垂直于弦的直径课件
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文档简介
课件46张PPT。过已知点A、B作圆，可以作无数个圆．圆心在线段AB的垂直平分线上．各圆心的分布有什么特点?
与线段AB有什么关系？新课导入AB教学目标【知识与能力】 理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题． 通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．【过程与方法】【情感态度与价值观】 培养通过动手实践发现问题的能力．
渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法．教学重难点 垂径定理及其运用．什么是轴对称图形？
我们学过哪些轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．线段角等腰三角形矩形菱形等腰梯形正方形圆圆也是轴对称图形吗？动画——沿着圆的任意一条直径对折圆是轴对称图形．任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．圆有哪些对称轴？OOABCDE 是轴对称图形．已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦，
CD⊥AB，垂足为E． 下图是轴对称图形吗？叠合法 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理CD是直径，AB是弦，
CD⊥AB①直径过圆心
②垂直于弦③平分弦
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧垂径定理将题设与结论调换过来，还成立吗？ 这五条进行排列组合，会出现多少个命题？① 直径过圆心
③ 平分弦 ② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论1一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直．因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．OABMNCD为什么强调这里的弦不是直径？① 直径过圆心
④ 平分弦所对优弧 ③ 平分弦
② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧垂径定理的推论1 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．① 直径过圆心
⑤ 平分弦所对的劣弧③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧
② 垂直于弦垂径定理的推论1 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．② 垂直于弦
③ 平分弦 ① 直径过圆心
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧 （3）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理的推论1② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧① 直径过圆心
③ 平分弦
⑤ 平分弦所对的劣弧推论1的其他命题......② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧① 直径过圆心
③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧 （4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧① 直径过圆心
② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧 （5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 ．③ 平分弦
⑤ 平分弦所对的劣弧① 直径过圆心
② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧① 直径过圆心
② 垂直于弦
③ 平分弦 （6）平分弦所对的两条弧的直径过圆心，并且垂直平分弦．垂径定理的推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等．MOABNCD证明：作直径MN垂直于弦AB∵ AB∥CD
∴ 直径MN也垂直于弦CD两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论2有这两种情况：CDABE作法：1． 连结AB．ABCDE作法：1． 连结AB．3． 连结AC．5． 点G同理．ABC作AC的垂直平分线作BC的垂直平分线这种方法对吗？ 等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线．×CABO作法：1． 连结AB．3． 作AC、BC的垂直平分线．4． 三条垂直平分线交于一点O．你能破镜重圆吗？ABCmnO 作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆．作法：依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理三角形d + h = rr有哪些等量关系？ 在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量． 你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥， 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m． 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 垂径定理的应用 用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．
经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高．解：AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2解得 R≈27.9（m）在Rt△OAD中，由勾股定理，得即 R2=18.72+（R－7.2）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m．OA2=AD2+OD2课堂小结1． 圆是轴对称图形任何一条直径所在的直线都是它的对称轴． 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 2． 垂径定理 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧． 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧．平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．3．垂径定理的推论 经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件．4． 解决有关弦的问题 1． 判断：
（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧． （ ）
（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧． （ ）
（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦． （ ）
（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行．
（ ）
（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧．
（ ）√???√随堂练习 2． 在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE解：答：⊙O的半径为5cm． 3． 在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
求证：四边形ADOE是正方形．证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴ AE=AD∴ 四边形ADOE为正方形． 4． 在直径是20cm的⊙O中， 的度数是60°，那么弦AB的弦心距是________．cm 5． 弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为________． cm 6． 已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm，如果⊙O的半径是3cm，，那么过P点的最短的弦等于____________．cm 7． 一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600m，E为弧CD上的一点，且OE⊥CD垂足为F，EF=90m．求这段弯路的半径．解:连接OC． 8． 已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．解：连结OA．过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝3cm，AE＝BE．
∵AB＝8cm ∴AE＝4cm
在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5cm
∴⊙O的半径为5cm．．AEBO 9． 在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
求证：AC＝BD．证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE．
