【备考2023】湖南省益阳市中考数学模拟试卷3（含解析）

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【备考2023】湖南省益阳市中考数学模拟试卷3
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．四个数：，0，，中最大的数是（ ）
A． B．0 C． D．
2．下列结论：①的底数是；②若有理数a，b互为相反数，那么；③把1.804精确到0.01约等于1.80；④；⑤式子的最大值是6，其中正确的个数有（　　）
A．3个 B．2个 C．5个 D．4个
3．函数y=中，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．若α，β是一元二次方程x2﹣x﹣2018＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣2β+3的值为（　　）
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
5．已知函数，当时，，则b的值是（ ）
A． B．3 C．7 D．11
6．不透明的袋子中装有6个球除颜色外无其他差别，其中有1个红球，2个黄球，3个绿球从袋子中随机摸出一个球．那么摸出的球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．从0，1，2，3，4，5，6这七个数中，随机抽取一个数，记为a，若a使关于x的不等式组的解集为x＞1，且使关于x的分式方程＝2的解为非负数，那么取到满足条件的a值的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，平行四边形ABCD的周长为36cm，若点E是AB的中点，则线段OE与线段AE的和为（　　）
A．18cm B．12cm C．9cm D．6cm
9．如图，是的角平分线，于，，分别是边，上的点，，若和的面积分别为和，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，为内一定点，、分别是射线、上一点，当周长最小时，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）
11．________．
12．计算：__．
13．已知，则代数式__________．
14．当______时，函数的图象在第二、四象限内．
15．如图，某一时刻在灯塔O处观测到游轮A在它的北偏西30°方向，同时又观测到货轮B在它的北偏东45°方向，则∠AOB的度数是_____°．
16．某单位购买甲、乙两种纯净水共用了500元，其中甲种水每桶20元，乙种水每桶15元；乙种水比甲种水多买了10桶．设甲种水买了x桶，则可列方程：______．
17．如图所示的网格由边长为1的小正方形组成，点A、B、C在小正方形的顶点上，D为BC的中点，则AD为________．
18．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE，点M为AE的中点，连接FM，则线段FM的最大值是___．
三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：＋6tan30°﹣．
20．如图，在四边形中，，点E为对角线上一点，，且．求证：．
21．如图在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点、交反比例函数的图像于点，点在反比例函数的图像上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求面积的最大值．
22．某文具店为了了解学生对去年销量较好的A、B、C、D四种圆规的喜爱程度，调查了去年销量较好的A、B、C、D四种圆规的销量情况，并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）将统计图补充完整；
（2）该文具店去年销量最好的是哪种圆规？
（3）今年中考前，该文具店老板计划再购进一批圆规，请结合去年的销量统计结果，给该文具店老板一个合理的进货建议．
23．如图，在中，点在边上，且，已知，．
（1）求的度数；
（2）我们把有一个内角等于的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求的长．
24．新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防性消毒工作，开学初购进A、B两种消毒液，购买A种消毒液花费了5000元，购买B种消毒液花费了4000元，且购买A种消毒液数量是购买B种消毒液数量的2倍，已知购买一桶B种消毒液比购买一桶A种消毒液多花30元．
(1)求购买一桶A种、一桶B种消毒液各需多少元？
(2)为了践行“把人民群众生命安全和身体健康摆在第一位”的要求，加强学校防控工作，保障师生健康安全，学校准备再次购买一批防控物资，其中A、B两种消毒液准备购买共60桶且购买A种消毒液数量不多于购买B种消毒液数量，恰逢商场对两种消毒液的售价进行调整，A种消毒液售价比第一次购买时提高了8%，B种消毒液按第一次购买时售价的9折出售，那么学校此次如何购买消毒液才能使学校此次购买A、B两种消毒液的总费用最少？最少费用是多少？
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（I）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（II）为第一象限内抛物线上的一个点，过点作轴于点，交于点，连接，当线段时，求点的坐标；
（III）以原点为圆心，长为半径作，点为上的一点，连接，，求的最小值．
26．四边形中，，，的顶点在上，交直线于点．
（1）如图1，若，，连接，求的长．
（2）如图2，，当时，求证：是的中点；
（3）如图3，若，对角线，交于点，点关于的对称点为点，连接交于点，连接、、，求的长，请直接写出答案．
参考答案：
1．【分析】根据实数的大小比较规则比较即可；
解：四个实数，0，，中，最大的是；
故选：C．
【点评】本题考查了对实数的大小比较规则的应用，能熟记法则内容是解题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2．【分析】根据乘方定义可判定①；根据相反数性质可计算得，从而可判定②；由近似数的精确度可求得近似数从而可判定③；根据合并同类项法则计算并判定④；根据绝对值的非负性可得式子的最小值是6，从而可判定⑤．
解：的底数是2，故①错误；
若有理数a，b互为相反数，那么，故②正确；
把1.804精确到0.01约等于1.80，故③正确；
化简合并同类项得0，故④正确；
式子的最小值是6，故⑤错误，
则其中正确的个数3个，
故选：A．
【点评】此题考查了整式的加减，以及绝对值的性质，近似数的求解，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
3．【分析】先根据二次根式的定义列出关于x的不等式，并求出x的取值范围，然后在数轴上表示它的解集.
