【备考2023】湖南省益阳市中考数学模拟试卷1（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
【备考2023】湖南省益阳市中考数学模拟试卷1
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在，，，这四个数中最大的数是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知点在第二象限，则n的取值范围是（ ）
A．n＜2 B．n＞2 C．n＜ D． 2＜n＜
4．已知关于的方程的两根为了－3和2，则的值为（ ）
A．－6 B． C． D．6
5．已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．或
6．如图，A是某公园的进口，B，C，D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么在B，C，D三个出口中恰好从B出口出来的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知 BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F，DE=6，则 DF 的长度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．若关于x的不等式组的所有整数解的和为5，且使关于y的分式方程的解大于1，则满足条件的所有整数a的和是（　　）
A．6 B．11 C．12 D．15
9．如图，△ABC中，DC=2BD=2，连接AD，∠ADC=60°．E为AD上一点，若△BDE和△BEC都是等腰三角形，且AD=，则∠ACB=（ ）
A．60° B．70° C．55° D．75°
10．如图，矩形的面积为5，它的两条对角线交于点，以为两邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以为两邻边作平行四边形，…，依此类推，则平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）
11．已知，，则______．
12．化简：______．
13．已知，则＝_____．
14．若反比例函数为常数）的图象在第二、四象限，则的取值范围是_____．
15．北偏东30°与北偏西50°的两条射线组成的角为________度．
16．任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式．我们以无限循环小数为例说明如下：设，由可知，，所以，解方程得，于是，．请你把写成分数的形式是_____．
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以点A为圆心，1为半径作⊙A，将⊙A绕着点C顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜90°），若⊙A与直线BC相切，则∠α的余弦值为_______．
18．如图，正方形、的顶点D、F都在抛物线上，点B、C、E均在y轴上．若点O是边的中点，则正方形的边长为______．
三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）计算：
（2）解方程：
20．已知，，，求证：．
21．甲、乙两个电子团队维护一批电脑，维护电脑的台数y（台）与维护需要的工作时间x（h）（0≤x≤6）之间关系如图所示，请依据图象提供的信息解答下列问题：
（1）求乙队维护电脑的台数y（台）关于维护的时间x（h）的关系式；
（2）当x为多少时，甲、乙两队维护的电脑台数一样．
22．为了解开发区对“垃圾分类知识”的知晓程度，某数学学习兴趣小组对市民进行随机抽样的问卷调查，调查结果分为“A．非常了解，B．了解，C．基本了解，D．不太了解”四个等级进行统计，并将统计结果绘制成了如下两幅不完整的统计图（图1、图2），请根据图中的信息解答下列问题：
（1）这次调查的市民人数为________人，图2中，________．
（2）补全图1中的条形统计图；
（3）在图2中的扇形统计图中，表示“A．非常了解”所在扇形的圆心角度数为多少度，
（4）据统计，2017年开发区约有市民320000人，那么根据抽样调查的结果，可估计对“垃圾分类知识”的知晓程度为：“D．不太了解”的市民约有多少人．
23．如图，已知P是等边中边上一点，
(1)过点P作，求证：为等边三角形；
(2)连接，以P为顶点作，交的外角平分线于点Q，连接，那么是什么特殊三角形？证明你的结论．
24．某店经营的款手机去年销售总额为元，今年每部销售价比去年降低元，若卖出的数量相同，则销售总额将比去年减少．已知两款手机的进货和销售价格如下表：
款手机 款手机
进货价格（元）
销售价格（元） 今年的销售价格
（1）今年款手机每部售价多少元？
（2）该店计划新进一批款手机和款手机共部，且款手机的进货数量不超过款手机数量的倍，应如何进货才能使这批手机获利最多？
25．如图，某数学小组以等腰直角三角形纸板的直角顶点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，已知，点，请思考并解决下列问题：
(1)若抛物线过三点O、A、B，求此抛物线的表达式；
(2)设的中点为D，若使抛物线经过平移顶点为D，写出平移后的抛物线的解析式．若点，是抛物线上两点，当时，求m的取值范围；
(3)将沿水平方向平移，当恰好有一个顶点落在抛物线上时，请直接写出平移的距离．
26．如图（1），在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，且点的坐标为，点为线段的中点．
(1)求点的坐标；
