课题
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、教学目标
1、知识与技能
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
（4）理解并掌握等角定理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2、过程与方法
（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；
（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。
3、情感与价值
让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
二、教学重点难点
重点：
1、异面直线的概念；
2、公理4及等角定理。
难点：
异面直线所成角的计算。
三、学法与教学用具
1、学法：
学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：
三角板、小黑板
四、教学过程
（一）复习旧知
平面的定义、公理1、公理2、公理3.
（二）创设情景、导入课题
通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。那么，空间两条直线有多少种位置关系？
（三）讲授新课
1、给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：
分别从有无公共点和是否共面的角度将其分类。
2、在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？
组织学生思考：
长方体中，
，，与
平行吗？（师生讨论）
再联系其他相应实例归纳出公理4
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设、、是三条直线
∥
∥
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例2（小黑板）：
例2的讲解让学生掌握了公理4，再运用教材P47探究让学生在思考和交流中提升了对公理4的运用能力。
组织学生思考教材P47的思考题
让学生观察、思考：
∠与、∠与
∠的两边分别对应平行，这
两组角的大小关系如何？
从图可以得出：
∠=，∠ + ∠ = 1800
教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。
下面师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。
如图，已知异面直线、，经过空间中任一点O作直线∥、∥，我们把与所成的锐角（或直角）叫异面直线与所成的角（夹角）。
错误！嵌入对象无效。
强调：
① 与所成的角的大小只由、的相互位置来确定，与O的选择无关，
② 两条异面直线所成的角；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
例3（小黑板）：
例3的给出让学生掌握了如何求异面直线所成的角，从而巩固了所学知识。
（四）课堂练习
教材P48 练习1、2
（五）课堂小结
在师生互动中让学生了解：
（1）本节课学习了哪些知识内容？
（2）计算异面直线所成的角应注意什么？
（六）作业设计：
习题2.1 A组3.4
《空间中直线与直线之间的位置关系》
说课稿
学校：武威第五中学
班级：高一（2）班
教者： 章 辉 文
《空间中直线与直线之间的位置关系》说课稿
武威五中 章辉文
我本节课说课的内容是高中数学必修二第二章第二节“空间中直线与直线之间的位置关系”。本节内容为一课时，新课标指出，学生是教学的主体，教师的教要应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。我将以此为基础从教材分析，教法分析，学法分析和教学过程分析这四个方面加以说明。
一、教材分析
1、地位和作用
空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点。异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同。公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，我们应注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念。本节课是对学生原有的平面知识结构基础的拓展，也对今后学习立体几何知识打下基础，因此本节课的内容其重要性不言而喻，它对知识起到了承上启下的作用。
2、教学目标
(1) 正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系。
(2) 以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用。
(3) 进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质。
3、教学的重点和难点
根据这一节课的内容特点以及学生的实际情况，确定两直线异面的判定方法为本节课的重点，以及两异面直线所成角的求法为本节课的难点。
二、教法分析
教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学方法：
（1）启发引导学生思考、探索、类比、归纳；
（2）采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法；
（3）体现“对比联系”“分析归纳”的数学思想方法。
在整个过程中，应以学生的观察、对比、思考为主体，教师在学生仔细观察、类比、想象的基础上通过问题串的形式加以引导点拨，与初中平面几何知识对照，归纳、整理，只有这样，才能唤起学生对原有知识的回忆，自觉地找到新旧知识的联系，使新学知识更牢固，理解更深刻。
三、学法分析
教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：对照比较学习法：学习空间直线间的关系,处处与平面直线位置关系相对照。探究式学习法：学生通过分析、探索，得出异面直线的定义。反馈练习法：检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距。这样可发挥学生的主观能动性，有利于提高学生的各种能力。
四、教学过程分析
在认真分析教材、教法、学法的基础上，设计教学过程如下：
（一）复习旧知识，提出问题，引入新课
提问1：初中学过的平面内直线间的位置关系有平行和相交两种，那么教室内日光灯所在的直线与墙角所在的直线位置关系是怎样的？
设计意图：复习旧知识，让学生体验以初中的知识来解决现有问题时发现无法得出结论，从而激发学生的学习兴趣。
