【备考2023】湖南省常德市中考数学模拟试卷1（含解析）

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【备考2023】湖南省常德市中考数学模拟试卷1
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
1．在3.14，，－，，，1.01001000100001这六个数中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．为了解我市参加中考的5000名学生的身高情况，抽查了其中200名学生的身高进行统计分析．下列叙述正确的是（ ）
A．5000名学生是总体 B．从中抽取的200名学生的身高是总体的一个样本
C．每名学生是总体的一个个体 D．以上调查是全面调查
5．一个不透明的袋子中装有2个红球、2个蓝球，小球除颜色外其他均相同，若同时从袋子中任取两个小球，则摸到的两个小球中，至少有一个小球为蓝色的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．已知、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．我们把b2±4ac＝0称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（其中a≠0）的共轭判别式，我们知道当b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（其中a≠0）有两个相等的实数根：x1＝x2＝；那么其共轭判别式b2＋4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（其中a≠0）的根x＝______，下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤和周长相等．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
9．请举出一个反例说明等式“”不成立：__________________
10．因式分解：=_______________________________．
11．无论x取何值，分式总有意义，则m的取值范围是______．
12．若去分母解分式方程会产生增根，则m的值为______．
13．如图是一个长方体纸盒的平面展开图，已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数，则_____．
14．某公司欲招聘工人，对候选人进行三项测试：语言、创新、综合知识，并按测试得分1：4：3的比例确定测试总分．已知某候选人三项得分分别为90，72，50，则这位候选人的招聘得分为________ ．
15．如图，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A、B恰好分别落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，则∠ABO的正切值_____．
16．定义：几个全等的正多边形依次有一边重合，排成一圈，中间可以围成一个正多边形，我们称作正多边形的环状连接。如图，我们可以看作正六边形的环状连接，中间围成一个边长相等的正六边形；若正八边形作环状连接，中间可以围的正多边形的边数为；
若正八边形作环状连接，中间可以围的正多边形的边数为________，若边长为1的正n边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为_________.
三、解答题（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17．计算：
18．解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，一个书架上的方格中放着七本厚度和长度相同的书，其中左边六本书紧帖书架方格内侧竖放，右边一本书自然向左斜放，支撑点为，，右侧书角正好靠在方格内侧上．若书架方格内侧长，，书的长度．
（1）求的长度．
（2）求每本书的厚度．（结果精确到）（参考数据：，，）
五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21．已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为90．
(1)与、两点距离相等的点对应的数是 ___________；
(2)现在有一只电子蚂蚁从点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，则点对应的数是 ___________；
(3)若当电子蚂蚁从点出发，以8个单位/秒的速度向左运动，当点到达点时，立即返回向右运动，到达点停止．同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位/秒的速度向右运动到达点停止，直接写出经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距10个单位长度？
22．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（a≠0）的图象相交于点A（，6），B（n，1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）若一次函数的图象与x轴交于点C，点M在反比例函数y＝的图象上．当S△OCM：S△ACO＝1：3时，请求出点M的坐标．
六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23．年月日，教育部办公厅印发了关于加强义务教育学校作业管理的通知以下简称通知通知强调要严格控制书面作业总量，要求小学一二年级不布置书面家庭作业，小学其他年级每天书面作业完成时间平均不超过分钟；初中不超过分钟．同时，通知明确提出不得要求学生自批自改，严禁给家长布置或变相布置作业，严禁要求家长批改作业，让作业回归到学校育人环节中来．有条件的地方，鼓励科学利用信息技术手段进行作业分析诊断．某校对八年级学生每天完成数学作业时间调查如下，按照完成时间分为：“分钟”、“分钟”、“分钟”、“分钟”、“分钟”为了了解学生对课外数学作业的完成情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)统计图中的______，______；
(2)该校八年级共有名学生，请你估计该校八年级学生能在分钟内完成数学作业的学生人数．
(3)为了学生各学科之间均衡发展，你认为该校八年级布置的数学课外作业是否合理？若合理，请你说明理由．若不合理，请你设计出合理化的布置方案．
24．如图，在四边形中，，点是边上一点，且平分，平分．
(1)；
(2)．
七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当x＝1时，函数的最小值为－4．
(1)求该二次函数的解析式并画出它的图象；
(2)当0＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围；
(3)直线x＝m与抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）和直线y＝x－3的交点分别为点C，点D，点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围．
26．如图1，在正方形中，，点是射线上一点，连接．
(1)当点是边的中点时，求证：；
(2)如图2，点分别是的中点，依次连接．
请判断四边形的形状，并说明理由；
若点是的中点，连接，当的面积为时，求的长．
参考答案：
1．【分析】首先思考无理数的定义，再根据定义逐个判断即可．
解：，是无理数，所以无理数的个数是2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了无理数的判断，掌握定义是解题的关键．即无限不循环小数是无理数．
2．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选B.