解：由y=，得到2x+4≥0，
解得：x≥﹣2，
表示在数轴上，如图所示：
，
故选B．
【点评】本题还考查了用数轴表示不等式的解集的方法，要注意“两定”：一是定界点，在数轴上标出界点，定界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：小于向左，大于向右.
4．【分析】根据方程的解的定义及韦达定理得出α+β=1、α2-α=2018，据此代入原式=α2-α-2（α+β）+3计算可得．
解：∵α，β是一元二次方程x2﹣x﹣2018＝0的两个实数根，
∴α+β＝1、α2﹣α＝2018，
则原式＝α2﹣α﹣2（α+β）+3
＝2018﹣2+3
＝2019，
故选B．
【点评】考查根与系数的关系，解题的关键是掌握韦达定理及方程的解的定义和整体代入思想的运用．
5．【分析】把，代入，即可求解．
解：∵当时，，
∴，
解得：．
故选：C
【点评】本题主要考查了求函数解析式，熟练掌握利用待定系数法解答是解题的关键．
6．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．依此即可求解．
解：∵有1个红球2个黄球，3个绿球，共6个，
∴摸到红球的概率为．
故选：A．
【点评】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
7．【分析】根据题意先求出满足不等式组的a的范围,再求出满足分式方程的a的范围,最后从7个数中找到满足条件的数,根据概率公式即可得
解：解不等式x+5＜5x+1，得：x＞1，
解不等式x﹣a＞﹣4，得：x＞a﹣4，
∵该不等式组的解集为x＞1，
∴a﹣4≤1，
解得：a≤5，
解方程 ＝2，得：x＝ ，
∵分式方程＝2的解为非负数，
∴≥0且≠2，
解得：a＞2且a≠3，
在0，1，2，3，4，5，6这七个数中满足2＜a≤5且a≠3有4、5，
∴取到满足条件的a值的概率为，
故选B．
【点评】此题考查分式方程的解，解一元一次不等式和解一元一次不等式组，掌握运算法则是解题关键
8．【分析】结合已知证明EO是△ABC的中位线，进而得出答案．
解：∵平行四边形ABCD的周长为36cm，
∴AB+BC＝18cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又∵点E是AB的中点，
∴EO是△ABC的中位线，
∴EO＝BC，AE＝AB，
∴AE+EO＝×18＝9（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和中位线定理，熟知“平行四边形的对角线互相平分”和“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”是解题关键．
9．【分析】如图所示（见详解），过点作于，是的角平分线，于，可证，同理可证，设，和的面积分别为和，列方程即可求解．
解：如图所示，过点作于，
∵是的角平分线，于，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
设，和的面积分别为和，
∴，解方程得，，
∴，
∴，
故选：．
【点评】本题主要考查角平分线，三角形全等和性质的综合，理解并掌握角平分线上点到角两边的距离相等，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
10．【分析】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=40°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质即可求解．
解：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，
∵PP1关于OA对称，
∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM=40°
同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，
∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，
∴△P1OP2是等腰三角形．
∴∠OP2N=∠OP1M=40°，
∴∠P1OP2=180°-2×40°=100°，
∴∠AOB=50°，
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称的性质，正确作出辅助线，证出△P1OP2是等腰三角形是解题的关键．
11．【分析】根据绝对值的意义解答即可．
解：，
故答案为：．
【点评】本题考查了绝对值的意义，属于基础知识，比较简单．
12．【分析】先将分母因式分解，再进行加减，即可求解．
解：原式
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分式加减，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
