《在游戏中学习高中数学》[上学期]

在 游 戏 中 学 习 高 中 数 学
—— 椭圆定义及简单几何性质的开放式教学设计
重庆市梁平县红旗中学 陈 奉 奎
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长期以来，我们的课堂教学墨守陈规：教师滔滔不绝地讲，学生安安静静地听，致使课堂气氛如一潭死水，压抑沉闷，很难激发学生的学习兴趣，严重地抑制了学生的主动性和创造性。
高中数学课程标准指出：“高中数学课程要为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯。”这就要求课堂教学有一个质的飞跃，笔者认为课堂教学的飞跃关键就在于课堂的开放。
课堂教学的开放性则指在良好的课堂氛围中，教师采取积极有效的教学方法、手段、形式给学生较自由的学习与思维的时间和空间，促使学生主动参与学习活动，体验知识的形成过程，使能力和情感得到同步发展，个性得到充分的发挥，促进学生的可持续发展。
本文仅就“椭圆的定义及其简单几何性质”的教学设计为例，打破严格按章节顺序教学的常规，并在高中数学教学中通过游戏进行开放式教学作一些尝试。
课题：第八章 《圆锥曲线方程》 一、椭圆（第一课时）。
教学目标：
1、理解椭圆的定义、长轴、短轴等概念和推导椭圆的标准方程的方法。会根据图形说出椭圆的对称性、范围、顶点、焦点等性质。
2、培养学生运动变化的观点，训练学生的动手和动脑的探索能力。
3、通过游戏激发学生的数学学习兴趣，培养学生的协作、友爱精神。
教学重点：椭圆的定义及其简单何性质。
教学难点：由圆到椭圆的演变及椭圆的简单几何性质。
上课地点：学校操场。
课前准备：剪刀，足够长的可剪断的绳子，画跑道线的工具（用于画线、写字）。并在操场上先画出两条互相垂直的直线，如图一所示。全班同学围坐在图一周围。
教学过程设计：
一、模拟情景，激情引题。
模拟播报“神舟5号”飞船试验成功的新闻，激发学生的爱国热情，进行
爱国主义教育，并由其运行的轨迹引入课题：椭圆的定义及其简单几何性质。
二、参与游戏，获取知识。
1、椭圆的定义。
游戏一：演示轨迹促回忆
由“椭圆”容易使我们想到很熟悉的“圆”，我们来作个游戏，用绳子演示圆的形成过程，谁能来？（可能会非常踊跃。请两位同学出来，剪下一段绳子，一人拉着绳子的一端站在O点处，另一人拉直绳子，绕着O点旋转了一周。之后我又请20个同学站在圆周上，让大家看到一个更直观、更具体的圆。完成后请同学们回到自己的位置。并为全班同学如何参与游戏二奠定基础。）
游戏二：齐心协力唱大戏
从名称上看“椭圆”与“圆”肯定有联系。我们又来作个游戏，用绳子演示椭圆的形成过程，谁能来？（可能会非常安静，没有谁能来演示。）
教师接着引导：确定圆的关键是什么？（一个定点即圆心，一个定长即半径。）由此看来，只一个定点很可能就形成不了椭圆了。（引导学生说出：取两个定点。）到哪里去找两个定点呢？能不能把圆中的一个变成两个呢？能不能把圆中的一个定点看成两个定点呢？待到有同学能把O点看成是两个重合的点时，再请几个同学出来做这个游戏，象演示圆的形成过程那样演示椭圆的形成过程，并要求他们必须让全班同学齐上阵，共同参与游戏。（在同学们尝试过程中，老师适当的点拨，直到完成游戏。之后再进行一次完整的演示，并画出椭圆，与此同时，其余同学也依次站到椭圆上来，形成一个较大较扁的椭圆。如图二）
接着提问：你能不能给椭圆下个定义呢？（请同学下定义，并引导得出：平面内与两个定点F1、F2 的距离的和等于常数[记作2a]的点的轨迹叫椭圆。）紧接着又问：是不是只要“距离的和等于常数2a”就一定能形成椭圆呢？（引导学生通过演示、游戏，探索出2a=∣F1 F2∣和2a<∣F1 F2∣时的轨迹的情况。）最后总结出椭圆的准确定义和焦点、焦距[记作2c] 的定义。
2、推导椭圆的标准方程的方法。
引导学生：应先建立直角坐标系，如何建最简便？请学生答（可以PQ为x轴，EF为y轴；也可以EF为x轴，PQ为y轴。）首先以EF为x轴，PQ为y轴建立直角坐标系, 则焦点为F1（－c，0）、F2（c，0），设动点为 M ( x , y ) ，如图二, 由∣M F1∣+∣M F2∣=2a，再根据两点间的距离公式可推出椭圆的标准方程（留作今天的课外作业）。
3、椭圆的简单几何性质。
游戏三：心心相印找伙伴
提问：请大家观察椭圆的图形，椭圆有哪些几何性质？（引导学生看出对称性）下面进行找伙伴的游戏：凡是站在对称位置上的两个同学都算是伙伴，教师随机抽点学号，被点到的同学要举手并答应，还要找出自己的伙伴，毕后，其他的同学如果觉得自己是该同学的伙伴，又没有被他找出来的，请主动站出来。凡是找错、没找完或者没被找出但又没有主动站出来的伙伴，就表演个小节目。通过游戏，对椭圆的对称性有比较深刻地理解后。再简要总结椭圆的对称性，并定义椭圆的中心和对称轴。
游戏四：画地为牢当统帅
数学中很多图形是无限的、无界的，比如：直线。请问椭圆有界还是无界？如果你认为有界，能看出其界限，就立即出来画出界线、画出范围（要求是规则的几何图形），把椭圆、把全体同学都关在里面，你就成了他们的统帅，要是答得不对就给大家表演三种不同的表情。最后引导学生得出椭圆的矩形范围。（此时请同学们回到自己的位置）。
游戏五：智取要塞夺胜利
天时不如地利，抢占有利位置常常会带给我们更多的便利；夺取战略要塞，会给战争的胜利奠定坚实的基础。你认为椭圆上哪个点最重要，并能说出该点为什么重要，就迅速占领那个点，先者为胜。毕后，再要求胜利者说出该点的坐标，说对有奖，说错有罚，若说不出来，自己邀请其他同学协助，拉着绳子测一测、量一量、想一想之后再说也可以。（在老师的指导下，由学生自己探索易发现，等腰ΔF1 B1F2、RtΔOB1F2、菱形F1B1F2 B2等等，如图三，并在探索过程中引导学生发现椭圆上距离焦点最近和最远的点。）最后给出椭圆的顶点、长轴、长半轴、短轴、短半轴的定义，并结合“神舟5号”飞船运行的椭圆轨道，给出飞船、卫星的近地点和远地点的概念。再以PQ为x轴，EF为y轴建立直角坐标系，并请同学说出椭圆的有关几何性质。
三、游戏促思，提高能力
游戏六：你追我赶比智慧
如图四，取一绳，在A、F1、B、F2处各站一人，四人拉直绳并结成圈（绳圈可以在这四个人的手中滑动），先请A沿着椭圆轨道去追B, 随后又反过来由B追A，追上有奖，追不上有罚。游戏完毕，请思考：无论A、B走到哪儿，为什么都刚好能拉直绳圈，四人同在长轴上，构成三角形、凸四边形或凹四边形呢？能不能据此编一道题出来？
四、课堂小结（略）
五、课外作业
推导椭圆的标准方程。编出游戏六中习题（也可以另编习题）。
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