数学②必修立体几何介绍[上学期]
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课件63张PPT。普通高中课程标准实验教科书 数 学②必修 A版 立体几何部分 简介主要内容主要变化
1.从整体到局部、具体到抽象
与以往立体几何内容体系相比，本模块立体几何的内容体系结构有重大调整。第九章 直线、平面、简单几何体 空间直线和平面
9．1 平面
9．2 空间直线
9．3 直线与平面平行的判定和性质
9．4 直线与平面垂直的判定和性质
9．5 两个平面平行的判定和性质
9．6 两个平面垂直的判定和性质全日制普通高级中学教科书（实验修订本.必修） 简单几何体
9.7 棱柱
9.8 棱锥
9.9 研究性学习课题：多面体欧拉公式的发现
9.10 球全日制普通高级中学教科书（实验修订本.必修）大纲教材
从点、线、面到几何体，按公理化体系，按知识的逻辑关系安排内容，结构严谨，“数学味”浓厚——优点.
与学生的认知规律、思维方式有矛盾，是造成学立体几何困难的原因之一——缺点.“标准”教材
从空间几何体整体认识到点、直线和平面位置及其度量的认识
优点：关注学生思维过程，为合情推理——逻辑推理创造条件；体现从具体到抽象的认识规律。
缺点：逻辑性的减弱。2.强调几何直观，合情推理与逻辑推理并重，适当渗透公理化思想
“采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。”在立体几何学习中，经历合情推理——演绎推理过程。通过对事物、模型、图片等的操作和感知，引导学生归纳、概括几何图形的结构特征，认识空间点、线、面的位置关系，用数学语言表达平行、垂直的性质与判定，并能进行证明。
不是不要证明，而是完善过程。
既要发展演绎推理能力，也要发展合情推理能力。直线与平面垂直的判定定理证明非常漂亮、经典，渗透了许多数学思想，重心是逻辑推理能力。 依据“标准”的要求，实验教材对这个定理不进行演绎证明，而让学生通过一个探究实验发现结论，进行合情推理。 上述过程经历的步骤： 把握立体几何教学的变化：
几何教育功能的全面性，即从单纯强调几何的逻辑推理转变为合情推理与逻辑推理并重。3.分散难点立体几何教学的两个主要任务：
培养空间观念，培养逻辑推理能力
按照“点线面——体”组织的结构体系，逻辑严谨，但“两个任务”交织在一起，特别是对逻辑推理能力要求高，而且“判定定理”的证明要用反证法；
按照“体——点线面”组织的结构，先重点培养空间观念（合情推理），再推进到逻辑推理能力的培养，适当分散难点。4.螺旋上升，分层递进，逐步到位。（1）必修课程
数学2 立体几何初步、解析几何初步；
（2）选修课程
系列1、2 圆锥曲线与方程；空间向量与立体几何系列3-3 球面上的几何
系列3-5 欧拉公式与闭曲面分类
系列3-6 三等分角与数域扩充
系列4-1 几何证明选讲
系列4-4 坐标系与参数方程必修、必选中立体几何内容的安排：
第一步 对几何体的认识
依赖于直观感知，不作严格推理论证要求。 由于没有“平面与平面平行”的定义，教学中要多提供学生身边熟悉的具有“平面与平面平行”关系的事物，如：教室里的屋顶和地面，教室里相对的两个墙面等，让学生去直观感受.第二步 合情推理
以长方体为主要载体，对图形进行观察、操作、实验，适当进行说理训练。 第三步 严格的推理证明
如线面平行、垂直的性质定理的证明。 第四步 用空间向量为工具进行研究
代数方法研究立体几何（选修系列2）5.增加三视图的内容
——注意与初中没有使用“课标教材”学生的基础不衔接问题。第一章 空间几何体 知识结构教科书内容
1.1 空间几何体的结构(2课时)
1.2 空间几何体的三视图和直观图(2课时)
1.3 空间几何体的表面积与体积(2课时)
实习作业(1课时)
小结(1课时)教学目标：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构，发展几何直观能力。
从空间几何体的结构特征、画三视图和直观图、度量计算三个角度展开，引导学生认识空间几何体。
加强几何直观、合情推理教学，适当进行思辨论证，从几何直观、合情推理、逻辑推理等多角度培养学生空间想象能力以“直观感知、操作确认”为主要认知方式的课怎样上？数学思维的要求如何体现？
要点：
（1）提供典型例证；
（2）给学生以如何描述“几何特征”的指导；
（3）让学生自己概括几何特征。先整体分类：区分为柱、锥、台、球再进行细节描述——概括注意从不同角度认识几何体
几何体的分类
——比较法的应用
描述几何体结构特征的方法
——组成几何体的元素及其位置关系
运用已经认识的结构特征描述简单几何体的结构用联系的观点看待几何体教学要求：
画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图 初中：
能根据三视图描述基本几何体或实物原型。
高中：