13．【分析】利用整体代入法可直接进行求解．
解：∵，
∴；
故答案为-6．
【点评】本题主要考查代数式的值，熟练掌握利用整体代入法进行求解代数式的值是解题的关键．
14．【分析】根据反比例函数的系数k的性质求解即可，对于反比例函数，当时，函数图像在第一、三象限内，当时，函数图像在第二、四象限内．
解：∵函数的图象在第二、四象限内，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点评】此题考查了反比例函数的系数k的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的系数k的性质．对于反比例函数，当时，函数图像第一、三象限内，当时，函数图像第二、四象限内．
15．【分析】首先根据方向角的定义标出角，即可求解；
解：如图：
根据题意可得：
故答案为：
【点评】本题考查了方向角的定义，正确理解方向角的定义，理解A、B、O的相对位置是关键．
16．【分析】设甲种水买了x桶，则乙种水买了桶，根据共用了500元列方程即可．
解：设甲种水买了x桶，则乙种水买了桶，
根据题意得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
17．【分析】先运用勾股定理求出BC，再运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案．
解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，
∴BC=，
∵∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD=BC=，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质，熟练运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质是解题关键．
18．【分析】延长EF到G，使FG=EF，连接AG，根据三角形的三边关系确定AG的取值范围，再根据FM是△AEG的中位线得出FM=AG，得出FM的取值范围即可．
解：延长EF到G，使FG=EF，连接AG，BG，
∵在Rt△ABC中，AC=BC=2，
∴AB===2，
∵正方形BDEF的边长为，
∴△BFG为等腰直角三角形，
∴BG=2，
∴AB-BG≤AG≤AB+BG（共线时相等），
即2-2≤AG≤2+2，
∵F为EG的中点，M为AE的中点，
故FM是△AEG的中位线，
∴FM=AG，
∴≤FM≤，
故答案为：．
【点评】本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，三角形中位线定理等知识点，根据三角形三边关系得出AG的取值范围是解题的关键．
19．【分析】首先进行乘方、去绝对值符号以及代入特殊角的三角函数值，然后进行乘除运算，最后进行加减运算．
解：原式=2-（-1）+6×-1
=
=2+ ．
【点评】本题考查实数的运算，掌握负整数指数幂的性质以及牢记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
20．【分析】根据得到即可．
解：证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定，能够熟练运用判定定理是解题关键．
21．【分析】（1）利用点、求解一次函数的解析式，再求的坐标，再求反比例函数解析式；
（2）设 则再表示的长度，列出三角形面积与的函数关系式，利用函数的性质可得答案．
解：（1）设直线AB为
把点、代入解析式得：
解得：
直线为
把代入得：
把代入：
，
（2）设 轴，
则 由＜＜，
即当时，
【点评】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最值，掌握以上知识是解题的关键．
22．【分析】（1）根据D类有240人，占40%，据此即可求得总人数，然后求得C类的人数以及所占的比例，A所占的百分比，即可作出统计图；
（2）由条形图知D中圆规销量最好，最受欢迎；
（3）由B种销量最少、D种销量最多解答可得．
解：（1）调查的总人数是：240÷40%＝600（人），
C类型的人数是：600﹣180﹣60﹣240＝120（人），所占的百分比是：×100%＝20%，
A所占的百分比是：×100%＝30%，
（2）由统计图知，该文具店去年销量最好的是D种圆规；
（3）该文具点应该多进D种圆规，少进B中圆规．
【点评】考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．【分析】（1）设，根据题意得到，由三角形的外角性质，即可求出x的值，从而得到答案；
（2）①根据黄金三角形的定义，即可得到答案；
②由①可知，是黄金三角形，则根据比例关系，求出，然后求出AD的长度.