(2)点为直线上的一个动点，过点作轴的垂线，与直线交于点，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式；
(3)当点在直线上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．【分析】首先求出，的值，然后根据实数大小比较的方法判断即可．
解：，，
∵，即，
∴在，，，这四个数中最大的数是．
故选：C．
【点评】本题考查实数大小比较的方法，绝对值，立方根．解题的关键是掌握绝对值的意义和立方根的性质．
2．【分析】A选项根据幂的乘方公式，底数不变指数相乘即可判断，B选项根据单项式的加法即可判断，C选项根据同底数幂的除法判断，D选项根据单项式的乘法即可判断；
解：A、 = ，幂的乘方，底数不变指数相乘，本选项错误；
B、 ，单项式的加法，合并同类项求解，本选项错误；
C、 ，同底数幂的除法，底数不变指数相减，本选项正确；
D、 ，单项式乘法，数字与数字相乘，字母与字母相乘，本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了幂的乘方公式、单项式的加减与乘除、同底数幂的乘除法求解，正确理解公式是解题的关键．
3．【分析】根据第二象限内点的坐标符号特点列出不等式组，解之可得．
解：根据题意可得 ，
解不等式2n-7＜0，得：n＜，
解不等式4-2n＞0，得：n＜2，
则不等式组的解集为n＜2，
故选A．
【点评】本题考查的是点的坐标及解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求出p，q的值，进而即可求解．
解：∵关于的方程的两根为－3和2，
∴－3+2=，－3×2=，
∴p=1，q=-6，
∴=－6．
故选A．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握方程的两个根，满足，是解题的关键．
5．【分析】求出直线与坐标轴的交点坐标，根据三角形的面积公式建立关系式，即可求出k的值．
解：令x=0，则y=-4，令y=0，则x=，
直线与y轴的交点坐标为（0，-4），与x轴的交点坐标为（，0），
则与坐标轴围成的三角形的面积为，
解得k=±2．
故函数解析式为y=±2x-4．
故选D．
【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点与相关三角形的面积问题，要熟悉函数与坐标轴的交点的求法．
6．【分析】直接利用概率公式求解即可．
解：小明从A处进入公园，那么在B，C，D三个出口出来共有3种等可能的结果，其中从B出口出来是其中一种结果，
∴恰好从B出口出来的概率为： ．
故选：B．
【点评】本题考查了概率的公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率，熟练掌握概率的公式是解题的关键．
7．【分析】根据角平分线的性质进行求解即可得.
解：∵BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF=DE=6，
故选：D.
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8．【分析】首先解不等式组，根据不等式组的所有整数解的和为5求出不等式组得解，从而得出a得不等式；然后解分式方程得出a的另一个不等式，联立解a的不等式组，求出a的整数解然后相加即可．
解：解不等式组，得a≤x<，
∵不等式组的所有整数解的和为5，
∴x＝2，3
∴1∴3＜a≤6，
解分式方程，得 y＝a+6，
∴a+6＞1，
∴a＞﹣5，
∴3＜a≤6
∵a为整数，
∴a＝4，5，6
∴4+5+6＝15
因此满足条件的所有整数a的和是15．
故选D．
【点评】本题考查了一元一次不等式组得解法，正确运用不等式组的性质是解题的关键．
9．【分析】根据等腰三角形的性质求解即可；
解：∵，
∴，
∵△BDE是等腰三角形，
∴，，
∵△BEC是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
在Rt△DEC中，
∵，，
∴，
又∵AD=，
∴，
∴△AEC为等腰三角形，
又∵，
∴，
∴；
故答案选D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质应用，准确计算是解题的关键．
10．【分析】先根据矩形的性质可得的面积为，再根据平行四边形的性质可得平行四边形的面积为，同样的方法可得平行四边形和平行四边形的面积，然后归纳类推出一般规律即可得．
解：矩形的面积为5，
的面积为，
四边形是平行四边形，
平行四边形的面积为，
同理可得：平行四边形的面积为，
平行四边形的面积为，
归纳类推得：平行四边形的面积为，其中为正整数，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
11．【分析】根据绝对值的意义得出的值，然后根据有理数减法运算即可．
解：∵，，
∴，，
∴当时，；
当时，；
故答案为：或．
【点评】本题考查了绝对值的意义以及有理数减法，根据绝对值的意义得出的值是解本题的关键．
12．【分析】根据分式的加减运算法则即可求解．
解：原式．
故答案为：1
【点评】本题主要考查分式的加减，熟练掌握运算法则是关键．
13．【分析】由，可得x+y＝5xy，将x+y＝5xy代入到所求式子中即可求解．
解：∵，
∴x+y＝5xy，
∴原式＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是求出x+y的值，以及整体思想．
14．【分析】根据反比例函数的性质，当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，即可求解.