能识别三视图所表示的立体模型，会使用材料（如纸板）制作模型；用斜二测画直观图等（初中没有）。加强实物、三视图、直观图的相互转化你能画出它们的三视图吗？说出三视图表示的几何体由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图之间的转化，是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象等逻辑思考的过程，对于发展学生的空间直观能力非常有利。
特别注意：要求学生准确地作图。
学生不能准确作直观图是空间直观能力弱的表现。1.3 空间几何体的表面积与体积
教学目标：
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；根据柱、锥、台、球体的几何特征并结合它们的展开图，推导出它们的表面积的计算公式，并通过对各种几何体体积计算公式之间联系的分析，帮助学生从计算的角度去认识空间几何体，更加准确地把握空间几何体的结构特征。从计算角度认识空间几何体——不仅是套公式计算
探究：棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
思考：如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？
探究：联系圆柱和圆锥的展开图，你能想象圆台展开图的形状并且画出它吗？探究：棱锥与等底同高的棱柱的体积关系是什么？你能发现三者之间的关系吗？第二章 点、直线、平面之间的位置关系一、知识结构
教科书内容
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
3课时
2.2 直线、平面平行的判定及其性质
3课时
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
3课时
小结 1课时二、注意教学目标的变化
以长方体为载体，在直观感知的基础上，认识点、线、面之间的位置关系；通过对大量图形的观察、实验、操作和说理，进一步了解平行、垂直关系的基本性质及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，体验公理化思想，培养逻辑思维能力，解决一些简单的推理论证及应用问题。 与以往“点、直线、平面的位置关系”教学的比较
1.对简单几何体的直观感知、操作确认过程中，在对几何特征的描述中，已经使用了线面“平行”“垂直”等语言，对点、线、面位置关系的认识基础更丰富些。2.对简单几何体结构特征的认识过程中，比较多地进行了合情推理训练，为本章学习奠定了思想方法的基础：先对位置关系进行猜想（合情推理），再用严格的逻辑推理证明猜想而获得定理。3.充分使用长方体模型长方体中的棱与棱、棱与面、面与面之间的位置关系，是研究直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的很好载体。教科书在空间点、直线、平面位置关系（主要是平行、垂直的判定和性质）都以长方体为直观载体，引导学生进行操作确认，获得充分感知的基础上，得出猜想后再进行严密的论证和计算。如图长方体中线段A’B所在直线与线段C’C所在直线的位置关系如何描述呢？在引导学生观察长方体模型时，应注意使学生有目的地、有序地、全面地观察模型体现的点、直线、平面之间的关系。观察后，要让学生对位置关系进行概括，实现由直观感知、操作确认到思辨论证的过渡。 三、几点建议
1.努力完善几何的教育功能。
不仅仅要逻辑推理，也要合情推理，从而加强学生的空间直观能力。
2.注意内容及其要求的变化。
例如，减少了定理的证明：4个公理、9个定理中只有4个性质定理需要证明，其余4个判定定理只需通过直观感知、操作确认，归纳得出。3.注意概念定理的发生发展过程空间中的两条直线——平面内的两条直线
共同点：平行、相交（垂直）
不同点：既不平行也不相交，即异面
——需要特别研究
研究的问题：异面直线的交角、距离
研究的方法：“平面化”，转化为平面问题空间中的平行关系——平面上的平行关系
共同点：直线与直线的平行——平行公理
不同点：直线与平面平行、平面与平面平行
研究的问题：如何判定；有怎样的性质；距离
研究的方法：“平面化”
关于平面与平面平行的判定：
定义法——原始，不容易
“平面化”：转化为“线面平行”，考虑确定平面的
条件，归结到两条相交直线
1.从整体到局部、具体到抽象
与以往立体几何内容体系相比，本模块立体几何的内容体系结构有重大调整。第九章 直线、平面、简单几何体 空间直线和平面
9．1 平面
9．2 空间直线
9．3 直线与平面平行的判定和性质
9．4 直线与平面垂直的判定和性质
9．5 两个平面平行的判定和性质
9．6 两个平面垂直的判定和性质全日制普通高级中学教科书（实验修订本.必修） 简单几何体
9.7 棱柱
9.8 棱锥
9.9 研究性学习课题：多面体欧拉公式的发现
9.10 球全日制普通高级中学教科书（实验修订本.必修）大纲教材
从点、线、面到几何体，按公理化体系，按知识的逻辑关系安排内容，结构严谨，“数学味”浓厚——优点.