解：（1），
则，
设，
则，
又，
，
，
解得：，
；
（2）①有三个：
是黄金三角形；
或，
是黄金三角形；
或，
，
又，
，
，
是黄金三角形；
②∵是黄金三角形，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及黄金三角形的定义，三角形的内角和定理以及三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的外角性质．
24．【分析】（1）设购买一桶A种消毒液需x元，则购买一桶B种消毒液需（x+30）元，根据数量=总价÷单价结合用5000元购买A种消毒液的数量是用4000元购买B种消毒液数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设学校此次购买了m桶A种消毒液，则购买了（60-m）桶B种消毒液，费用为y元，依题意得：y=-18m+4320，再由题意：购买A种消毒液数量不多于购买B种消毒液数量，得m≤60-m，解得m≤30，然后由一次函数的性质求解即可．
解：（1）解：设购买一桶A种消毒液需x元，则购买一桶B种消毒液需（x+30）元，
依题意，得：，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
∴x+30=80．
答：购买一桶A种消毒液需50元，购买一桶B种消毒液需80元；
（2）解：设学校此次购买m桶A种消毒液，（60-m）桶B种消毒液，费用为y元，
依题意，得：y=50×（1+8%）m+80×0.9×（60-m）=-18m+4320，
∵m≤60-m，
∴m≤30，
∵-18＜0，
∴y最m的增大而减小，
∴当m=30时，y的值最小=-18×30+4320=3780（元），
此时60-m=30，
答：学校此次购买30桶A种消毒液，30桶B种消毒液才能使学校此次购买A、B两种消毒液的总费用最少，最少费用是3780元．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．【分析】（1）根据对称轴公式可求得抛物线的解析式，再写出顶点坐标即可
（2）先写出A、B、C的坐标再写出直线BC的解析式，利用两点之间的距离公式列方程即可求解;
(3)先证明，再由当，，三点共线时，的值最小，最小值即为的值，利用勾股定理即可
解：（I）∵ ，，
∴．
∴抛物线的解析式为 ．
∴，
∴抛物线的顶点坐标为；
（II）连接，过点作于点，
∵，令，则，
∴．
令，即，
解得，．
∴，．
设直线的解析式为，
将，代入，
得，解得，
∴直线的解析式为．
∵点在抛物线上，点在上，轴，
∴设点的坐标为，点坐标为，
∴．
∵，，
∴，
又∵，
∴，即，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
当时，，
∴点的坐标为．
（III）如图，连接，在上截取，
使得，
连接，，此时，．
∵，，
∴．
∴，即．
∴．
∴当，，三点共线时，的值最小，最小值即为的值．
∴，
∴的最小值为．
【点评】本题考查抛物线解析式及顶点坐标、有抛物线的对称轴，相似三角形、最值问题、勾股定理，一元二次方程，熟练进行等角的转换是关键
26．【分析】（1）先证明，求出，，利用Rt中，求出，再利用等腰直角三角形的性质求出DF的长；
（2）在上取点，使，连接，得到为等边三角形，再证明得到，根，求出，故可得到，即可证明；
（3）先利用，得到平行四边形为矩形，设与交点为，根据对称性得到OD垂直平分CC’，根据等积法求出CM，利用勾股定理求出OM，再根据中位线的性质求出AC’，利用平行线证明，得到，再根据AD=8，进而求出AG的长．
解：（1）∵
∴∠C=180°-∠B=90°，∠FEB+∠EFB=∠FEB+∠DEC=90°，
∴∠EFB=∠DEC
又
∴，
∴
∵
∴，
在Rt中，
∵，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴；
（2）证明：如图2，在上取点，使，连接，则为等边三角形，
∴，
∴．
∵四边形为平行四边形，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∴，，
∴是的中点．
（3）解：由题意得，为线段的垂直平分线，设与交点为
∵，
∴平行四边形为矩形，
∴，，，
∴．
∵点为的中点，点为的中点，
∴，且，
∴，
∴，
∴．
【点评】此题主要考查三角形三角形综合，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、中位线及相似三角形的判定与性质．
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