解：因为反比例函数为常数）的图象在第二、四象限．
所以，
．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点是反比例函数的性质，（1）反比例函数y=xk（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
15．【分析】根据方向角的意义以及角的和差进行计算即可．
解：如图，
由题意得，∠AON=30°，∠BON=50°，
∴∠ABO=∠AON+∠BON
=30°+50°
=80°，
故答案为：80．
【点评】本题考查方向角，理解方向角的定义以及角的和差是正确解答的关键．
16．【分析】设，则，列出关于x的一元一次方程，解之即可．
解：设，则，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
17．【分析】根据切线的性质得到∠A′DC＝90°，根据旋转变换的性质得到CA′＝CA＝3，根据余弦的定义计算，得到答案．
解：设将⊙A绕着点C顺时针旋转，点A至点A′时，⊙A′与直线BC相切相切于点D，
连接A′D，则∠A′DC＝90°，A′D＝1，
由旋转的性质可知，CA′＝CA＝3，
∴cos∠CA′D＝，
∵AC∥A′D，
∴α＝∠CA′D，
∴∠α的余弦值为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查图形旋转，直线与圆位置关系，锐角三角函数，平行线性质，掌握图形旋转，直线与圆位置关系，锐角三角函数，平行线性质是解题关键．
18．【分析】设，且，即可得，根据在抛物线上，可得，设正方形的边长为b，且，同理可得，代入中，问题得解．
解：∵点O是边的中点，
∴设，且，
∴在正方形中，，，
∴，
∵在抛物线上，
∴，解得：，
设正方形的边长为b，且，
∴，
∴，
∴结合正方形的性质，可知，
∵在抛物线上，
∴，解得：（不合要求的负值舍去），
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，二次函数的图象与性质，先求出小正方形的边长，是解答本题的关键．
19．【分析】（1）先算负整数指数幂、零指数幂和二次根式的化简，最后进行加减计算即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解：（1）原式＝；
（2）移项得：x（x 4）+2（x 4）＝0，
（x 4）（x+2）＝0，
x 4＝0，x+2＝0，
x1＝4，x2＝-2．
【点评】本题考查了解一元二次方程、实数的运算、负整数指数幂和零指数幂等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．
20．【分析】由条件∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，根据ASA证明△ABC≌△DCB
即可．
解：证明：在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（ASA）；
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是找到图中的公共边的条件证明全等．
21．【分析】（1）根据图中的信息利用待定系数法即可确定函数关系式；
（2）先求解甲的函数关系式，再利用（1）中的函数关系式可以解决问题．
解： （1）当时，设乙队y与x之间的函数关系式为y乙（≠0）
由图可知，函数图象过点（2，30）
∴，解得
∴y乙（）
由函数图象得，当时，
设乙队y与x之间的函数关系式为y乙＝mx+n（m≠0），
由图可知，函数图象过点（2，30），（6，50），
∴，
解得，
∴y乙（）
y乙．
（2）由函数图象得，
当时，设甲队y与x之间的函数关系式为y甲()，
由图可知，函数图象过点（6，60），∴，
解得，∴y甲
由（1）得，当时，y乙
由图象知，当时，y甲y乙：当时，存在y甲y乙。
且当y甲y乙时，即10x＝5x+20，
解得x=4
∴当x=4时，甲队整理电脑台数等于乙队整理电脑台数.
