浙江省宁波市2013-2014学年高二下学期期末考试数学理试题

选择题部分 (共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则 （ ）
A． B． C． D．
2.已知,若,则下列不等式成立的是 （ ） A． B． C． D．
3.已知,则“”是“”的 （ ）
A．必要不充分条件 B．充要条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
4.已知是空间中两条不同直线,是两个不同平面,且,给出下列命题：
①若，则； ②若，则;
③若，则； ④若，则
其中正确命题的个数是 （ ）A. 1 B. 2 C．3 D．4
5.将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),所得图象关于直线对称,则的最小值为（ ） A． B． C． D．
6.下列四个图中,函数的图象可能是 （　　）
7.已知双曲线的左、右焦点分别为,过作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为,若与双曲线的交点恰为的中点,则双曲线的离心率为 ( )
A． B． C．2 D．3
8.如图所示,为的外接圆圆心,,为钝角,M是边BC的中点,则= （ ）
A．21 B．29 C．25 D．40
9.已知定义在R上的函数满足:，,则方程在区间上的所有实根之和为 ( )
A． B． C． D．
10.对数列,如果成立,,则称为阶递归数列．给出下列三个结论：
①若是等比数列,则为1阶递归数列；
②若是等差数列,则为2阶递归数列；
③若数列的通项公式为an=n2,则为3阶递归数列．
其中正确结论的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
非选择题部分 (共100分)
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.
11.等差数列的前项和为,若,
则的值是 ．
12.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为
.
13.过点作圆的两条切线,切点分别为,为坐标原点,则的外接圆方程是 ．
14.设,函数,则的值等于 ．
15.已知不等式组所表示的平面区域为,若直线与平面区域有公共点,则的取值范围为 .
16.如果关于的不等式和的解集分别为和,那么称这两个不
等式为对偶不等式.如果不等式与不等式
为对偶不等式,且,则=_______________.
17.已知不等式组的整数解恰好有两个,求的取值范围是 ．
三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本题满分14分)已知函数.
（I）求函数的最小正周期；
（II）在中,若角的值.
19.(本题满分14分)在如图所示的空间几何体中,平面平面,与
均是边长为的等边三角形,,直线和平面所成的角为,且点在平面上的射影落在的平分线上．
（I）求证:平面；
（II）求二面角的余弦值．
20.(本题满分14分)数列是公比为的等比数列,且是与的等比中项,前n项和为;数列是等差数列,=8,其前n项和满足(为常数,且≠1)．
（I）求数列的通项公式及的值；
（II）比较与的大小．
21.(本题满分15分)函数,当是函数图象上的点时,是函数图象上的点.?
（I）求函数的解析式；?
（II）当时,恒有,试确定a的取值范围.
22.(本题满分15分)如图,F1、F2是离心率为的椭圆C：(a＞b＞0)的左、右
焦点,直线：x＝－1将线段F1F2分成两段,其长度之比为1 : 3.设A、B是椭圆C上的两个动点,线段AB的中垂线与椭圆C交于P、Q两点,线段AB的中点M在直线l上．
（I）求椭圆C的方程；
（II）求的取值范围．
命题：宁波中学　贾　俊
审题：慈溪中学 孙波英
宁波市八校联考高二数学（理科）参考答案
18.已知函数.
（I）求函数的最小正周期；
（II）在中，若的值.
……………14分
（Ⅱ）解法一：作，垂足为，连接，
∵⊥平面，∴，又，
∴平面，∴，
∴就是二面角的平面角 …………10分
中，，
，．
∴．即二面角的余弦值为．…………14分
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，
可知平面的一个法向量为
设平面的一个法向量为
则，
可求得． ……………10分
所以，
所以二面角的余弦值为． …………14分
20.数列{an}是公比为的等比数列，且1-a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数 列，b1=8，其前n项和Tn满足Tn=n·bn+1(为常数，且≠1)．
(I)求数列{an}的通项公式及的值；
(Ⅱ)比较+++…+与Sn的大小．
21.函数f(x)=loga(x－3a)(a＞0,且a≠1),当点P（x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，
Q(x－a,－y)是函数y=g(x)图象上的点.?
（Ⅰ）写出函数y=g(x)的解析式.?
（Ⅱ）当x∈［a+3,a+4］时，恒有f(x)－g(x)≤1,试确定a的取值范围.
解:（Ⅰ）设P(x0,y0)是y=f(x)图象上点，Q（x,y）,则，
∴ ∴－y=loga(x+a－3a)，∴y=loga (x＞2a) ----------- 5分
（2）令
由得，由题意知，故，
从而，
故函数在区间上单调递增 ------------------8分
等价于不等式成立，
从而，即，解得．
易知，所以不符合． -----------------------14分
综上可知：的取值范围为． ----------------------------15分
22. (本题满分15分) 如图，F1，F2是离心率为的椭圆
C：(a＞b＞0)的左、右焦点，直线：x＝－1将线段F1F2分成两段，其长度之比为1 : 3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与椭圆C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．
（I）求椭圆C的方程；
（II）求的取值范围．
(Ⅰ) 设F2(c，0)，则
＝，
所以
c＝2．
因为离心率e＝， 所以a＝．
所以椭圆C的方程为
． ………… 6分
(Ⅱ) 当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x＝－1，此时P(，0)、Q(,0)
．
当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M(－1，m) (m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由 得 (x1＋x2)＋2(y1＋y2)＝0，
则 －1＋2mk＝0， 故k＝． ………… 8分
此时，直线PQ斜率为，PQ的直线方程为
． 即 ．
联立 消去y，整理得
．
所以 ，．………… 10分
2
1
1
2
1
正视图
侧视图
俯视图
(第12题图)
O
B
A
x
y
x＝－1
M
F1
F2
P
Q
(第22题图)
2013学年
第二学期
O
B
A
x
y
x＝－1
M
F1
F2
P
Q
(第22题图)
O
B
A
x
y
x＝－1
(第22题图)
M
F1
F2