AE－CE＝BE－DE．
所以，AC＝BDE
与线段AB有什么关系？新课导入AB教学目标【知识与能力】 理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题． 通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．【过程与方法】【情感态度与价值观】 培养通过动手实践发现问题的能力．
渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法．教学重难点 垂径定理及其运用．什么是轴对称图形？
我们学过哪些轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．线段角等腰三角形矩形菱形等腰梯形正方形圆圆也是轴对称图形吗？动画——沿着圆的任意一条直径对折圆是轴对称图形．任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．圆有哪些对称轴？OOABCDE 是轴对称图形．已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦，
CD⊥AB，垂足为E． 下图是轴对称图形吗？叠合法 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理CD是直径，AB是弦，
CD⊥AB①直径过圆心
②垂直于弦③平分弦
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧垂径定理将题设与结论调换过来，还成立吗？ 这五条进行排列组合，会出现多少个命题？① 直径过圆心
③ 平分弦 ② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论1一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直．因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．OABMNCD为什么强调这里的弦不是直径？① 直径过圆心
④ 平分弦所对优弧 ③ 平分弦
② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧垂径定理的推论1 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．① 直径过圆心
⑤ 平分弦所对的劣弧③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧
② 垂直于弦垂径定理的推论1 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．② 垂直于弦
③ 平分弦 ① 直径过圆心
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧 （3）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理的推论1② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧① 直径过圆心
③ 平分弦
⑤ 平分弦所对的劣弧推论1的其他命题......② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧① 直径过圆心
③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧 （4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧① 直径过圆心
② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧 （5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 ．③ 平分弦
⑤ 平分弦所对的劣弧① 直径过圆心
② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧① 直径过圆心
② 垂直于弦
③ 平分弦 （6）平分弦所对的两条弧的直径过圆心，并且垂直平分弦．垂径定理的推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等．MOABNCD证明：作直径MN垂直于弦AB∵ AB∥CD
∴ 直径MN也垂直于弦CD两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论2有这两种情况：CDABE作法：1． 连结AB．ABCDE作法：1． 连结AB．3． 连结AC．5． 点G同理．ABC作AC的垂直平分线作BC的垂直平分线这种方法对吗？ 等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线．×CABO作法：1． 连结AB．3． 作AC、BC的垂直平分线．4． 三条垂直平分线交于一点O．你能破镜重圆吗？ABCmnO 作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆．作法：依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理三角形d + h = rr有哪些等量关系？ 在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量． 你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥， 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m． 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 垂径定理的应用 用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．
经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高．解：AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2解得 R≈27.9（m）在Rt△OAD中，由勾股定理，得即 R2=18.72+（R－7.2）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m．OA2=AD2+OD2课堂小结1． 圆是轴对称图形任何一条直径所在的直线都是它的对称轴． 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 2． 垂径定理 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧． 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧．平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．3．垂径定理的推论 经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件．4． 解决有关弦的问题 1． 判断：
（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧． （ ）
（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧． （ ）
（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦． （ ）
（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行．
（ ）
（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧．
（ ）√???√随堂练习 2． 在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE解：答：⊙O的半径为5cm． 3． 在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
求证：四边形ADOE是正方形．证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴ AE=AD∴ 四边形ADOE为正方形． 4． 在直径是20cm的⊙O中， 的度数是60°，那么弦AB的弦心距是________．cm 5． 弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为________． cm 6． 已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm，如果⊙O的半径是3cm，，那么过P点的最短的弦等于____________．cm 7． 一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600m，E为弧CD上的一点，且OE⊥CD垂足为F，EF=90m．求这段弯路的半径．解:连接OC． 8． 已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．解：连结OA．过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝3cm，AE＝BE．
∵AB＝8cm ∴AE＝4cm
在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5cm
∴⊙O的半径为5cm．．AEBO 9． 在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
求证：AC＝BD．证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE．
AE－CE＝BE－DE．
所以，AC＝BDE
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