与学生的认知规律、思维方式有矛盾，是造成学立体几何困难的原因之一——缺点.“标准”教材
从空间几何体整体认识到点、直线和平面位置及其度量的认识
优点：关注学生思维过程，为合情推理——逻辑推理创造条件；体现从具体到抽象的认识规律。
缺点：逻辑性的减弱。2.强调几何直观，合情推理与逻辑推理并重，适当渗透公理化思想
“采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。”在立体几何学习中，经历合情推理——演绎推理过程。通过对事物、模型、图片等的操作和感知，引导学生归纳、概括几何图形的结构特征，认识空间点、线、面的位置关系，用数学语言表达平行、垂直的性质与判定，并能进行证明。
不是不要证明，而是完善过程。
既要发展演绎推理能力，也要发展合情推理能力。直线与平面垂直的判定定理证明非常漂亮、经典，渗透了许多数学思想，重心是逻辑推理能力。 依据“标准”的要求，实验教材对这个定理不进行演绎证明，而让学生通过一个探究实验发现结论，进行合情推理。 上述过程经历的步骤： 把握立体几何教学的变化：
几何教育功能的全面性，即从单纯强调几何的逻辑推理转变为合情推理与逻辑推理并重。3.分散难点立体几何教学的两个主要任务：
培养空间观念，培养逻辑推理能力
按照“点线面——体”组织的结构体系，逻辑严谨，但“两个任务”交织在一起，特别是对逻辑推理能力要求高，而且“判定定理”的证明要用反证法；
按照“体——点线面”组织的结构，先重点培养空间观念（合情推理），再推进到逻辑推理能力的培养，适当分散难点。4.螺旋上升，分层递进，逐步到位。（1）必修课程
数学2 立体几何初步、解析几何初步；
（2）选修课程
系列1、2 圆锥曲线与方程；空间向量与立体几何系列3-3 球面上的几何
系列3-5 欧拉公式与闭曲面分类
系列3-6 三等分角与数域扩充
系列4-1 几何证明选讲
系列4-4 坐标系与参数方程必修、必选中立体几何内容的安排：
第一步 对几何体的认识
依赖于直观感知，不作严格推理论证要求。 由于没有“平面与平面平行”的定义，教学中要多提供学生身边熟悉的具有“平面与平面平行”关系的事物，如：教室里的屋顶和地面，教室里相对的两个墙面等，让学生去直观感受.第二步 合情推理
以长方体为主要载体，对图形进行观察、操作、实验，适当进行说理训练。 第三步 严格的推理证明
如线面平行、垂直的性质定理的证明。 第四步 用空间向量为工具进行研究
代数方法研究立体几何（选修系列2）5.增加三视图的内容
——注意与初中没有使用“课标教材”学生的基础不衔接问题。第一章 空间几何体 知识结构教科书内容
1.1 空间几何体的结构(2课时)
1.2 空间几何体的三视图和直观图(2课时)
1.3 空间几何体的表面积与体积(2课时)
实习作业(1课时)
小结(1课时)教学目标：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构，发展几何直观能力。
从空间几何体的结构特征、画三视图和直观图、度量计算三个角度展开，引导学生认识空间几何体。
加强几何直观、合情推理教学，适当进行思辨论证，从几何直观、合情推理、逻辑推理等多角度培养学生空间想象能力以“直观感知、操作确认”为主要认知方式的课怎样上？数学思维的要求如何体现？
要点：
（1）提供典型例证；
（2）给学生以如何描述“几何特征”的指导；
（3）让学生自己概括几何特征。先整体分类：区分为柱、锥、台、球再进行细节描述——概括注意从不同角度认识几何体
几何体的分类
——比较法的应用
描述几何体结构特征的方法
——组成几何体的元素及其位置关系
运用已经认识的结构特征描述简单几何体的结构用联系的观点看待几何体教学要求：
画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图 初中：
能根据三视图描述基本几何体或实物原型。
高中：
