江西省鹰潭市2013-2014学年高二下学期期末质量检测数学理试题

绝密★启用前
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．注意事项：
1．第Ⅰ卷的答案填在答题卷方框里，第Ⅱ卷的答案或解答过程写在答题卷指定处，写在试题卷上的无效．
2．答题前，考生务必将自己的“姓名”、“班级’’和“考号”写在答题卷上．
3．考试结束，只交答题卷．
第Ⅰ卷 (选择题共50分)
一、选择题（每小题5分，共10个小题，本题满分50分）
1．已知函数，则等于( )
A．0 B． C． D．
2．已知是虚数单位，若，则实数的值为( )
A． B． C． D．
3．端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，. 假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人回老家过节的概率为( )
A． B． C． D．
4．5个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有1人，则不同的站法数有( )
A．18 B．26 C．36 D．48
5．若函数的导数是,则函数的单调减区间是( )
A. B． C． D．
6．利用数学归纳法证明“ ”时，从“”变到 “”时，左边应增乘的因式是( )
A． B． C． D．
7．直线与曲线相切于点,则的值为( )
A．-1 B．1 C．2 D．-2
8．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是( )
A． B． C． D．
9．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为，
（），已知他投篮一次得分的均值为2，则的最小值( )
A． B． C． D．
10．已知函数 ，函数， 若对任意,总存在,使得成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 (非选择题共100分)
二、填空题（每小题5分，共5小题，满分25分）
11．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验。根据收集的数据（如下表），由最小二乘法得回归方程
零件个数（个）
10
20
30
40
50
加工时间（）
62
75
81
89
则发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为 .
12．某射击爱好者一次击中目标的概率为，在某次射击训练中向目标射击次，记为击中目标的次数，且，则______.
13．设,若曲线与直线，所围成封闭图形的面积为2，则 ．
14．若，则的值为 .
15．观察下列各式：，，，，，可以得出的一般结论是 .
　　　　　　　　　
三、解答题（本大题共6小题，75分，解答时应写出解答过程或证明步骤）
16．（本小题满分12分）设函数
（1）若，解不等式；
（2）如果对任意，都有，求的取值范围.
17．（本小题满分12分）2014年5月，我省南昌市遭受连日大暴雨天气。某网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票.按照南昌暴雨前后两个时间收集有效投票，暴雨后的投票收集了50份，暴雨前的投票也收集了50份，所得统计结果如下表：
支持
不支持
总计
南昌暴雨后
50
南昌暴雨前
20
30
50
总计
100
已知工作人员从所有投票中任取一个，取到“不支持投入”的投票的概率为.
（1）求列表中数据的值；
（2）能够有多大把握认为南昌暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关系?附：
18．（本小题满分12分）在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的二项式系数最大的项.
19．（本小题满分12分）为了庆祝“五一劳动节”，某校教师进行趣味投篮比赛,比赛规则是: 每场投5个球,至少投进3个球且最后2个球都投进者获奖;否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是.
(1)记教师甲在每场的5次投球中投进球的个数为,求的分布列及数学期望；
(2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率.
20．(本小题满分13分) 如图，设，，…，为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现从这六个点中任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量．
（1）求的概率；
（2）求的分布列及数学期望.
21．(本小题满分14分) 已知函数().
(1)若,求函数的极值；
(2)若在内为单调增函数，求实数的取值范围；
(3)对于,求证:.
鹰潭市2013—2014学年第二学期期末质量检测
高二数学（理）试卷参考答案
（2） …………………………9分
所以对于，的充要条件是，从而的取值范围.
…………………………12分
17. 解：（1）设“从所有投票中任取一个，取到“不支持投入”的投票”为事件,由已知得所以 …………………………6分
（2），故至少有的把握认为南昌暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关. …………………………12分
18. 解：因为二项式的展开式中前三项的系数分别为：
…………………………12分
19. 解：（1）的所有可能值为，依条件可知
…………………………3分
的分布列为：
0
1
2
3
4
5
………7分
或因为，所以,即的数学期望为.
（2）设教师甲在一场比赛中获奖的事件为.
则. …………………………12分
20. 解：(1)从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有种不同选法，
其中的为有一个角是 的直角三角形（如△）共12种，
所以，． …………………………6分
（2）的所有可能取值为，，． …………………………7分
的为顶角是的等腰三角形（如△），共6种，所以，．
的为等边三角形（如△），共2种，所以，，
又由(1) 知, …………………………11分
故的分布列为:


所以…………………………13分
取,
…………………………………………14分