提问2：日光灯所在直线的平面与墙角所在直线的平面是否相同？这两条直线间是否有公共交点？
设计意图：引导学生观察思考，得出不在同一平面，且没有公共交点的两条直线为异面直线的结论。
（二）新课讲解
1、异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线。
提问3：空间直线间的位置关系有哪些？
设计意图：引导学生进行归纳，将新旧知识衔接融合。
2、异面直线的画法：强调异面直线不共面的特点，作图时通常
用一个或两个平面衬托。
3、直线平行的传递性
提问4：在同一个平面内，如果 ，那么在空间中这个性质是否仍然成立？
设计意图：引导学生自己去探索结论，将新的知识与旧的知识联系结合，内化成自己的知识。
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
4、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
注：教师可用粉笔做下简单的演示，目的是让学生知道，做两条直线的平行线，则根据交点的位置不同，平行线形成的角跟原来直线的角可能是相等或者互补。
5、异面直线所成角
提问5：怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？
设计意图：让学生知道即使直线不共面，它们之间也有角，但是因为是异面直线，没办法直接研究，所以要借助异面直线的平行线来让异面直线处于同个平面，这样才能进行研究。
作法：异面直线，在空间中任取一点O，过点O分别引则所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角。注意：有时，为了方便，可将点O取在或上。
提问6：异面直线所成角的取值范围应该是什么？两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]。
设计意图：让学生对异面直线所成角有个清晰的认识，避免到时候出现角度到底取值应为多少的情况。
（三）例题解析
例1 如图6，空间四边形中，分别是的中点。
图6
求证：四边形是平行四边形。
（该题主要考察学生对初中知识的掌握情况，并让学生从中发现“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法）
例2 如图7，已知正方体。
图7
(1) 哪些棱所在直线与直线是异面直线？
(2) 直线和的夹角是多少？
(3) 哪些棱所在直线与直线垂直？
（该题主要考察学生对异面直线的一些基础知识的理解）
（四）课堂练习
P48 1，2，3
（五）课堂小结
本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点。
为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理。
（六）布置作业
课本习题2.1 A组4、6。
课件18张PPT。复习：平面内两条直线的位置关系相交直线
（有一个公共点）平行直线
（无公共点）两路相交立交桥立交桥中, 两条路线AB, CD既不平行，又不相交观察实例 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。没有只有一个没有共面不共面共面1.异面直线的定义2.异面直线的画法说明: 画异面直线时 , 为了体现
它们不共面的特点。常借
助一个或两个平面来衬托.如图：(1)(3)(2)a与b是相交直线a与b是平行直线a与b是异面直线答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。 分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？思考 按是否在
同一平面内分同在一个平面内相交直线平行直线 不同在任何一个平面内:异面直线 有一个公共点:按公共点个数分相交直线无公共点平行直线异面直线空间直线与直线之间的位置关系3.异面直线的判定方法：(1)定义法：由定义判定两直线不可能在同一平面内.(借助反证法)(2)判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线(1)在如图所示的正方体中，指出哪些
棱所在的直线与直线BA1是异面直线？ABCDA1B1D1C1⑵已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1
上的点，那么MN与AB所在的直线相交吗？ABCDA1B1D1C1MN公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行.注：
1.直线a，b，c 两两平行，可记为a // b // c .2.公理4所表述的性质，叫做空间平行线的传递性.3.证明空间两直线平行 的方法：
(1) 定义法：一要证两直线在同一平面内；二要证两直线没有公共点(反证法)
(2) 公理法平行公理例2 如图，空间四边行ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.D变式：如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？ 立体问题平面化是解立体几何时最主要、最常用的一种方法。等角定理1:如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.推论:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.等角定理如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O点分别作 a,b的平行线 a′和 b′,a′b′ 则这两条线所成的锐角θ（或直角），θ 称为异面直线a，b所成的角.？任选若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直.异面直线a与b垂直也记作a⊥b.平移4.两条异面直线所成的角注1:异面直线a、b所成角，只与a、b的相互位置有关， 而与点O位置无关.一般常把点O取在直线a或b上.注2:异面直线所成角的取值范围：注3:求异面直线所所成角的步骤：
一作、二证、三求解例1 如图表示一个正方体:(1)求直线BA1与CC1的夹角的度数.(2)哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？典例剖析例2 如图，在长方体中，已知AA1=AD=a,
AB= a，求AB1与BC1所成的角的余弦值.CBADA1B1C1D1典例剖析aa小结：作业：1.阅读教材第44页至第47页;2.在课本上完成：
习题2.1 A组 3,4,5,7,8题； B组13.书面作业：
习题2.1 A组5,6；补充作业:（见下页）