能识别三视图所表示的立体模型，会使用材料（如纸板）制作模型；用斜二测画直观图等（初中没有）。加强实物、三视图、直观图的相互转化你能画出它们的三视图吗？说出三视图表示的几何体由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图之间的转化，是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象等逻辑思考的过程，对于发展学生的空间直观能力非常有利。
特别注意：要求学生准确地作图。
学生不能准确作直观图是空间直观能力弱的表现。1.3 空间几何体的表面积与体积
教学目标：
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；根据柱、锥、台、球体的几何特征并结合它们的展开图，推导出它们的表面积的计算公式，并通过对各种几何体体积计算公式之间联系的分析，帮助学生从计算的角度去认识空间几何体，更加准确地把握空间几何体的结构特征。从计算角度认识空间几何体——不仅是套公式计算
探究：棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
思考：如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？
探究：联系圆柱和圆锥的展开图，你能想象圆台展开图的形状并且画出它吗？探究：棱锥与等底同高的棱柱的体积关系是什么？你能发现三者之间的关系吗？第二章 点、直线、平面之间的位置关系一、知识结构
教科书内容
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
3课时
2.2 直线、平面平行的判定及其性质
3课时
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
3课时
小结 1课时二、注意教学目标的变化
以长方体为载体，在直观感知的基础上，认识点、线、面之间的位置关系；通过对大量图形的观察、实验、操作和说理，进一步了解平行、垂直关系的基本性质及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，体验公理化思想，培养逻辑思维能力，解决一些简单的推理论证及应用问题。 与以往“点、直线、平面的位置关系”教学的比较
1.对简单几何体的直观感知、操作确认过程中，在对几何特征的描述中，已经使用了线面“平行”“垂直”等语言，对点、线、面位置关系的认识基础更丰富些。2.对简单几何体结构特征的认识过程中，比较多地进行了合情推理训练，为本章学习奠定了思想方法的基础：先对位置关系进行猜想（合情推理），再用严格的逻辑推理证明猜想而获得定理。3.充分使用长方体模型长方体中的棱与棱、棱与面、面与面之间的位置关系，是研究直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的很好载体。教科书在空间点、直线、平面位置关系（主要是平行、垂直的判定和性质）都以长方体为直观载体，引导学生进行操作确认，获得充分感知的基础上，得出猜想后再进行严密的论证和计算。如图长方体中线段A’B所在直线与线段C’C所在直线的位置关系如何描述呢？在引导学生观察长方体模型时，应注意使学生有目的地、有序地、全面地观察模型体现的点、直线、平面之间的关系。观察后，要让学生对位置关系进行概括，实现由直观感知、操作确认到思辨论证的过渡。 三、几点建议
1.努力完善几何的教育功能。
不仅仅要逻辑推理，也要合情推理，从而加强学生的空间直观能力。
2.注意内容及其要求的变化。
例如，减少了定理的证明：4个公理、9个定理中只有4个性质定理需要证明，其余4个判定定理只需通过直观感知、操作确认，归纳得出。3.注意概念定理的发生发展过程空间中的两条直线——平面内的两条直线
共同点：平行、相交（垂直）
不同点：既不平行也不相交，即异面
——需要特别研究
研究的问题：异面直线的交角、距离
研究的方法：“平面化”，转化为平面问题空间中的平行关系——平面上的平行关系
共同点：直线与直线的平行——平行公理
不同点：直线与平面平行、平面与平面平行
研究的问题：如何判定；有怎样的性质；距离
研究的方法：“平面化”
关于平面与平面平行的判定：
定义法——原始，不容易
“平面化”：转化为“线面平行”，考虑确定平面的
条件，归结到两条相交直线