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂相除的运算法则逐一计算可得．
解：A、a1、a3不能合并，此选项错误；
B、a4 a3＝a7，此选项错误；
C、（a4）3＝a12，此选项错误；
D、a4÷a3＝a，此选项正确；
故选D．
【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂相除的运算法则．
4．【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
解：A、5000名学生的身高情况是总体，不符合题意；
B、从中抽取的200名学生的身高是总体的一个样本，符合题意；
C、每名学生的身高是总体的一个个体，不符合题意；
D、以上调查是抽样调查，不符合题意；
故选B．
【点评】本题主要考查的是总体、个体、样本、样本容量的概念，掌握相关知识是解题的关键．
5．【分析】列举出所有可能出现的情况，让摸到至少有一个小球为蓝色的情况数除以情况总数即可解答．
解：如图所示：
共有12种可能，至少有一个小球为蓝色的有10种结果，
∴摸到的两个小球中，至少有一个小球为蓝色的概率为，
故选D．
【点评】本题主要考查用列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
6．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，可知，，将化简为，代入即可得出结论．
解：∵、是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，，
∵
∴，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及二次根式的化简，根据根与系数的关系得到，是解答本题的关键．
7．【分析】根据题意，一元二次方程有两个相等的实数根，即根的判别式为0，由共轭判别式解得b2﹣4ac＝2b2≥0，从而用求根公式计算一元二次方程的根．
解：∵b2＋4ac＝0，
∴b2＝﹣4ac，
∴b2﹣4ac＝2b2≥0，
∴x＝＝＝；
故选：D．
【点评】本题考查根的判别式，其中涉及分母有理化、一元二次方程的根等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8．【分析】由三角形中线的定义可得，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明和全等，判断出②正确，根据②得到，进而证明，判断出③正确，由为任意三角形，判断④⑤错误，问题得解．
解：是的中线，
，
∵和底边BD，CD上高相同，
和面积相等，故①正确；
在和中，
，
，故②正确；
，
，故③正确；
由为任意三角形，故④⑤错误．
故选：．
【点评】本题考查了等底等高的三角形的面积相等，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
9．【分析】根据绝对值的意义，负数的绝对值等于它的相反数，据此举出反例即可
解：当时，
故答案为：，答案不唯一
【点评】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键．
10．【分析】先提取公因式2x，再利用平方差公式分解即可．
解：
=2x（1 9y2）
=2x（1+3y）（1 3y），
故答案为：2x（1+3y）（1 3y）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
11．【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
解：当x2+2x+m≠0时，总有意义，
∴△=4-4m＜0，
解得，m＞1
故答案为m＞1．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
12．【分析】首先解分式方程，再根据方程产生增根，列方程，即可求解．
解：去分母，得：，
移项、合并同类项，得：，
解得：，
方程有增根，
，
解得，
故答案为：1．
【点评】本题考查了利用分式方程根的情况求参数，熟练掌握解分式方程是解决本题的关键．
13．【分析】根据长方体的表面展开图找相对面的方法，同层隔一面，“Z”字两端是对面求出a，b的值即可解答．
解：由题意得：
∴，
故答案为：6．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
14．【分析】运用加权平均数的计算公式求解，（其中w1、w2、……、wn分别为x1、x2、……、xn的权）.
