浙江省宁波市2013-2014学年高二下学期期末考试数学文试题

说明：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟。
2．请将答案全部填写在答题卡上。
选择题部分(共50分)
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若a、b为实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3．平面向量与的夹角为，且，，则( )
A. B. C. 2 D.
4. 已知直线，平面，且，给出下列命题，其中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5．已知函数,是定义在上的奇函数,当时,,则函数的大致图象为( )
A. B. C． D．
6．数列的首项为1，数列为等比数列，且，若则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
7. 将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的 横坐标缩短到原来的倍，所得图象关于直线对称，则的最小正值为（ ） A． B． C． D．
8. 已知抛物线：的焦点为，以为圆心的圆交于两点，交的准线于两点，若四边形是矩形，则圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
9．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A. B. 4 C. D.
10．已知定义在R上的函数满足：，，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）
A． B． C． D．
非选择题部分（共100分）
二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分.把答案填在答题卷的相应位置.
11. 已知函数则的值是___________
12. 直线l与圆相交于A,B两点，若弦AB的中点，则直线l的方程为_____________
13. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为
__ __
14．已知不等式组所表示的平面区域为，若直线与平面区域有公共点，则的取值范围为
15．如果关于的不等式和的解集分别为和（），那么称这两个不等式为对偶不等式。如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则=________________
16.已知正方形的边长为2，是正方形的外接圆上的动点，则的最大值为______________
17．已知分别是双曲线的左右焦点，A是双曲线在第一象限内的点，若且，延长交双曲线右支于点B，则的面积等于_______
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本小题满分14分）
已知向量，设函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，，，分别是角，，的对边，为锐角，若，，的面积为，求边的长．
19．（本小题满分14分）
已知数列{}的前n项和 (n为正整数)。
（1）令，求证数列{}是等差数列；
（2）求数列{}的通项公式，并求数列的前n项和．
20．(本小题满分14分)
在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为的等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
21.(本小题满分15分)
函数,当点是函数图象上的点时，是函数图象上的点.
（1）写出函数的解析式;?
（2）当时，恒有,试确定的取值范围.
22．（本小题满分l5分）
已知抛物线上有一点到焦点的距离为.
（1）求及的值.
（2）如图，设直线与抛物线交于两点且,过弦的中点作垂直于轴的直线与抛物线交于点，连接.试判断的面积是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由。
命题：慈溪中学　张　岚
审题：宁波中学　陈文雅
非选择题部分 (共100分)
解得：，
所以函数的单调递增区间为 ………7分
（2）由得：,
化简得：, ………9分
又因为，解得： ………10分
由题意知：，解得， ………12分
又,所以
,
故所求边的长为． ……14分
.
又数列是首项和公差均为1的等差数列......................... 7分
. ....................................14分
20．解（Ⅰ）由题意知，，都是边长为2的等边三角形，取中点，
连接，则，，
又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面，
那么，根据题意，点落在上， ……………3分
∴，易求得，
∴四边形是平行四边形，∴，∴平面 ……………7分
（Ⅱ）解法一：作，垂足为，连接，
∵⊥平面，∴，又，
∴平面，∴，
∴就是二面角的平面角 …………10分
中，，
，．
∴．即二面角的余弦值为．…………14分
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，
可知平面的一个法向量为
设平面的一个法向量为
则，可求得． ……10分
所以，
所以二面角的余弦值为． …………14分
21.解:（Ⅰ）设P(x0,y0)是y=f(x)图象上点，Q（x,y）,则，
∴ ∴－y=loga(x+a－3a)，∴y=loga (x＞2a) ----------- 5分
（2）令
由得，由题意知，故，
从而，
故函数在区间上单调递增 ------------------8分
（1）若，则在区间上单调递减，
所以在区间上的最大值为．
在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，
从而，解得或．
结合得． ------------------------------------11分
（2）若，则在区间上单调递增，
所以在区间上的最大值为.
在区间上不等式恒成立，
等价于不等式成立，
从而，即，解得．
易知，所以不符合． -----------------------14分
综上可知：的取值范围为． ----------------------------15分
22．解：（1）焦点 -----------------------3分
代入，得 -----------------------5分
（2）联立，得
即
-----------------------8分
----10分
-----------------------12分
的面积-----------------------15分
2
1
1
2
1
正视图
侧视图
俯视图
(第13题图)