【点评】此题主要考查学生对函数图象掌握情况及利用待定系数法求一次函数关系式，理解题意是解题的关键．
22．【分析】（1）根据C类的人数和所占的百分比求出调查的总人数，再根据A类的人数求出A类所占的百分比，从而求出n的值；
（2）根据求出的总人数和B类所占的百分比即可求出B类的人数，从而补全统计图；
（3）用360°乘以“A．非常了解”所占的百分比即可；
（4）用2017年开发区约有的市民乘以“D．不太了解”所占的百分比即可得出答案．
解：（1）这次调查的市民人数为：200÷20%=1000（人），
∵m%=280÷1000×100%=28%，
n%=1-20%-17%-28%=35%，
∴n=35；
故答案为：1000，35；
（2）B等级的人数是：1000×35%=350（人），补图如下：
（3）“非常了解”所在扇形的圆心角度数为：360°×28%=100.8°；
故答案为：100.8°；
（4）320000×17%=54400人，
∴估计对“垃圾分类知识”的知晓程度为“D．不太了解”的市民约有54400人．
【点评】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的运用，解题时注意：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
23．【分析】（1）由是等边三角形得，再由得，即可证明结论成立；
（2）证明，得，再由，即可证明为等边三角形．
解：（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形 ；
（2）解：是等边三角形，理由如下：
∵是等边三角形，为等边三角形，
∴， ，，
∴，
∴，
∵，平分的外角，
∴，
∵， ，
∴
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定及性质、外角定义、全等三角形的判定及性质以及平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键．
24．【分析】（1）设今年款手机每部售价元，则可表示出去年每部手机的售价，根据等量关系：去年A款手机卖出的数量=今年A款手机卖出的数量，可列出分式方程，解方程即可；
（2）今年新进款手机部，则款手机部，获利元，则可得出y关于a的函数关系式，再根据不等关系：款手机的进货数量不超过款手机数量的倍，可得a的取值范围，根据y与a的关系式即可求得y的最大值，从而可得进货的方式．
解：（1）设今年款手机每部售价元，则去年售价每部为元，
由题意得：，
解得：．
经检验，是原方程的解，也符合题意．
故今年款手机每部售价元；
（2）设今年新进款手机部，则款手机部，获利元，
由题意得：．
款手机的进货数量不超过款手机数量的倍，
，解得，
在中，，
随的增大而减小．
，
当时，取得最大值为元．此时款手机的数量为：（部）．
故当新进款手机部，款手机部时，这批手机获利最大．
【点评】本题是一个关于方程、不等式及函数的应用问题，考查了分式方程、一元一次不等式、一次函数的性质等知识，列方程和不等式，关键是找出相等关系和不等关系，解分式方程时要注意检验，另外售价、进价、利润等量间的关系要清楚．
25．【分析】（1）、设抛物线的表达式为，把三点坐标代入，即可求解；
（2）、由中点坐标公式即可求出D点坐标，再由平移抛物线的a值不变，由抛物线的顶点公式即可求出抛物线的解析式，再由函数的图像和性质即可求解；
（3）、设点平移后的对应点为：，再分①当在抛物线上时，②当在抛物线上时，两种情况分别求解即可．
解：（1）解：设抛物线的表达式为，
把三点坐标代入，
得，
解得，
∴；
（2）∵的中点为D，，
，
∵抛物线是由抛物线平移得到，且顶点为D，
∴抛物线的解析式为： ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
关于对称轴的对称点为：
， ，开口向下，
；
（3）当沿水平方向平移t个单位时，
点平移后的对应点为：，
当在抛物线上时，
可得：，
解得或者，
∴向右平移 个单位或向左平移个单位，
当在抛物线上时，
可得：，
解得：或者，
∴向左平移 个单位或向左平移个单位，
综上所述：平移距离为：或者或者或者．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，图像的平移性质，综合掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
26．【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）S=PQ |xP|，即可求解；
（3）分OB是矩形的边、OB是矩形的对角线两种情况，分别求解即可．
解：（1）将点代入，得，解得，
∴直线的表达式为，
当时，，
∴点．
（2）∵点为线段的中点，，，
∴，
设直线OC的表达式为y=px，将代入得：，
∴则直线的表达式为：，
∵点的横坐标为，且点为直线上的点，
将代入，得到，
又∵轴，
∴，
∴，
当点在轴右侧，且在点右侧时，
，
当点在轴右侧，且与点重合时，
当点在轴右侧，且在点左侧时，
，
当点在轴左侧时，，
当点在轴上时，．
综上，
（3）设P（m，-m+3），点N（s，t），而点O、B的坐标分别为（0，0）、（0，3）；
①当OB是矩形的边时，
则点P与点A重合，故点P（4，0），故点N（4，3）；
②当OB是矩形的对角线时，
由中点公式得：m+s=0且-m+3+t=3+0①，
由矩形的对角线相等得：OB=PN，即（m-s）2+（-m+3-t）2=32②，
联立①②并解得：，
∴，
故点；
综上，点P的坐标为（4，0）或．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到矩形的性质、面积的计算等，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)