解：这位候选人的招聘得分=（90+72×4+50×3）÷8=66（分）．
故答案为66．
【点评】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数计算公式是解答本题的关键．
15．【分析】作AC⊥x轴，BD⊥x轴．易得△ACO∽△ODB，由点A、B恰好分别落在函数y＝（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，可得到△ACO与△ODB的面积比，进而求出对应边的比，在直角三角形中求出∠ABO的正切值．
解：过点A、B分别作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足为C、D，如图，
∵点A、B恰好分别落在函数y＝（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，
∴S△AOC＝|k|＝，S△OBD＝|k|＝，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵∠OAC+∠AOC＝90°，∠AOC+∠BOD＝180°﹣90°＝90°，
∴∠OAC＝∠BOD，
又∠ACO＝∠ODB＝90°，
∴△ACO∽△ODB，
∴，
∴，
在Rt△AOB中，
tan∠ABO=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质与判定及解直角三角形，关键是根据反比例函数得到三角形的相似，然后利用相似三角形的性质求解三角函数值即可．
16．【分析】首先求得正六边形围成的多边形的内角的度数，然后根据多边形的内角和定理即可求得n的值．
解：正八边形的内角度数是： =135°，
则正八边形围成的多边形的内角的度数是：360°-2×135°=90°，
根据题意得：180（n-2）=90n，
解得：n=4．
若边长为1的正n边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，
则一个公共点处组成的角度为360°-60°=300°，
所以正n边形的一个内角是150°，
所以（n-2）×180=150n，
解得n=12，
所以边长为1的正十二边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为30．
故答案为：4，30．
【点评】此题考查多边形的内角和定理，正确理解定理，求得围成的多边形的内角的度数是关键．
17．【分析】先计算乘方运算，求解算术平方根，立方根，绝对值，再合并即可．
解：
．
【点评】本题考查的是算术平方根与立方根的含义，实数的混合运算，掌握“实数的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．
18．【分析】根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题，从而可以在数轴上表示出不等式组的解集．
解：
由不等式①，得
由不等式②，得
故原不等式组的解集是．
在数轴表示如下图所示：
【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
19．【分析】括号里先通分进行分式加减运算，然后再进行分式乘除运算，根据特殊角的三角函数值求出x的值后代入，即可得出最后结果．
解：
，
当时，
，
原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟记分式混合运算的运算法则以及特殊的三角函数值是解答本题的关键．
20．【分析】（1）根据正弦定义列式求解；
（2）设每本书的厚度为xcm，根据BF=6x+DE+EF及正弦函数的定义可以解答即可．
解：（1）∵在中，，，
∴
．
（2）设每本书的厚度为（），
∵在中，，，
∴，
∴．
解得．
答：每本书的厚度约为．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握正弦函数的定义、灵活应用方程思想是解题关键．
21．【分析】（1）先求与90和的一半，进一步可得点对应的数；
（2）先求出的长，再设秒后、相遇即可得出关于的一元一次方程，求出的值，可求出、相遇时点移动的距离，进而可得出点对应的数；
（3）分为2只电子蚂蚁相遇前相距10个单位长度和相遇后相距10个单位长度；追上前相距10个单位长度和追上后相距10个单位长度，依此列式计算即可求解．
解：（1）解：，
点表示的数为．
故答案为：40；
（2）、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为90，
，
设秒后、相遇，
，解得；
此时点走过的路程，
此时点表示的数为．
答：点对应的数是30．
故答案为：30；
（3）相遇前：（秒，
相遇后：（秒，
追上前：（秒，
追上后：（秒．
故经过9秒或11秒或15秒或秒长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距10个单位长度．
