线为 ，
，，．
9. 【答案】C
【解析】由题意设 点速度为 ，则 点速度为 ．
先减小后增大．
10. 【答案】C
【解析】由图象，得 ，
由平移规律，得 ，
故选：C．
11. 【答案】B
【解析】由函数开口方向可知，开口朝上，
，
又 轴 ，
轴 ，
且 ，，
函数交 轴于负半轴，
，
中，，，
一次函数图象过二、三、四象限，
又 中，，，
，
反比例函数在二、四象限，
A，C，D选项错误，不符合题意，舍弃，
选择：B．
12. 【答案】B
【解析】 是抛物线的顶点式，
抛物线的顶点坐标为 ．
故选：B．
13. 【答案】B
【解析】由图象可得，
，，，则 ，故①正确；
该函数的对称轴是 ，
得 ，故②正确；
，，
若 ， 是抛物线上两点，则 ，故③正确；
该函数的对称轴是 ，过点 ，
和 时的函数值相等，都大于 ，
，故④错误．
二、填空题（共4题）
14. 【答案】
15. 【答案】
16. 【答案】
【解析】抛物线 的顶点坐标为 ，抛物线的对称轴为直线 ，
轴，
，
四边形 的面积 ．
故答案为 ．
17. 【答案】
【解析】先将抛物线的解析式化为标准式为 ，
则根据题意可得 ．
故答案为：．
三、解答题（共4题）
18. 【答案】
(1) ，．
(2) ，．
19. 【答案】
(1) ，
．
，，，
．
．
，即 ．
(2) 根据题意，
当 时， 随 的增大而减小．
20. 【答案】
(1) 过点 作 ，分别交 ， 于 ，，如图所示．
四边形 是正方形，
四边形 和四边形 都是矩形， 和 都是等腰直角三角形，
，，；
又 ，
；
又 ，，
，
．
(2) ，，，
，
，
，
为等腰三角形．
(3) ① ，
，，
，
即 ；
② ，
，
当 时，．
21. 【答案】
(1) ① 点 在 的图象上，横坐标为 ，
，
直线 的解析式为 ，
点 的纵坐标为 ，
；
②假设能在抛物线上，
，
直线 的解析式为 ，
点 在直线 上，纵坐标为 ，
，
的中点的坐标为 ，
，把点 坐标代入抛物线的解析式得到 ．
(2) 或 ．
【解析】
(2) ①当点 在 轴右侧时，
设 ，
直线 解析式为 ，
，
，
直线 的解析式为 ，可得 ，
，
代入抛物线的解析式得到 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ；
②当点 在 轴左侧时，即为①中点 位置，
直线 解析式为 ．
综上所述，直线 的解析式为 或 ．