【点评】此题考查一元一次方程的应用，利用行程问题的基本数量关系以及数轴直观性是解决问题的关键．
22．【分析】（1）把点，代入得到反比例函数的解析式为；进而求得的坐标，然后根据待定系数法即可得到一次函数的解析式；
（2）先求出点C的坐标，由此可求ACO的面积，设，根据三角形的面积公式即可求得答案．
解：（1）把点，代入得：，
，
反比例函数的解析式为；
把代入得，，
，
把点，，代入，
得：，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）当时，，
解得：，
，，
，
，
，
，
设，
，
解得：，
，或，．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键．
23．【分析】（1）根据题中数据先求出样本的容量，然后求出和的值即可；
（2）根据类和类学生占的比例求值即可；
（3）根据题意作答即可，答案不唯一理由合理即可．
（1）
解：（人），
人，人，
故答案为：，；
（2）
（人），
估计该校八年级学生能在分钟内完成数学作业的学生人数为人；
（3）
该校八年级布置的数学课外作业不合理，因为八年级的学科较多，初中每天的课外作业时间不超过分钟，建议该学校八年级的数学作业布置要减少题量或降低难度，让一半以上的同学能在分钟内完成．答案不唯一，理由合理即可
【点评】本题主要考查条形统计图的知识，熟练根据条形统计图和扇形统计图获取信息是解题的关键．
24．【分析】（1）根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可得，再由角平分线的定义可得，然后可得，即可证明；
（2）过点作，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，再由角平分线的定义可得，即可推到，由“等角对对边”即可证明，同理可证得，则可推导，即可证明．
（1）证明：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴；
（2）过点作，如下图，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
同理可证得，
∴，
∴点是的中点，
∴点是的中点，
∴．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
25．【分析】（1）由已知可设二次函数的顶点式，再把点(3，0)的坐标代入顶点式中即可求得a的值，从而求得解析式；根据解析式画出函数图象即可；
（2）求出当x=0及x=4时的函数值，考虑抛物线的性质，结合函数图象即可完成；
（3）观察图象知，抛物线与直线y＝x－3的交点坐标分别为(0， 3)及(3，0)，即当m=0或m=3时，点C与点D重合，结合图象即可求得m的取值范围．
解：(1)∵当x＝1时，函数的最小值为－4，即抛物线的顶点坐标为(1， 4)
∴设函数解析式为
∵（3，0）点在抛物线上
∴
∴
∴
即
其图象如下：
(2)当x=0时，y= 3；当x=4时，y=5
由图象知，当0＜x＜4时，
(3)如图所示，抛物线与直线y＝x－3的交点坐标分别为(0， 3)及(3，0)
由图知，当或时，满足题目要求
【点评】本题是二次函数与一次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，画二次函数图象，二次函数的性质，二次函数与一次函数的关系等知识，数形结合是解题的关键．
26．【分析】（1）由四边形是正方形得到，由点是边的中点得到，从而即可证明全等；
（2）连接，根据三角形中位线定理可以得到，，，，从而得到，，即可答案；作，交的延长线于，根据正方形的性质以及点为的中点得到四边形是正方形，设，则，，再根据三角形的中位线定理即可得到的长度，从而可得到的长度．
（1）证明：四边形是正方形，
，
点是边的中点，
，
在和中，
，
；
（2）解：四边形的为平行四边形，
理由如下：如图所示，连接，
，
点分别是的中点，
为的中位线，为的中位线，
，，，，
，，
四边形的为平行四边形；
点是的中点，点为的中点，
为的中位线，
，
四边形是正方形，点为的中点，
，
，
，
作，交的延长线于，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
设，则，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、三角形的中位线定理、正方形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质、三角形的中位线定理、正方形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，作出恰当的辅助线是解题的关键．
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